数学建模国赛A题优秀获奖论文.pdf

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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承诺诺书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

西安电子科技大学参赛队员（打印并签名）：

1.欧阳照玮2.李娟3.王小磊指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：

2012年8月9日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编号号专专用用页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

1城市表层土壤重金属污染分析城市表层土壤重金属污染分析摘摘要要本文围绕城市表层土壤重金属污染问题，对土壤重金属的污染程度、污染的主要原因、污染源的确定等问题分别建立了模型，并对结果进行了详细的分析。

针对问题一，运用地统计学中的Kriging插值法对8种重金属元素的分布进行模拟。

对每一种重金属元素，分别建立指数、球形和高斯变异模型，选取三种函数中方均根预测值最小的作为变异函数。

运用Matlab绘制各个元素的三维空间分布图。

随后计算各功能区原始样本点的土壤内梅罗综合污染平均指数，参照等级划分表确定各功能区的污染程度。

结果显示，工业区污染最为严重，其次是交通区和生活区，公园绿地区和山区尚为清洁，土壤受污染程度最轻。

针对问题二，本文建立因子分析改进模型分析土壤中重金属的来源。

运用SPSS软件对8种重金属进行主成分分析，得到3个主因子。

累积变异量达到了70.941%。

将8种金属分为三类：

Pb,Cu,Cr,Ni,Cd,Zn的污染受到人类的工业生产的影响非常明显；Pb和Hg的分布主要是交通工具尾气排放的影响；As的分布和自然界中成土作用有关，受人类影响较小。

针对问题三，首先对土壤中重金属元素建立一维对流弥散方程，求解得到原方程参数值及浓度分布公式。

取不同的扩散时间，分析各地区重金属元素含量变化，得到重金属污染物的传播特性。

最后，寻找每种重金属元素的非正常极大值区域，并采用局部搜索的方法，利用实际数据拟合浓度分布公式，选取四个方向拟合优度均符合条件的点，作为该区域内的污染源。

最终得到重金属的23个点污染源。

针对问题四，加入对污染通过大气传播的途径的考虑，建立高斯扩散模型。

与问题三的模型相结合，与实际情况相结合考虑重金属污染的传播扩散受风速、风向、降水、水流等因素的影响。

最后，对模型进行了评价，分析了模型的优缺点，针对如何更准确找到污染源给出了自己的结论。

关键词：

关键词：

Kriging插值变异函数内梅罗综合污染指数因子分析对流弥散方程高斯扩散2一、问题重述一、问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。

为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0-10厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。

应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。

另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

要求你们通过数学建模来完成以下任务：

（1）给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

（2）通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

（3）分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

（4）分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？

有了这些信息，如何建立模型解决问题？

二、问题的分析二、问题的分析近几十年，由于城市化和工业化的高速发展，土壤重金属污染问题日益引发人们关注。

本文针对土壤重金属污染问题，主要解决四个相关问题，分别为确定重金属元素的空间分布并分析其在不同区域的污染程度，说明重金属污染的主要原因，确定污染源的位置，对模型进行评价与扩展并分析该城市地质环境的演变模式。

2.12.1问题一：

确定重金属元素空间分布并分析不同区域重金属的污染程度问题一：

确定重金属元素空间分布并分析不同区域重金属的污染程度问题一要求确定8种重金属的空间分布并分析不同区域重金属的污染程度。

由于受到人为活动和气候因素的影响，重金属元素在土壤中的分布满足一定的随机性和结构性。

传统统计学方法不考虑测定参数和测定位置之间的关系，只根据空间不同位置的测定数据，无法进行区域内的优化插值计算，更无法表现出重金属元素的空间分布，所以本文采用地统计学方法。

Kriging插值法是地统计学中一种重要的数据处理方法。

可用于探测研究对象的空间自相关结构（或空间变异结构）,并估计模拟变量值。

通过Matlab绘制出不同重金属元素在土壤空间中的分布图。

分析其空间分布特征及其变异规律。

把重金属空间分布图与功能区分布图进行比较，对5个区域的八种重金属元素浓度数据进行处理，分析不同地区重金属污染的分布特点。

求出五个区域八种重金属浓度的内梅罗综合污染指标，通过与国家环境二级标准和该地区背景值相3比较，以此来刻画重金属的污染程度。

2.22.2问题二：

说明重金属污染的主要原因问题二：

说明重金属污染的主要原因问题二要求说明该城区重金属污染的主要原因，土壤中重金属含量可能受到人为或自然原因的影响，在遵循合理性、代表性、系统性以及可获得性的原则下，本文采用因子分析法来判别土壤重金属元素的来源。

因子分析法是将具有相关性的多个原始指标的评价问题转换为较少的、新的综合指标的评价问题。

所以，利用SPSS先分析8种重金属元素的相关性，以8种重金属元素浓度为单个因子，利用因子分析法，得到影响土壤整体变异性的3个重金属污染主因子。

根据主因子的变异特征向量大小，将8种重金属元素进行分类。

由于各类因子所受影响不同，结合前面的8种重金属空间分布图，在一定程度上能反映出人类活动和自然过程的影响程度，从而得到重金属污染的主要原因。

2.32.3问题三：

分析重金属传播特性并确定污染源位问题三：

分析重金属传播特性并确定污染源位置置问题三要求分析重金属污染物的传播特性，确定污染源的位置。

根据土壤中重金属浓度距离污染源越远浓度越低的特性，引用一维对流弥散改进模型模拟重金属元素的传播模式，从而分析重金属污染物的传播特性。

利用问题一中的插值数据建立二维矩阵，在Matlab中求出矩阵极值，再结合附件3中土壤重金属背景值，找出城区内不满足正常重金属元素含量范围的极大值点，这样便大概确定了污染源所在的范围。

2.42.4问题四：

模型评价并研究城市地质环境的演变模式问题四：

模型评价并研究城市地质环境的演变模式问题四要求确定收集信息，并建立模型使更好地研究城市地质环境的演变模式。

研究地质环境的演变模式可简化为分析预测地质中重金属元素含量的变化。

而在之前的模型建立过程中，我们没有考虑过地形、高度及沉降的影响，这样会对重金属的含量预测造成一定的误差。

故我们考虑收集风向、风速等数据，对大气中的重金属元素建立高斯扩散模型，从而更加精确的分析预测土壤中重金属元素含量的变化，为研究地质环境的演变模式提供了一定的依据。

三、模型假设与符号说明三、模型假设与符号说明3.13.1条件假设条件假设1.1.假设重金属元素在土壤和水中化学反应均匀。

2.2.假设各区域成土母质中含重金属的浓度是相同的。

3.3.假设各区域重金属分布稳定，污染源排放量不变。

4.4.假设采样数据合理，能够反映当地的土壤质量。

5.5.假设污染物浓度保持不变，且其他地点的污染物含量为叠加形式，即在较短时间内，污染物不会发生降解等使污染物浓度降低的情况。

3.23.2符号说明符号说明符号符号符号解释符号解释（）rh变异函数0C块金常数1C拱高4RMSPE均方根预测误差iP重金属i的污染指数iC污染物i的实测含量iS污染物二级参考标准值P综内梅罗综合污染指数iY重金属浓度标准化后的可观测指标iX公共因子ija因子载荷k污染物浓度随时间变化量1Q空间域内污染物通过的流量2Q空间域内污染物的增量0Q污染源释放的重金属总量R扩散影响半径注：

其他未注明的符号具体在文章中说明注：

其他未注明的符号具体在文章中说明四、模型准备四、模型准备4.14.1功能区分布图功能区分布图利用Matlab软件，根据附件1的采样地理位置，绘出二维等高线图，并标出功能区分布情况，如图1所示：

图图1该城区该城区5个功能区分布图个功能区分布图在图1中，“*o+x”分别代表生活区、工业区、公园绿地区、交通区5和山区。

从图1可以看出，右上角地势高，左下角地势低，生活区均匀分布于图形主对角线左下方，工业区位于副对角线上方且布局沿对副角线方向，公园绿地区称斜“V”字型，分布于图形偏左侧，交通区密集分布与整个图形中，山区则位于地势较高处。

五、模型的建立与求解五、模型的建立与求解5.15.1问题一：

问题一：

确定重金属元素空间分布并分析不同区域重金属的污染程度确定重金属元素空间分布并分析不同区域重金属的污染程度5.1.15.1.1模型模型I:

I:

土壤重金属的空间变异性模型土壤重金属的空间变异性模型模型的建立模型的建立（11）Kriging空间插值法是以变异函数为基础的，其参数设置和变异函数模型的选择对内插值效果影响很大。

变异函数的计算一般要求数据符合正态分布，所以本文先对8种重金属浓度数据进行正太分布检验。

检验数据的正态分布性有多种方法：

频率分布直方图法、卡法检验法、Q-Q图、P-P图等。

本文利用SPSS统计软件，对土壤重金属元素浓度数据取对数后绘制出Q-Q图，检验其正态分布性。

8中重金属元素浓度数据的Q-Q图，如图2所示：

图图2八种重金属元素的正态八种重金属元素的正态Q-Q图（对数处理后）图（对数处理后）由上图可见，8种重金属元素浓度的正态分布Q-Q图大致是一条直线，所以可看作服从正态分布。

所以可以建立变异函数模型，进行Kriging差值。

（22）利用Kriging插值法进行空间插值时，均要求变量具有符合本征假设的规定。

即增量（）（）ZxZxh

（1）的方差函数存在且平稳（不依赖于x）。

式中（）Zx和（）Zxh表示空间区域内距离为h的两个位置的观测值。

即当空间距离h较小时,估计点与样点（已知高程点）的相关性较高、变异性较小；反之,估计点与样点的相关性较小、变异性较大。

随着h的增加,变异函数（）r