二次函数初中数学组卷.docx

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二次函数初中数学组卷

2014年9月4日二次函数初中数学组卷

一．解答题（共30小题）

1．（2014•龙东地区）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）请直接写出D点的坐标．

（2）求二次函数的解析式．

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

2．（2014•本溪）如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=

x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；

（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？

若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．

3．（2014•哈尔滨）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．

（1）求a，b的值；

（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在

（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．

4．（2014•贵阳）如图，经过点A（0，﹣6）的抛物线y=

x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点．

（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；

（2）将

（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

（3）在

（2）的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？

请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．

5．（2014•益阳）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．

（1）求a，k的值；

（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；

（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．

6．（2014•咸宁）如图1，P（m，n）是抛物线y=

﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．

【探究】

（1）填空：

当m=0时，OP=　_________　，PH=　_________　；当m=4时，OP=　_________　，PH=　_________　；

【证明】

（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．

【应用】

（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=

﹣1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．

7．（2014•漳州）已知抛物线l：

y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．

（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是　_________　，衍生直线的解析式是　_________　；

（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；

（3）如图，设

（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．（2014•三明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；

（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？

若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（2014•黔东南州）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（

，

）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

10．（2014•黄石）如图，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点，已知AO=8．AD=10．

（1）求F点的坐标；

（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点O，F，且直线y=6x﹣36是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；

（3）直线y=k（x﹣3）﹣

与

（2）中的抛物线交于P、Q两点，点B的坐标为（3，﹣

），求证：

+

为定值．（参考公式：

在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M，N两点间的距离为|MN|=

）

11．（2014•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+c．

（1）填空：

△AOB≌△　_________　≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：

A（0，　_________　）；

（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；

（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；

（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2﹣

，顶点随着t的增大向上移动时，求t的取值范围．

12．（2014•郴州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？

求出此时点P的坐标；

（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？

若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

13．（2014•重庆）如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；

（3）在

（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．

14．（2014•凉山州）如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．

（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．

①满足此条件的函数解析式有　_________　个．

②写出向下平移且经点A的解析式　_________　．

（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．

（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15．（2014•六盘水）如图，二次函数y=

x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．

（1）求二次函数的解析式．

（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．

（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．

（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=

S△BCD？

若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

16．（2014•崇左）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（﹣3，0），B（0，﹣3）两点，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．

（1）求一次函数y=kx+b的解析式；

（2）若二次函数y=x2+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；

（3）当﹣3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣4，求m，n的值．

17．（2014•丹徒区二模）如图，已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过A（0，3），且对称轴是直线x=2．

（1）求该函数解析式；

（2）在抛物线上找点P，使△PBC的面积是△ABC的面积的

，求出点P的坐标．

18．（2014•镇江一模）如图，抛物线y=

x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；

（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．

19．（2014•晋江市质检）如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+c经过点C（0，3），且与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），线段BC与抛物线的对称轴相交于点P．M、N分别是线段OC和x轴上的动点，运动时保持∠MPN=90°不变．

（1）求抛物线的解析式；

（2）①试猜想PN与PM的数量关系，并说明理由；

②在①的前提下，连结MN，设OM=m．△MPN的面积为S，求S的最大值．

20．（2014•江西模拟）如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A与点B不重合）我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条．

（1）如图2，已知抛物线L3：

y=2x2﹣8x+4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；

（2）请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；

（3）若抛物y=a1（x﹣m）2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2（x﹣h）2+k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．

21．（2013•潍坊）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），