高考数学第33炼 向量的模长问题代数法含模长习题.docx

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高考数学第高考数学第33炼炼向量的模长问题代数法含模长习题向量的模长问题代数法含模长习题第33炼向量的模长问题代数法一、基础知识：

利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方数量积和坐标两种方式1、模长平方：

通过可得：

，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。

要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：

若，则。

某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：

通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题二、典型例题例1：

在中，为中点，若，则_思路：

题目条件有，进而可求，且可用表示，所以考虑模长平方转化为数量积问题解：

为中点可得：

代入可求出：

答案：

例2：

若均为单位向量，且，则的最大值为（）A.B.C.D.思路：

题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将平方，转化为数量积问题，再求最值。

解：

转化为答案：

B例3：

平面上的向量满足，且，若，则的最小值为_思路：

发现所给条件均与相关，且可以用表示，所以考虑进行模长平方，然后转化为的运算。

从而求出最小值解：

，代入可得：

答案：

例4：

已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最小值是（）A.B.C.D.思路：

题目所给条件围绕着与，所以考虑所求向量用这两个向量进行表示：

，从而模长平方变成数量积问题，可得：

，将视为一个整体，则可配方求出最小值解：

答案：

A小炼有话说：

本题的关键在于选好研究对象，需要把已知的两个向量视为整体，而不是例5：

已知平面向量的夹角，且，若，则的取值范围是_思路：

由和夹角范围即可得到的范围，从而可想到将模长平方，再利用转变为关于的问题，从而得到关于夹角的函数，求得范围。

解：

答案：

例6：

已知，则的最小值是（）A.B.C.D.思路：

由条件可得，所以考虑将模长平方，从而转化为数量积问题，代入的值可得到关于的二次函数，进而求出最小值解：

答案：

D例7：

已知直角梯形中，为腰上的动点，则的最小值为_思路：

所求难以找到其几何特点，所以考虑利用代数手段，在直角梯形中依直角建系，点的纵坐标与梯形的高相关，可设高为，则，所以，即答案：

例8：

如图，在边长为的正三角形中，分别是边上的动点，且满足，其中，分别是的中点，则的最小值为（）A.B.C.D.思路：

等边三角形三边已知，故可以考虑用三边的向量将进行表示，从而模长平方后可写成关于的表达式，再利用即可消元。

解：

答案：

C例9：

已知与的夹角为，且，,在时取到最小值。

当时，的取值范围是（）A.B.C.D.思路：

本题含两个变量，且已知范围求的范围，所以考虑建立和的关系式，从而考虑模长平方，向靠拢，可得：

，所以当达到最小值时，由可得解得，即解：

时，取得最小值，所以不等式等价于：

答案：

C例10：

已知中，点是线段（含端点）上的一点，且，则的范围是_思路：

本题由垂直和模长条件可考虑建系，从而用坐标来使用数量积的条件。

如图建系，设，则，设，则由可得，已知条件，所求模长平方后可得，所以问题转化为已知求的最大值。

考虑，寻找两个式子的联系，有，所以，即，从而，而另一方面：

由及（符合直线的方程）可得：

，所以（时取等号），所以综上可得：

答案：

三、历年好题精选（模长综合）1、点是的重心，若，则的最小值为_2、已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值为_3、已知是单位向量，且，若满足，则的范围是_4、在中，如果不等式恒成立，则实数的取值范围是_5、设直角的三个顶点都在单位圆上，点，则的最大值是（）ABCD6、已知向量满足与的夹角为，则的最大值为（）A.B.C.D.7、（2016，上海五校联考）在平面直角坐标系中，已知圆，点在圆上，且，则的取值范围是_8、（2015，湖南）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（）A.B.C.D.9、已知为非零向量，若，当且仅当时，取到最小值，则向量的夹角为_10、（2016，重庆万州二中）已知单位向量满足，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.11、（2016，贵阳一中四月考）已知点是的重心，若，则的最小值是（）ABCD习题答案：

1、答案：

解析：

为的重心，延长交于，则是中线2、答案：

解析：

，代入已知条件可得：

3、答案：

解析：

设，因为是单位向量，且，所以为模长是的向量，由已知可得，所以数形结合可知：

，从而的范围是4、答案：

解析：

由余弦定理可得：

5、答案：

C解析：

由题意，当且仅当共线同向时，取等号，即取得最大值，最大值是，6、答案：

D解析：

设；以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，与的夹角为，则，设即表示以为圆心，以1为半径的圆，表示点A，C的距离即圆上的点与点的距离；圆心到B的距离为，的最大值为7、答案：

解析：

设，中点由圆可得：

在以为圆心，半径的圆上即8、答案：

B解析：

由可知为直径，因为该圆为圆心在原点的单位圆，所以关于原点对称，设，则，设，所以可得：

，所以，则，因为在圆上，所以，代入可得，故9、答案：

解析：

，设，因为时，取得最小值，所以的对称轴，所以，所以夹角为10、答案：

D解析：

以为基底建立直角坐标系，可知，设即到的距离和为，在线段上，直线方程为，即线段上动点到定点的距离通过数形结合可得：

所以的取值范围是11、答案：

C解析：

，可知，设为底边上的中线，由重心性质可得：