复变函数重要知识点总结.pdf
《复变函数重要知识点总结.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数重要知识点总结.pdf（46页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
1?
E9E?
!
?
Vg?
（J?
1.E?
9E?
5i=1.E8C=z|z=x+iy,x,yR1K8RC.3C?
5!
?
$?
E8?
（?
KE8?
E?
w?
R*?
5.?
z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,a1,b1,a2,b2R.1.1z1z2=（a1a2）+（b1b2）i,z1z2=（a1+b1i）（a2+b2i）=（a1a2b1b2）+i（a1b2+a2b1）,z1z2=a1+b1ia2+b2i=a1a2+b1b2a22+b22+ia2b1a1b2a22+b22（z26=0）.E?
（?
z1,z2C,z1=a1+ib1,z2=a2+ib2z1?
z2?
l|z1z2|=p（a1a2）2+（b1b2）2l?
E?
E?
m3?
m?
Vg?
3E?
4?
O?
.E8!
?
:
89?
8?
AX.E?
n?
L?
z=|z|（cosArgz+isinArgz）z1=|z1|cosArgz1+isinArgz1,z2=|z2|cosArgz2+isinArgz2.z1z2=|z1|z2|cos（Argz1+Argz2）+isin（Argz1+Argz2）,z1z2=|z1|z2|cos（Argz1Argz2）+isin（Argz1Argz2）.1.2xiy?
Ez=x+iy?
P?
zz?
z?
p?
z?
zuEk|z|=|z|,Argz=Argz.?
$?
k?
z1+z2=z1+z2,z1z2=z1z2,z=z,z1z2!
=z1z2,zz=|z|2,?
keL?
z=x+iyKz=z+z2,u=12i（zz）uz!
y?
“Ez=|z|cosArgz+isinArgz?
m?
$?
zm=|z|mcos（mArgz）+isin（mArgz）,mZ,?
8z1n=+np|z|cos1nArgz!
+isin1nArgz!
#n?
u?
u2?
.2.E?
*E8C3n?
m?
S:
x2+y2+u2=1rXOYw?
z=x+iy?
N（0,0,1）?
4?
EC?
SN?
A?
N?
XOY?
:
A（x,y,0）?
:
A0（x0,y0,u0）?
kx0=z+z|z|2+1,y0=zzi（|z|2+1）,u0=|z|21|z|2+1,5E?
n?
:
?
NAdn?
:
?
E?
:
PC=CSl?
C?
S?
A.3.E?
1.3?
GeVg
（1）?
（x0,r）=z|zz0|r,zC.
（2）?
%?
o（x0,r）=z|0|zz0|0o（x0,r）TE6=z0E?
:
.（5）S:
?
8Ez0E,（x0,r）（x0,r）Ez0E?
S:
.（6）.:
?
8Ez0Cr0,（z0,r）TE6=,（z0,r）TEC6=z0?
E?
.:
.1（7）.?
d8E?
.:
|?
8?
E?
.P?
E.（8）4?
E=ESE.（9）?
:
?
E,r0?
（,r）TE=?
E?
:
.（10）m8?
8E?
:
?
S:
E?
m8.（11）48?
8E?
8m8E?
48.（12）k.8?
r0?
E（0,r）E?
k.8.（13）.8?
k.8?
.8.（14）;8?
k.48?
;8.（15）8D?
5?
8D?
k?
:
?
k?
.（16）?
m8?
.（17）?
z=z（t）=Rez（t）+iImz（t）,a6t6b?
:
z?
;,?
.（18）Y?
e?
z=z（t）,ta,b,Rez（t）,Imz（t）Y.（19）?
Y?
Y?
z=z（t）,ta,b?
z1,z2（a,b）,z16=z2,z（t1）6=z（t2）.（20）?
4?
Y?
z=z（t）,ta,b?
z（a）=z（b）.（21）?
D?
DS?
4?
S?
z?
:
?
uD.（22）?
.?
!
K?
S?
1.1i?
og?
.）?
i=cos2+2k!
+isin2+2k!
4i=cos2+2k4!
+isin2+2k4!
k=0,1,2,3Kcos8+isin8,cos8+2!
+isin8+2!
cos8+!
+isin8+!
cos8+32!
+isin8+32!
.5?
1?
f（z）=ez?
.“ei=cos+isindK?
|Ez?
L?
“z=|z|eiArgzO?
i=ei（2+2k）i?
og?
o?
ei8,ei（8+2）,ei（8+）,ei（8+32）=ei8,iei8,ei8,iei8.1.2fi?
z2+z+1=0z11+z7+z3?
.）?
z31=（z1）（z2+z+1）dfi?
z2+z+1=0?
z31=0=z?
ng?
l?
z11=z2,z7=z,z3=1dz11+z7+z3=z2+z+1=0.1.3?
z?
u1?
ng?
1+z+z2+zn1?
.）?
zn=1,z6=1K1+z+z2+zn1=1zn1z=0.1.4y?
ezX?
a0wn+a1wn1+an1w+an=0?
Kz?
.y?
g,nkzn=（z）nq?
aj?
=?
aj=ajdfi?
z?
a0wn+a1wn1+an1w+an=0?
ka0zn+a1zn1+an1z+an=0?
“?
$?
（0=0）a0zn+a1zn1+an1z+an=0ua0（z）n+a1（z）n1+an1z+an=0=z?
a0wn+a1wn1+an1w+an=0?
.21.5cos?
sinLcos5.）?
cos5=Re（cos5+isin5）=Re（cos+isin）5=Re（cos5+5icos4sin10cos3sin210icos2sin3+5cossin4+isin5）=cos510cos3sin2+5cossin4theta,?
sin5=5cos4sin10cos2sin3+sin5.1.6e6=0y1+cos+cos2+cosn=sin2+sin?
n+12?
2sin2,sin+sin2+sinn=cos2cos?
n+12?
2sin2.y?
-z=cos+isin,zn=cosn+isinnq?
1+z+z2+zn=1zn+11z=1+（cos+isin）+（cos2+isin2）+（cosn+isinn）=1cos（n+1）+isin（n+1）1（cos+isin）l?
（1+cos+cos2+cosn）+i（sin+sin2+sinn）=1（cos（n+1）+isin（n+1）（1cos+isin）（1cos）2+sin2=f（）2（1cos）=f（）4sin22?
f（）=1cos（n+1）（1cos）+sin（n+1）sin+isin（1cos（n+1）（1cos）sin（n+1）?
n?
=?
1+cos+cos2+cosn=Re（f（）4sin22）=sin2+sin?
n+12?
2sin2sin+sin2+sinn=Im（f（）4sin22）=cos2cos?
n+12?
2sin2.1.78E=（i,12i,23i,n1ni,）iE?
:
?
:
?
:
.1.88E=（12+i2,23+32i,34+43i,n1n+nn1i,）z?
:
?
E?
:
1+i?
:
?
uE.1.9?
v?
0arg（z1）4,2Rez3?
:
z|?
:
8?
o”）?
X?
K?
k.?
-6?
123xy01.10?
v?
0argziz+i0?
2xx2+（y+1）20?
02xx2+y211x
（2）2?
:
8（x+1）2+y2=2?
3?
k:
|?
8?
.?
.41?
EC?
EC.?
!
?
Vg?
（J?
2.1?
EEC?
:
8XJk?
Kf?
z=x+iyEw=u+ivC?
AKfE?
（?
EC.5?
w=u（x,y）+iv（x,y）=?
EC?
du?
C.PA=f（E）=f（x）|xE?
f（x）?
8XJfE?
A?
V?
KE?
A?
A.2.2?
f（z）38E?
（z0E?
:
?
EXJ0,=（）0?
xEToS（z0,）?
|f（z）|0,=（A）0?
xoS（z0,）TE?
|f（z）|AKf（z）z“Cuz0?
P?
limzz0zEf（z）=.2.4?
w=f（z）3.?
E?
（?
k?
EXJ0,=（）0?
zE,|z|?
|f（z）|0,=（A）0?
zE,|z|?
|f（z）|AKf（x0z“Cu?
P?
limzzEf（z）=.2.6?
w=f（z）=u（x,y）+iv（x,y）38E?
（?
E?
:
z0EXJlimzz0zEf（z）=f（z0）Kw=f（z）3z0:
u8EY.51?
f（z）3z0=x0+iy0Y?
=?
limxx0yy0u（x,y）=u（x0,y0）,limxx0yy0v（x,y）=v（x0,y0）.52?
ef（z）3?
E?
z?
:
YKf（z）3E?
Y.2.7?
f（z）38E?
（XJ0?
3?
k?
z?
=（）0?
z0,z00E?
|z0z00|?
|f（z0）f（z00）|Kf（z）3E?
Y.n2.1f（z）?
k.4?
E?
YKk:
（1）f（z）3E?
Y
（2）f（z）3E?
k.,（3）f（z）3E?
.2.8?
f（z）?
DS（?
z0DXJlimzz0zEf（z）f（z0）zz0?
3?
uEKf（z）3z0:
?
k?
P?
f0（z0）=.2.9XJf（z）3?
DSz?
:
?
Kf（z）3?
DS）?
.XJf（z）3z0?
S）?
Kf（z）3z0:
）?
.XJf（z）3?
GS）?
4?
DGKf（z）34?
D?
）?
.5?
Cu?
!
?
!
9E?
$?
2?
EC.n2.2?
f（z）=u（x,y）+iv（x,y）3?
DS（of（z）3:
z=x+iyD?
7?
3z=x+iyu（x,y）9v（x,y）?
vux=vy,uy=vx.5n2.3?
f（z）=u（x,y）+iv（x,y）3?
DS（of（z）3?
DS）?
7?
u（x,y）?
v（x,y）3DS?
3DS?
vux=vy,uy=vx.5?
3f（z）k?
e?
f0（z）=a+ib=ux+ivx=vyiuy.2.10?
ez?
z=x+iyCf（z）=ez=ex+iy=ex（cosy+isiny）ke5?
（1）xR,f（x）=ex.
（2）f（z）3C?
）?
dezdz=ez.（3）z1,z2C,f（z1+z2）=f（z1）f（z2）.（4）zC,f（z）6=0.（5）f（z）=ezk2i,f（z+2i）=f（z）.（6）N?
5?
f（z）=ezr?
/?
zB=z|zC,R,Imz+2V?
w?
09?
argw=?
.5?
f（z）=ez?
.2.11Lnz?
zC,z6=0?
w=ez?
w=Lnz=ln|z|+iArgz.duArgz=argz+2kdw=Lnz=ln|z|+iargz+2ki=lnz+2ki（kZ）p?
lnz?
Lnz?
argz6lw=Lnz?
w?
.
（1）z1,z2Cz1,z2?
kXe$?
5?
Ln（z1z2）=Lnz1+Lnz2,Lnz1z2!
=Lnz1Lnz2.
（2）uw=Lnz?
zflK.dw=Lnz=ln|z|+iArgzLnz?
Argz=argz+2k,kZ?
|:
0?
.?
Y?
K1?
3CK1?
Lnz）?
Y|?
Y|*?
e?
0?
Lnz?
|:
.（3）3z?
Lnz?
z?
S?
z?
:
?
kdlnzdz=1zl?
z?
Y|?
）?
|.（4）w=Lnz?
N?
5?
|w=ln|z|+iargz+2ki（argz）rz?
V?
w?
d（2k1）Imw1Kzn?
nJ?
z?
.
（2）dz=eLnz=elnze2kiuLnz?
A?
Y|Sdzdz=delnzdz=1zelnz=z1.（3）?
w=z1n=nz?
“3E?
K?
）0?
DSkA?
）?
|?
w=np|z|ein（argz+2k）（argz）=np|z|eargznie2kni（k=0,1,2,n1）.（4）w=z?
N?
5?
z?
0,2e3z?
0?
D?
z3DS?
）?
|?
DS?
/A?
0argz0,sin2z0,|cosz|61,|sinz|61?
tanz=sinzcosz,cotz=coszsinz,secz=1cosz,cscz=1sinz.2.14u?
n?
w=Arctanzdz=tanw（Arctanz=12iLn（zi）Ln（z+i）+ie（Ln（zi）9Ln（z
升级会员 