随机振动--第6章-傅里叶变换.pdf

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第第第第66章章章章傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换一个随机过程的特征可以用其数字一个随机过程的特征可以用其数字一个随机过程的特征可以用其数字一个随机过程的特征可以用其数字特征（数学期望、方差、相关函数）特征（数学期望、方差、相关函数）特征（数学期望、方差、相关函数）特征（数学期望、方差、相关函数）来描述，但这些都是在时间域里描述来描述，但这些都是在时间域里描述来描述，但这些都是在时间域里描述来描述，但这些都是在时间域里描述幅值的统计特性。

幅值的统计特性。

幅值的统计特性。

幅值的统计特性。

而工程中则往往希望能在频率域来而工程中则往往希望能在频率域来而工程中则往往希望能在频率域来而工程中则往往希望能在频率域来描述随机振动过程的特征。

常用的就描述随机振动过程的特征。

常用的就描述随机振动过程的特征。

常用的就描述随机振动过程的特征。

常用的就是功率谱密度函数（简称功率谱密是功率谱密度函数（简称功率谱密是功率谱密度函数（简称功率谱密是功率谱密度函数（简称功率谱密度、功率谱）度、功率谱）度、功率谱）度、功率谱）,所以就要用到所以就要用到所以就要用到所以就要用到傅里叶傅里叶傅里叶傅里叶变换。

变换。

变换。

变换。

1.1.傅立叶级数傅立叶级数傅立叶级数傅立叶级数2.2.傅立叶变换及其傅立叶变换及其傅立叶变换及其傅立叶变换及其1010大性质大性质大性质大性质3.3.狄拉克狄拉克狄拉克狄拉克函数及其性质函数及其性质函数及其性质函数及其性质1、傅立叶级数傅立叶级数傅立叶级数傅立叶级数1）傅立叶级数的实数形式傅立叶级数的实数形式傅立叶级数的实数形式傅立叶级数的实数形式任一周期函数任一周期函数任一周期函数任一周期函数x（tx（t）,）,如在如在如在如在-T/2,T/2T/2,T/2区区区区间满足狄利克雷（狄氏）条件，都可间满足狄利克雷（狄氏）条件，都可间满足狄利克雷（狄氏）条件，都可间满足狄利克雷（狄氏）条件，都可展开成傅立叶级数（傅氏级数）展开成傅立叶级数（傅氏级数）展开成傅立叶级数（傅氏级数）展开成傅立叶级数（傅氏级数）狄氏条件：

狄氏条件：

狄氏条件：

狄氏条件：

（11）函数连续或只有有限个第一类间断点；）函数连续或只有有限个第一类间断点；）函数连续或只有有限个第一类间断点；）函数连续或只有有限个第一类间断点；（22）函数只有有限个极值点。

）函数只有有限个极值点。

）函数只有有限个极值点。

）函数只有有限个极值点。

.3,2,1sin）（2cos）

（2）

（2）cos（sincos2）（）（22222201010ndttntxTbdttntxTadttxTatnAAtnbtnaatxTtxTTnTTnTTnnnnnn其中：

将其展开成傅氏级数：

，满足狄氏条件，则可，周期为设一周期函数.,.2/）（）cos（）cos（）;（;00001122系数傅立叶系数系数的直流分量，阶谐波；基波；相位角，阶谐波的幅值，其中各符号的意义为：

nnnnnnnnnnnnbaaaAtxAntnAtAabarctgBAAnA可以证明可以证明可以证明可以证明一个周期的时间函数一个周期的时间函数一个周期的时间函数一个周期的时间函数x（tx（t）展开成三角级数展开成三角级数展开成三角级数展开成三角级数时时时时,如采用傅立叶系数如采用傅立叶系数如采用傅立叶系数如采用傅立叶系数,则所得级数完全等则所得级数完全等则所得级数完全等则所得级数完全等价于原来的时间函数价于原来的时间函数价于原来的时间函数价于原来的时间函数x（tx（t）,）,没有任何遗漏没有任何遗漏没有任何遗漏没有任何遗漏.2）傅立叶级数的复数形式傅立叶级数的复数形式傅立叶级数的复数形式傅立叶级数的复数形式00110）（212）（21）（212）（）（21sin）（21cosnntjnnnntjnnnntjnnntjntjntjntjnejbaaejbaejbaatxeejtneetn：

代入实数形式公式可得利用欧拉公式可得：

22）

（1）（TTtjnnntjnndtetxTcectx其中：

可写成紧凑形式：

22、傅立叶变换、傅立叶变换、傅立叶变换、傅立叶变换狄氏条件狄氏条件狄氏条件狄氏条件:

（1）

（1）函数函数函数函数ff（tt）连续或只有有限个第一连续或只有有限个第一连续或只有有限个第一连续或只有有限个第一类间断点；类间断点；类间断点；类间断点；

（2）

（2）函数函数函数函数ff（tt）只有有限个极值点只有有限个极值点只有有限个极值点只有有限个极值点。

deFtfdefFtjj）（21）（）（）（傅立叶逆变换傅立叶变换傅立叶变换的傅立叶变换的傅立叶变换的傅立叶变换的1010大性质：

大性质：

大性质：

大性质：

（1）

（1）若若若若函数函数函数函数ff（tt）是实函数，则其傅立叶变换是实函数，则其傅立叶变换是实函数，则其傅立叶变换是实函数，则其傅立叶变换FF（ww）一般是复数：

一般是复数：

一般是复数：

一般是复数：

FF（ww）=）=RRe（e（ww）+j）+jIIm（m（ww）（可根据其定义证明可根据其定义证明可根据其定义证明可根据其定义证明）

（2）

（2）奇偶虚实定理奇偶虚实定理奇偶虚实定理奇偶虚实定理若若若若ff（tt）是实偶函数，则是实偶函数，则是实偶函数，则是实偶函数，则FF（ww）也为实偶函数；也为实偶函数；也为实偶函数；也为实偶函数；若若若若ff（tt）是实奇函数，则是实奇函数，则是实奇函数，则是实奇函数，则FF（ww）也为实奇函数。

也为实奇函数。

也为实奇函数。

也为实奇函数。

（3）（3）线形叠加定理线形叠加定理线形叠加定理线形叠加定理FFaaff（tt）=）=aaFFff（tt）=）=aaFF（ww）FFff11（tt）+）+ff22（tt）=）=FF11（ww）+）+FF22（ww）（4）（4）时域平移定理时域平移定理时域平移定理时域平移定理0）（）（0tjeFttfF傅立叶变换的傅立叶变换的傅立叶变换的傅立叶变换的1010大性质：

大性质：

大性质：

大性质：

（5）（5）对称性定理：

对称性定理：

对称性定理：

对称性定理：

把把把把FF（ww）的变量换成的变量换成的变量换成的变量换成tt,（6）（6）时域微分定理时域微分定理时域微分定理时域微分定理（7）（7）时域积分定理时域积分定理时域积分定理时域积分定理（8）（8）能量积分，能量积分，能量积分，能量积分，ParsevalParseval公式公式公式公式defFj）（）（）

（2）（ftFF）（）（）（FjdttfdFnnn）

（1）（FjdttfFtdFdttfdttf222）（21）（）（）（，即绝对可积设倒频谱倒频谱倒频谱倒频谱傅立叶变换的傅立叶变换的傅立叶变换的傅立叶变换的1010大性质：

大性质：

大性质：

大性质：

（9）（9）乘积定理：

乘积定理：

乘积定理：

乘积定理：

（10）（10）时间伸缩定理时间伸缩定理时间伸缩定理时间伸缩定理dFFdFFdttftf）（）（21）（）（21）（）（*212*121）

（1）（aFaatfF33、狄拉克、狄拉克、狄拉克、狄拉克函数（函数（函数（函数（函数）函数）函数）函数）是一个广义函数，没有普遍意义下的函数值。

是一个广义函数，没有普遍意义下的函数值。

是一个广义函数，没有普遍意义下的函数值。

是一个广义函数，没有普遍意义下的函数值。

定义：

满足下列条件的函数称为定义：

满足下列条件的函数称为定义：

满足下列条件的函数称为定义：

满足下列条件的函数称为函数。

函数。

函数。

函数。

推论一下：

推论一下：

推论一下：

推论一下：

1）（）2（000）（）1（dttttt当当1）（）2（0）（）1（0000dttttttttt当当函数的性质：

函数的性质：

函数的性质：

函数的性质：

）0（）（）（）（）（）（,）（）3（00001）（）2（;）（）（,）1（00fdtttftfdttttftfbababadttttba则有为一连续函数如果或当当函数是偶函数