定积分的应用-定积分的物理应用.pdf

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第六章第六章一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题三、同步练习三、同步练习四、同步练习解答四、同步练习解答第三节第三节定积分的物理应用定积分的物理应用一、主要内容一、主要内容（一一）平面物质线段的质量平面物质线段的质量已知在闭区间已知在闭区间a,b上的物质直线段上的物质直线段L，线密度为，线密度为（x），且，且（x）是连续函数，是连续函数，求线段求线段L的质量的质量.取积分变量为取积分变量为x，,d,baxxx+，质量元素：

质量元素：

xxMd）（d=从而线段从而线段L的质量为的质量为.d）（=baxxMxoLabxxxd+（二二）功功）（00abFW=?

）（WxF是变力，如何求功现在是变力，如何求功现在xab）（xFxO问题：

问题：

设物体在连续变力设物体在连续变力F（x）作用下沿作用下沿x轴从轴从xa移动到移动到x=b，力的方向与，力的方向与运动方向平行，运动方向平行，求变力所作的功求变力所作的功.由物理学，已知常力由物理学，已知常力F0将质点从点将质点从点a移至移至b,所作的功为：

所作的功为：

1.变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功功功W具有可用定积分计算的量的三个特征，故可考虑用定积分的具有可用定积分计算的量的三个特征，故可考虑用定积分的“元素法元素法”来计算来计算.,d,1baxxx+oxxFWd）（d=功元素：

功元素：

）d（WW=baxxFWd）（2o注注当力的方向与质点的运动方向一致时，当力的方向与质点的运动方向一致时，W为为正正；当力的方向与质点的运动方向相反时，；当力的方向与质点的运动方向相反时，W为为负负.xxd+xoab）（xFx2.从容器中抽出液体作的功从容器中抽出液体作的功（三三）液体侧压力液体侧压力设液体密度为设液体密度为,深为深为h处的压强处的压强:

hpg=h当平板与水面平行时当平板与水面平行时,ApP=当平板不与水面平行时当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用定积分来解决所受侧压力问题就需用定积分来解决.平板一侧所受的压力为平板一侧所受的压力为面积为面积为A的平板的平板（四四）引力问题引力问题质量分别为质量分别为21,mm的质点的质点,相距相距r,1mr2m二者间的引力二者间的引力:

大小大小:

221rmmkF=方向方向:

沿两质点的连线沿两质点的连线若考虑若考虑物体物体对对质点质点的引力的引力,回顾：

回顾：

两质点的引力两质点的引力则需用积分解决则需用积分解决.二、典型例题二、典型例题例例1一金属棒长一金属棒长3（m），离棒左端，离棒左端x（m）处的线密度为处的线密度为（x）=）,/（11mkgx+问：

问：

x为何为何值时，值时，0,x一段的质量为全棒的一半？

一段的质量为全棒的一半？

解解0,x上一段的质量为上一段的质量为=xxxxM0d）（）（+=xxx0d11xx012+=+=）11（2+=x而全棒的质量为而全棒的质量为M（3）=2,故依题意有故依题意有）3（21）（MxM=1）11（2=+x即即mm5（）.4x=）11

（2）（+=xxM例例2自地面垂直地向上发射火箭自地面垂直地向上发射火箭.设火箭的质量为设火箭的质量为m,求：

求：

（1）火箭离开地面距离为火箭离开地面距离为h时，克服地球引力时，克服地球引力所作的功所作的功W;

（2）若要火箭飞离地球，火箭的初始速度若要火箭飞离地球，火箭的初始速度v0至少为多少？

至少为多少？

解解

（1）1建立坐标系建立坐标系（如图如图）rO设地球的质量为设地球的质量为M,半径为半径为R.地平面地平面rO地平面地平面rRr+用于克服地球引力的外力：

地球对位于点用于克服地球引力的外力：

地球对位于点r处的火箭的引力：

处的火箭的引力：

2由万有引力定律，由万有引力定律，21）（）（RrmMkrF+=+=21）（）（）（RrmMkrFrF+=+=,0d,3hrrr+ohr+dr功元素：

功元素：

rrFWd）（d=rRrmMkd）（2+=+=R地心地心=hrrFW0d）（+=+=hrRrmMk02d）（hRrkmM0）1（+=+=）11（hRRkmM+=时时，在地球表面，即在地球表面，即0=rQmgRmMkF=2）0（.2MgRk=）11（2hRRmgR+=o4

（2）当火箭飞离地球时，即当火箭飞离地球时，即时，时，+hWWh+=lim+=+=02d）（rRrmMkmgR=Wmv2021由由mgR=若要火箭飞离地球，则火箭的初始动能至少要等于火箭飞离地球时克服地球引力所作的功（即由此功全部转化成的火箭的位能）若要火箭飞离地球，则火箭的初始动能至少要等于火箭飞离地球时克服地球引力所作的功（即由此功全部转化成的火箭的位能）,20gRv得得将将626.37110（）,9.8（）Rmmgs=）（2.110skmv代入得代入得第二宇宙速度第二宇宙速度一圆柱形蓄水池高为一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为米，底半径为3米，池内盛满了水米，池内盛满了水.例例3分析分析把一桶重量为把一桶重量为P的水的水（看成质点看成质点）,提到高度为提到高度为h的地方，克服重力的地方，克服重力所作的功为：

所作的功为：

hPW=然而，现在的情形是将池内的水连续不断地然而，现在的情形是将池内的水连续不断地问：

要把池内的水全部吸出，需作多少功？

问：

要把池内的水全部吸出，需作多少功？

点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停抽出，而不是象提水桶那样，抽出，而不是象提水桶那样，整体整体一下子提到某一高度。

在水被抽出的过程中，液面到池口的距离是一个一下子提到某一高度。

在水被抽出的过程中，液面到池口的距离是一个变量变量.解决的方法：

解决的方法：

把池中的水分成若干层，则把池中的水分成若干层，则“把池中的水抽空所作的功把池中的水抽空所作的功”=“分别把每层水从池中抽出所作的功的和分别把每层水从池中抽出所作的功的和”.=niiWW1即即而而“把每层水从池中抽出所作的功把每层水从池中抽出所作的功”iW“把这层水看成一个整体从池中提到池口所作的功把这层水看成一个整体从池中提到池口所作的功”.解解建立坐标系如图建立坐标系如图取取x为积分变量，为积分变量，5,0xxo5取任一小区间取任一小区间d,xxx+,这一薄层水的重力元素为这一薄层水的重力元素为:

xPd38.9d2=功元素：

功元素：

d2.88ddxxPxw=xxwd2.8850=50222.88=x3462（千焦）（千焦）xxxd+例例4小窄条上各点的压强近似相等小窄条上各点的压强近似相等33g2R=为为的液体的液体,求桶的一个端面所受的侧压力求桶的一个端面所受的侧压力.解解建立坐标系如图建立坐标系如图.所论半圆所论半圆22xRy=）0（Rx利用对称性利用对称性,侧压力元素侧压力元素=RP0xxRxdg222oyRxxxd+gpx=的方程为的方程为一水平横放的半径为一水平横放的半径为R的圆桶的圆桶,内盛半桶密度内盛半桶密度=Pd222dpRxxx端面所受侧压力为端面所受侧压力为注注1当桶内充满液体时当桶内充满液体时,小窄条上的压强小窄条上的压强,）（gxR+近似为为侧压力元素近似为为侧压力元素故端面所受侧压力为故端面所受侧压力为奇函数奇函数=RxxRR022dg4.3Rg=oxyRxxxd+,d222xxR=Pd）（gxR+4g42RR=+=RRxxRxRPd）（g222xR+2对于选定的坐标系，平板边界曲线的方程，对于选定的坐标系，平板边界曲线的方程，水深，积分区间水深，积分区间R一定一定要要匹配！

匹配！

例例5设有一长度为设有一长度为l,线密度为线密度为的均匀细直棒的均匀细直棒,在其中垂线上距在其中垂线上距a单位处有一质量为单位处有一质量为m的质点的质点M,试计算该棒对质点的引力试计算该棒对质点的引力.M解解建立坐标系如图建立坐标系如图.y2l2ld,xxx+细棒上小段对质点的引力大小为+细棒上小段对质点的引力大小为kF=dxmd22xa+故垂直分力元素为故垂直分力元素为cosddFFy=a+=22dxaxmk22xaa+2322）（dxaxamk+=+=axoxFdxFdyFdxxd+利用对称性利用对称性+=+=202322）（d2lyxaxamkF22412laalmk+=棒对质点引力的水平分力棒对质点引力的水平分力.0=xF22412llmkF+=aa故棒对质点的引力大小为故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为棒对质点的引力的垂直分力为20222lxaaxamk+=+=My2l2laaxoxFdxFdyFdxxd+注注amk22若考虑质点沿若考虑质点沿y轴从轴从a处移到处移到1当细棒很长时当细棒很长时,可视可视l为无穷大为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.b（ab）处时，克服引力作的功处时，克服引力作的功,则有则有+=balyyylmkW224d222412llmk+yy=Wdydy2l2laoxxxd+xbyloxyacosd=FyFd2322）（dxaxamk+=+=xFd2322）（dxaxxmk+=+=+=+=lyxaxamkF02322）（d+=+=lxxaxxmkF02322）（d引力大小为引力大小为22yxFFF+=+=22ddxaxmkF+=xxxd+xFdyFdsind=F注意正负号注意正负号3当质点位于棒的左端点垂线上时当质点位于棒的左端点垂线上时,三、同步练习三、同步练习1.在底面积为在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀气体，在等温条件下，由于气体的膨胀,把容器把容器求移动过程中气体压力所作的功求移动过程中气体压力所作的功.中的一个面积为中的一个面积为S的活塞从点的活塞从点a处移动到点处移动到点b处处（如图如图）,2.在一个带在一个带+q电荷所产生的电场作用下电荷所产生的电场作用下,一个单位正电荷沿直线从距离点电荷一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到处移动到b处处（ab）,求电场力所作的功求电场力所作的功.用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次3.锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功厘米，若每次锤击所作的功相等，问第相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？

次锤击时又将铁钉击入多少？

.水池内注水水池内注水的半球形的流量往半径为以每秒的半球形的流量往半径为以每秒Ra4.?

）2（;）0（）1（至少需作功多少若再将满池水全部抽出时水面上升的速度求在池中水深至少需作功多少若再将满池水全部抽出时水面上升的速度求在池中水深Rhh5.将直角边各为将直角边各为a及及a2的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力6.斜边为定长的直角三角形薄板斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于水中垂直放置于水中,并使一直角边与水面相齐并使一直角边与水面相齐,问斜边与水面交成锐角问斜边与水面交成锐角取多大时，薄板所受的压力取多大时，薄板所受的压力P最大最大.设星形线设星形线taytax33sin,cos=上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在点=上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在点O处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.7.在底面积为在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀,把容把容四、同步练习解答四、同步练习解答1.求移动过程中气体压力所作的功求移动过程中气体压力所作的功.解解建立坐标