常微分方程第三版课后习题答案(1).pdf
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1常微分方程第三版课后习题答案常微分方程第三版课后习题答案常微分方程习题常微分方程习题22.111.,并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.解:
对原式进行变量分离得并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.解:
对原式进行变量分离得:
3解:
原式可化为:
2312解41516解:
5,这是齐次方程,令17.解:
原方程化为令方程组则有令当当另外619.已知f(x).解:
设f(x)=y,则原方程化为两边求导得720.求具有性质x(t+s)=的函数x(t),已知x(0)存在。
解:
令t=s=0x(0)=若x(0)0得x=-1矛盾。
所以x(0)=0.x(t)=)两边积分得arctgx(t)=x(0)t+c所以x(t)=tgx(0)t+c当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=tgx(0)t习题2.2求下列方程的解1=解:
y=e(e)=e-e()+c=ce-()是原方程的解。
2+3x=e解:
原方程可化为:
=-3x+e所以:
x=e(ee)=e(e+c)=ce+e是原方程的解。
3=-s+解:
s=e(e)=e()8=e()=是原方程的解。
4,n为常数.解:
原方程可化为:
是原方程的解.5+=解:
原方程可化为:
=-()=是原方程的解.6解:
=+令则=u因此:
=(*)9将带入(*)中得:
是原方程的解.101113这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以,令P(x)=Q(x)=-112由一阶线性方程的求解公式=14两边同乘以令这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以令P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式=1315这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以令=P(y)=-2yQ(y)=由一阶线性方程的求解公式=16y=+P(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式14=c=1y=17设函数(t)于t上连续,(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)试求此函数。
令t=s=0得(0+0)=(0)(0)即(0)=故或
(1)当时即,)
(2)当时=于是变量分离得积分由于,即t=0时1=c=1故20.试证:
(1)一阶非齐线性方程(2.28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3)之解;
(2)若是(2.3)的非零解,而是(2.28)的解,则方程(2.28)的通解可表为,其中为任意常数.15(3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的解.证明:
(2.28)(2.3)
(1)设,是(2.28)的任意两个解则
(1)
(2)
(1)-
(2)得即是满足方程(2.3)所以,命题成立。
(2)由题意得:
(3)(4)1)先证是(2.28)的一个解。
于是得故是(2.28)的一个解。
2)现证方程(4)的任一解都可写成的形式设是(2.28)的一个解16则(4)于是(4)-(4)得从而即所以,命题成立。
(3)设,是(2.3)的任意两个解则(5)(6)于是(5)得即其中为任意常数也就是满足方程(2.3)(5)(6)得即也就是满足方程(2.3)所以命题成立。
21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。
(5)曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方;(6)曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项;解:
设为曲线上的任一点,则过点曲线的切线方程为17从而此切线与两坐标轴的交点坐标为即横截距为,纵截距为。
由题意得:
(5)方程变形为于是所以,方程的通解为。
(6)方程变形为于是18所以,方程的通解为。
22求解下列方程。
(1)解:
=
(2)P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式=19=习题2.31、验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解。
1.解:
,=1.则所以此方程是恰当方程。
凑微分,得:
2解:
,.则.所以此方程为恰当方程。
凑微分,得3解:
20则.因此此方程是恰当方程。
(1)
(2)对
(1)做的积分,则=(3)对(3)做的积分,则=则故此方程的通解为4、解:
,.21.则此方程为恰当方程。
凑微分,得:
5.(sin-cos+1)dx+(cos-sin+)dy=0解:
M=sin-cos+1N=cos-sin+=-sin-cos-cos+sin=-sin-cos-cos+sin所以,=,故原方程为恰当方程因为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0d(-cos)+d(sin)+dx+d(-)=0所以,d(sin-cos+x-)=0故所求的解为sin-cos+x-=C求下列方程的解:
62x(y-1)dx+dy=0解:
=2x,=2x22所以,=,故原方程为恰当方程又2xydx-2xdx+dy=0所以,d(y-x)=0故所求的解为y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解:
edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以,de(x-2x+2)+d(xy)=0即de(x-2x+2)+xy=0故方程的解为e(x-2x+2)+xy=C8.2xydx+(x+1)dy=0解:
2xydx+xdy+dy=0d(xy)+dy=0即d(xy+y)=0故方程的解为xy+y=C9、解:
两边同除以得即,故方程的通解为10、23解:
方程可化为:
即,故方程的通解为:
即:
同时,y=0也是方程的解。
11、解:
方程可化为:
即:
故方程的通解为:
12、解:
方程可化为:
故方程的通解为:
即:
13、解:
这里,方程有积分因子两边乘以得:
方程是恰当方程故方程的通解为:
24即:
14、解:
这里因为故方程的通解为:
即:
15、解:
这里方程有积分因子:
两边乘以得:
方程为恰当方程故通解为:
即:
16、解:
两边同乘以得:
故方程的通解为:
17、试导出方程具有形为和的积分因子的充要条件。
25解:
若方程具有为积分因子,(是连续可导)令,.,方程有积分因子的充要条件是:
是的函数,此时,积分因子为.令,26此时的积分因子为18.设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.证:
必要性若该方程为线性方程,则有,此方程有积分因子,只与有关.充分性若该方程有只与有关的积分因子.则为恰当方程,从而,.其中.于是方程可化为即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u),g(u)连续、可微且f(u)g(u),,试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子u=(xyf(xy)-g(xy)证:
在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得:
uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0则=uf+uy+yf=+-yf27=而=ug+ux+xg=+-xg=故=,所以u是方程得一个积分因子21假设方程(2.43)中得函数M(x,y)N(x,y)满足关系=Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数,试证方程(2.43)有积分因子u=exp(+)证明:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即证u+M=u+Nu(-)=N-Mu(-)=Nef(x)-Meg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y)由已知条件上式恒成立,故原命题得证。
22、求出伯努利方程的积分因子.解:
已知伯努利方程为:
两边同乘以,令,28线性方程有积分因子:
,故原方程的积分因子为:
,证毕!
23、设是方程的积分因子,从而求得可微函数,使得试证也是方程的积分因子的充要条件是其中是的可微函数。
证明:
若,则又即为的一个积分因子。
24、设是方程的两个积分因子,且常数,求证(任意常数)是方程的通解。
证明:
因为是方程的积分因子所以为恰当方程即,下面只需证的全微分沿方程恒为零事实上:
29即当时,是方程的解。
证毕!
习题2.4求解下列方程1、解:
令,则,从而,于是求得方程参数形式得通解为.2、解:
令,则,即,从而30,于是求得方程参数形式得通解为.3、解:
令,则,从而=,于是求得方程参数形式的通解为,另外,y=0也是方程的解.4、,为常数解:
令,则,从而,于是求得方程参数形式的通解为.5、131解:
令,则,从而,于是求得方程参数形式的通解为.6、解:
令,则,得,所以,从而,于是求得方程参数形式的通解为,因此方程的通解为.习题2.52解:
两边同除以,得:
即324解:
两边同除以,得令则即得到,即另外也是方程的解。
6解:
得到即另外也是方程的解。
8.解:
令33则:
即得到故即另外也是方程的解。
10解:
令即而故两边积分得到因此原方程的解为,。
12.解:
令则即故方程的解为3414解:
令则那么求得:
故方程的解为或可写为16解:
令则即方程的解为18解:
将方程变形后得同除以得:
35令则即原方程的解为19.X(解:
方程可化为2y(令363727.解:
令,则,两边积分得即为方程的通解。
另外,即也是方程的解。
28.解:
两边同除以,方程可化为:
令,则38即,两边积分得即为方程的解。
29.解:
令,则,那么即两边积分得即为方程的解。
30.解:
方程可化为两边积分得即为方程的解。
31.解:
方程可化为39两边同除以,得即令,则即两边积分得将代入得,即故32.解:
方程可化为两边同加上,得(*)再由,可知(*)将(*)/(*)得即整理得两边积分得即40另外,也是方程的解。
33.求一曲线,使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。
解:
设为所求曲线上的任一点,则在点的切线在轴上的截距为:
由题意得即也即两边同除以,得即即为方程的解。
34.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动,全速时停止了发动机,过了20秒钟后,艇的速度减至米/秒。
确定发动机停止2分钟后艇的速度。
假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。
解:
,又,由此即其中,解之得又时,;时,。
故得,从而方程可化为41当时,有米/秒即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。
35.一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个和时间成正比(比例系数为k1)的力作用在它上面,此质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比(比例系数为k2)。
试求此质点的速度与时间的关系。
解:
由物理知识得:
根据题意:
故:
即:
(*)式为一阶非齐线性方程,根据其求解公式有又当t=0时,V=0,故c=因此,此质点的速度与时间的关系为:
36.解下列的黎卡提方程
(1)解:
原方程可转化为:
观察得到它的一个特解为:
,设它的任意一个解为,代入(*)式得到:
42由(*)-(*)得:
变量分离得:
两边同时积分:
即:
故原方程的解为
(2)解:
原方程可化为:
由观察得,它的一个特解为,设它的任意一个解为,故变量分离再两边同时积分得:
即故原方程的解为(3)解:
原方程可化为:
由观察得到,它的一个特解为,设它的任一个解为,故,该式是一个的伯努利方程两边同除以得到:
即:
,令,则:
,根据一阶非齐线性方程的求解公式得:
故:
因此:
原方程的解为:
43(4)解:
原方程可化为:
由观察得到,它的一个特解为,设它的任一个解为,于是,这是的伯努利方程两边同除以得到:
即:
则:
即:
故:
原方程的解为:
(5)解:
原方程可化为:
由观察得,它的一个特解为,故设它的任一个解为,于是,这是的伯努利方程两边同除以得到:
即:
则:
故:
原方程的解为:
,即.(6)解:
原方程可化为:
44由观察得到它的一个特解为,设它的任一个解为,于是,这是的伯努利方程两边同除以得到:
即:
则:
从而:
故原方程的解为:
即:
(7)解:
由观察得到它的一个特解为,故设它的任一个解为,于是,这是n=2的佰努利方程,两边同除以得:
即:
从而:
故原方程的解为:
习题3.1451求方程=x+y通过点(0,0)的第三次近似解;解:
取=2求方程=x-y通过点(1