CCER博士的高级宏观经济学模型笔记.pdf

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XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记1高级宏观经济学笔记高级宏观经济学笔记（v1.0）（v1.0）徐高12003年11月1Xu_XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记2第一部分第一部分经济增长经济增长1Solow增长模型增长模型（）（）（）,（）（tLtAtKFtY=（1.1）此式可写为：

）（kfy=2）（）（tnLtL=&,）（）（tgAtA=&,）（）（）（tKtsYtK=&（1.2）则（）（）（）（）（tkgntksftk+=&（1.3）实际投资sf（k）持平投资（n+g+）kk*每有效劳力的投资k图1.1Solow增长模型黄金率：

黄金率：

（）*）（kgnkfc+=（1.4）（）（）sgnskgngnskfsc+=）,（）,（*黄金水平的资本存量*GRk应使（）+=gngnskfGR）,（*（1.5）数量分析之长期的影响：

数量分析之长期的影响：

（）（）,（）,（*gnskgngnsksf+=（）skgnkfskkfs+=+*）（）（2其中：

ALKk=,ALYy=,（）1,）（KFkf=。

）（kf满足稻田（Inada）条件：

=）（lim0kfk及0）（lim=kfkXGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记3（）（）（*kfsgnkfsk+=（1.6）（）（）（）（）（*kfsgnkfkfskkfsy+=（1.7）又）（）（）（*kfkfkkK=为在*kk=时的资本产出弹性，在*kk=时（）*）（kgnksf+=故（）

（1）（）（）

（1）（）（）（）（）（）（*kkkfkfkkfkfkkfsgnkfkfkfssyysKK=+=（1.8）数量分析之收敛速度：

数量分析之收敛速度：

资本存量的增长速度是资本存量的函数，写为）（kkk&=将其在*k处展开成一阶泰勒级数为（）*）（kkkkkkkk=&（1.9）令（）*kkkkk=&则（）（）*ktktk=&（1.10）（）（）*0kkektkt+（）（）（）（）（）（）（*kfkfkgngngnkfskkkkk+=+=&（）+=gnkK）（1*（1.11）由上二式可以估算收敛的速度。

增长计量（增长计量（GrowthAccounting）：

）：

）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（tAtAtYtLtLtYtKtKtYtY&+=（1.12）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（tAtAtAtYtYtAtLtLtLtYtYtLtKtKtKtYtYtKtYtY&+=）（）（）（）（）（）（）（tRtLtLttKtKtLK+&（1.13）XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记4）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（tRtLtLtKtKttLtLtYtYK+=&3（1.14）运用上式可以将每人的增长分解为资本增长的贡献和“Solow剩余”。

2Ramsey-Cass-koopmans模型模型2.1假设假设厂商厂商：

有大量同样的厂商，每一厂商的生产函数均为Y=F（K,AL）。

生产函数的设定与Solow模型中相同。

见式（2.2）（2.3）及注释1，但资本折旧为零。

家庭家庭：

家庭的效用函数为dtHtLtCueUtt）（）（0=（2.1）=1）（）（1tCtCu4，0，（）01gn（2.2）（tC是每人的消费，）（tL是经济体中的总人口，H是经济中的家庭数，为贴现率。

2.2厂商与家庭的行为厂商与家庭的行为厂商：

厂商：

真实利息率为）（）,（）（tkfKALKFtr=（2.3）真实工资率为）（）（）（）（）,（）（tkftktkftALALKFtW=（2.4）每有效劳力（effectivelabor）的工资为）（）（）（）（）（）（tkftktkftAtWtw=（2.5）家庭的预算约束：

家庭的预算约束：

=+0）（0）（）（）（）0（）（）（ttRttRdtHtLtWeHKdtHtLtCe（2.6）其中=tdrtR0）（）（在时刻s家庭的资本拥有量为=+=0）（）（）（）（）（）（）0（）（ttRsRsRdtHtLtCtWeHKeHsK（2.7）则家庭的预算约束又可写为0）（lim）（HsKesRs（2.8）家庭的效用最大化：

家庭的效用最大化：

3这里的推导用到了1）（）（=+ttKL4这种效用函数被称为Constant-relative-risk-aversion（或CRRA）效用函数XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记5设）（tc为每有效劳力的消费，则每人的消费）（）（）（tctAtC=，则（）=1）（）0

（1）（）0

（1）（）

（1）（1111111tceAtceAtctAtCgtgt（2.9）将上式带入效用函数（2.1）得（）=0111011）（）0（）0（）

（1）（tntgttttdttceeeHLAdtHtLtCeU=011）（ttdttce（2.10）其中HLAB）0（）0（1，（）gn1将（2.5）式除以HLA）0（）0（可得新的预算约束为（）（）=+=+0）（0）（）（）0（）（ttgntRttgntRdtetwekdtetce（2.11）家庭的行为：

家庭的行为：

家庭选择）（tc的路径以最大化在（2.11）约束下的效用（2.10）。

建立Lagrangian函数如下求解最大化问题=011）（ttdttceBL（）（）+=+=+0）（0）（）（）（）0（ttgntRttgntRdtetcedtetwek（2.12）由一阶条件可得5（）tgntRteetcBetcL+=）（）（0）（2.13）对上式（2.13）取对数得（）（）tgndrtgntRtctBt+=+=0）（ln）（ln）（lnln（2.14）将上式（2.14）左右两边对t求导得（）gntrtctc+=）（）（）（&（2.15）即gtrgntrtctc=）（）（）（）（&（2.16）5这里采用的方法，即不考虑积分符号，有些不正规。

正规的做法应采用变分法，但在这里变分法实际上简化成了我们这里使用的方法。

XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记62.3经济体的动态经济体的动态c的变化：

c的变化：

由于所有的家庭都是一样的，故式（2.16）实际上显示了整个经济体的消费的变化。

将利息的表达式（2.3）带入（2.16）得gtkftctc=）（）（）（&（2.17）k的变化：

k的变化：

k的变化应为实际投资减去持平投资（n+g）k（）（）（）（）（tkgntctkftk+=&（2.18）dc/dt=0dk/dt=0Ekck（0）k*E1E2saddlepathk*1贴现率下降政府购买永久增加图2.1k、c的变化，鞍线及贴现率及政府购买的影响经济的动态：

经济的动态：

经济的动态可由图2.1显示。

令0=c&及0=k&可分别得到图中的竖线和弧线。

图中的红色箭头显示了c与k的变化趋势。

任给经济体的初始资本存量（每有效劳力），由图中可见，消费只能取k（0）线与鞍线交点处的值，否则经济体会要么资本趋向于零，要么消费趋向于零。

最终，经济体会收敛到E点的平衡状态上，c与k再也不发生变化，达到平衡增长路径。

2.4平衡增长路径平衡增长路径福利福利:

由于Ramsey-Cass-Koopmans模型的条件满足第一福利公理，因此，在该模型中的均衡是帕累拖有效的（Pareto-efficient）。

平衡增长路径的特征平衡增长路径的特征XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记7当Ramsey-Cass-Koopmans模型收敛到E点时，模型的表现行为与Solow模型一致。

每有效劳力的资本、产出和消费保持不变；总资本、总产出和总消费以（n+g）的速率增长；人均的资本、产出和消费以g的速率增长。

黄金率的资本存量（Golden-RuleLevelofCapital）黄金率的资本存量（Golden-RuleLevelofCapital）在Ramsey-Cass-Koopmans模型中，资本存量高于黄金率水平的平衡增长路径是不可能的。

由第一章的式（1.5）可知：

gngnkfGR+=+=）（6（2.19）将0=c&带入（2.17）式可得gkf+=）（*（2.20）（2.20）式减去（2.19）式并带入（2.2）式中的假设得（）01）（）（*=gnkfkfGR（2.21）又）（f是减函数，故GRkk，1（3.1）其它假设有）,（ttttLAKFY=，（）11+=ttAgA，）（ttkfr=，）（）（ttttkfkkfw=每人在其生命的第一阶段挣钱并消费，在第二阶段消费其前一阶段剩余的财富及财富所得的利息。

3.2家庭的行为家庭的行为出生于t的人的第二阶段的消费为（）（）tttttCAwrC11121+=+（3.2）即tttttwACrC=+121111（3.3）家庭要最大化其在（3.3）约束下的效用（3.1）+=+121111211111111tttttttCrCwACCL（3.4）一阶条件为=ttCC110L（3.5）1121211110+=+=tttrCCL（3.6）解得1111211+=+tttrCC（3.7）将上式（3.7）带入约束（3.3）得（）（）（）（）ttttwArC+=11111111（3.8）则收入中被存起来的比例为（）（）（）（）+=111111）（rrs（3.9）XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记9则ttttwArsC）（111+=（3.10）3.3经济体的动态经济体的动态k的变化：

k的变化：

tttttwALrsK）（11+=（3.11）将上式左右同除以11+ttLA得（）（）trtwrsgnk）（11111+=（3.12）再带入1+tr与tw的表达示得（）（）（）（）（11111tttttkfkkfkfsgnk+=+（3.13）上式（3.13）表明了1+tk是tk的隐函数。

当tk达到ttkk=+1时达到平衡状态，k再不改变。

对数效用函数与Cobb-Douglas生产函数对数效用函数与Cobb-Douglas生产函数设+=21）（1srs设（）kwkkf=1）（则（）（）（）ttkgnk+=+1211111（3.14）在此简化条件下，经济体动态可由图2.2表示。

XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记10k0k1k1k2k*Oldktkt+145贴现率下降政府购买的永久上升k*New1k*New2图2.2k的变化及贴现率和政府购买的影响3.4贴现率与政府购买的影响贴现率与政府购买的影响如图2.2所示，贴现率的下降和政府购买的永久上升分别表现为曲线的上升和下降。

4研发模型研发模型4.1分析框架与假设分析框架与假设需要将研发（R&D）部门及技术的进步率内生如模型中。

7（）（）=1）

（1）（）

（1）（tLatAtKatYLK，10B，0，0（4.2）（）（tsYtK=&（4.3）（）（tnLtL=&，0n（4.4）7在这个模型中有两个重要的简化。

第一，研发部门和生产部门均为标准化的Cobb-Douglas生产函数；第二，储蓄率、投入研发部门的资本比例和劳力比例均外生且恒定，分别为s、aK和aL。

XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记114.2知识与资本的变化知识与资本的变化将（4.1）带入（4.3）得（）（）=111）（）（）（11）（tLtAtKaastKLK&（4.5）将上式除以K（t），并设（）（）111LKKaasc得=1）（）（）（）（）（）（tKtLtActKtKtgKK&（4.6）对上式求对数并对时间求导得（）（）

（1）（）（tgntgtgtgKAK+=&（4.7）同理，（4.2）除以A（t），并设LKAaBac1）（）（）（）（）（）（=tAtLtKctAtAtgAA&（4.8）求对数并对时间求