线性代数及其应用术语要点中英对照.pdf

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1/12Chapter1Review1.线性方程组线性方程组SystemsofLinearEquations（LinearSystem）P3关键词：

关键词：

coefficient系数系数P2;constantterm常数（项）常数（项）讲义讲义P1;linearequation线性方程线性方程P2；variable未知数（或变元）有未知数（或变元）有m个方程个方程n个未知数（个未知数（x1,x2,xn）的线性方程组可表示为：

）的线性方程组可表示为：

1）ai1x1+ai2x2+ainxn=bi（1im）2）x1a1+x2a2+xnan=b（a1,a2,an,b为为m维列向量）维列向量）3）Ax=b（A是是mn矩阵；矩阵；x，b为为m维列向量维列向量）4）Augmentedmatrix（增广矩阵增广矩阵）-（其中第其中第j（1jn）列是变元列是变元xj的系数的系数）2.线性方程组解的情况（线性方程组解的情况（SolutionStatus）P41）Nosolution无解无解2）HasSolution有解有解a）Exactlyonesolution（uniquesolution）唯一解唯一解b）Infinitelymanysolutions无穷多解无穷多解3.阶梯形（阶梯形（EchelonForms）P14关键词：

关键词：

leadingentry先导元素P14;先导元素P14;pivotposition主元位置P16;1）主元位置P16;1）3conditionsofechelonformmatrix阶梯形矩阵的三个条件（缺一不可）:

阶梯形矩阵的三个条件（缺一不可）:

a）Azerorowisnotaboveonanynonzerorow所有非零行都在零行上部所有非零行都在零行上部b）Eachleadingentryofarowisontherightoftheleadingentryofthepreviousrow每行的先导元素都在上一行先导元素的右边每行的先导元素都在上一行先导元素的右边c）Ineachcolumn,anentrybelowtheleadingentryis0与先导元素同列且在其下部的元素全为0与先导元素同列且在其下部的元素全为02）2additionalconditionsofReducedEchelonForms简化阶梯形的额外两个性质：

简化阶梯形的额外两个性质：

a）Theleadingentryofeachnonzerorowis1每一非零行的先导元素都是1每一非零行的先导元素都是1b）Eachleading1istheONLYnonzeroentryofitscolumn先导元素是其所在列唯一非零元素先导元素是其所在列唯一非零元素注：

与线性方程组结合：

4.解的存在性与唯一性定理（解的存在性与唯一性定理（Theorem2.ExistenceandUniquenessTheorem）P24关键词：

关键词：

pivotcolumn主元列P16;e主元列P16;echelonform阶梯形P16；阶梯形P16；?

No000|bibi0Hassolution?

Nofreevariablesuniquesolution?

11freevariableinfinitelymanysolutions5.齐次线性方程组非零解的条件（齐次线性方程组非零解的条件（ConditionofHomogeneousSystemHavingNon-TrivialSolution）P50关键词：

关键词：

homogeneoussystem齐次线性方程组齐次线性方程组P50;Ax=0Ax=0P50;non-trivialsolutions非零解/非平凡解非零解/非平凡解P51;freevariable自由变量自由变量P20;Homogeneoussystemhasnon-trivialsolutions齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解atleastone?

1?

12/12freevariable至少有一个自由变量至少有一个自由变量注：

结合简化阶梯形采用反证法轻松搞定！

注：

结合简化阶梯形采用反证法轻松搞定！

Additionally,此外：

此外：

ifr=#pivotpositions,p=#freevariables,n=#variablesthenr+p=n,#-numberof（的个数）的个数）注：

看简化阶梯形注：

看简化阶梯形6.非齐次线性方程组解的结构定理（非齐次线性方程组解的结构定理（StructureofSolutionSetofNonhomogeneousSystem）P53关键词：

关键词：

nonhomogeneoussystem非齐次线性方程组非齐次线性方程组P50;Letv0beasolutionofanonhomogeneoussystemAx=b.LetHbethesetofgeneralsolutionsofthecorrespondinghomogeneoussystemAx=0.SupposethesolutionsetofAx=bisSThenS=H+v0如果如果v0是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，的一个解，H是对应齐次线性方程组是对应齐次线性方程组Ax=0的通解。

的通解。

（Ax=0也称为也称为Ax=b的导出组）的导出组）则则Ax=b的通解是的通解是S=H+v0注：

注：

ProofApparently,?

hH,（h+v0）S;so,H?

S;

（1）Now,?

vS,v-v0H,sinceA（v-v0）=Av-Av0=b-b=0;Becausev-v0+v0H+v0Consequently:

vH+v0andthusS?

H

（2）Given

（1）and

（2）,wenowhaveS=H.E.g.:

（Examples5.1and5.2）Ax=0:

H=Ax=b:

V0=S=v0+H=7.线性组合（线性组合（LinearCombination）P32关键词：

关键词：

vectors向量向量v1,v2,vpP32;P32;scalar标量标量c1,c2,cpP29;P29;Ify=c1v1+c2v2+cpvp3/12Thenvectoryiscalledalinearcombinationofthevectorsv1,v2,vp注：

与线性方程组结合b=x1a1+x2a2+xnan（a1,a2,an,b为向量为向量;x1,x2,xp为标量）有解为标量）有解b是是a1,a2,an的线性组合的线性组合8.线性无关/相关（线性无关/相关（LinearIndependent/Dependent）P65关键词：

关键词：

trivialsolutions非零解/非平凡解非零解/非平凡解P51;mm维空间P28;维空间P28;1）DefinitionP65P65Vectorseta1,a2,anislineardependentifx1a1+x2a2+xnan=0hasonlythetrivialsolution.（x1x2xnareall0）如果方程组如果方程组x1a1+x2a2+xnan=0只有零解只有零解（x1x2xn全全是是0），则，则a1,a2,an线性无关。

线性无关。

Vectorseta1,a2,anislinearindependentifx1a1+x2a2+xnan=0ifx1x2xnarenotall0.若方程组若方程组x1a1+x2a2+xnan有非零解（有非零解（x1x2xn不不全全是是0），则向量组），则向量组a1,a2,an线性相关。

线性相关。

2）Theorem7CharacterizationofLinearlyDependent定理7线性相关和线性组合的关系定理P68定理7线性相关和线性组合的关系定理P68Vectorseta1,a2,anislineardependentExistvectorai（1in）,whichisalinearcombinationoftheothervectors向量组向量组a1,a2,an线性相关线性相关存在某向量存在某向量ai（1in）是其它向量的线性组合是其它向量的线性组合注：

由线性相关定义x1a1+x2a2+xnan=0，x1x2xn不全是0则线性相关。

设xi0（1in）,把xiai移到等式另一边xiai=-（x1a1+x2a2+xnan），然后两边除以xi（因为xi0）即得证向量ai（1in）是其它向量的线性组合（还不懂？

看线性组合定义100遍）。

3）Theorem8DetermineLinearlyDependencybyInvestigatingVectorDimensionandNumber由向量个数与维数判断相关性定理P68由向量个数与维数判断相关性定理P68Vectorseta1,a2,aninislineardependentifnmrai（1in）,whichisalinearcombinationoftheothervectors如果向量组中向量个数如果向量组中向量个数n大于向量的维数大于向量的维数m,则向量组线性相关。

则向量组线性相关。

注：

不知如何证明？

看本表第5项100遍。

4）Theorem9Vectorseta1,a2,anislineardependentifthereexistsai=0（1in）?

a1,a2,an，?

ai=0（1in）?

a1,a2,an线性相关线性相关注：

还是不知如何证明？

看本格上面的定义100遍。

9.等价定理（等价定理（Theorem4）P43关键词：

m关键词：

m维空间P28;维空间P28;subsetofspanned（orgenerated）byv1,v2,vp由由v1,v2,vp张成（或生成的）的的子空间P35;张成（或生成的）的的子空间P35;1）1）Foreachbin,thesystemAx=bhasasolution.对于中的每一个向量b，线性方程组对于中的每一个向量b，线性方程组Ax=b都有一个解2）都有一个解2）EachbinisalinearcombinationofthecolumnsofA.中的每一个向量b都是矩阵A的列向量的线性组合3）中的每一个向量b都是矩阵A的列向量的线性组合3）ThecolumnsofAspan矩阵A的列向量生成矩阵A的列向量生成4）ThematrixAhasapivotpositionineveryrow.矩阵A每一行都有一个主元位置矩阵A每一行都有一个主元位置注：

注：

1）-3）根据定义显然成立；）根据定义显然成立；4）可用定理）可用定理2采用反证法采用反证法10.补充齐次方程组基础解系定理（补充齐次方程组基础解系定理（AdditionalTheoremofbasicsolutionsofahomogenous