讲波函数.pdf

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1量子力学量子力学武汉光电国家实验室武汉光电国家实验室刘劲松刘劲松第二讲第二讲波函数及其统计诠释波函数及其统计诠释不确定度关系不确定度关系2平面波与傅里叶变换

（一）平面波与傅里叶变换

（一）一、一维情况下的平面波一、一维情况下的平面波大学物理大学物理振动与波振动与波一维平面波一维平面波=Acos（xk-t）A振幅振幅，k波矢波矢，频率频率平面波用指数形式表示平面波用指数形式表示=Aexpi（xk-t）=Aexp（ixk）exp（-it）只考虑空间只考虑空间：

=Aexp（ixk）只考虑时间只考虑时间：

=Aexp（-it）3平面波与傅里叶变换

（二）平面波与傅里叶变换

（二）二、平面波的速度二、平面波的速度V平面波平面波=Acos（xk-t），（xk-t）相位相位平面波的速度平面波的速度V,指的是相速，即相位为常指的是相速，即相位为常数时对应的速度数时对应的速度（xk-t）=c,V=dx/dt=/k因因=2,k=2/,所以所以，V=对于平面波，频率对于平面波，频率和波长和波长为常数为常数结论：

平面波的速度为常数结论：

平面波的速度为常数4平面波与傅里叶变换（三）平面波与傅里叶变换（三）三、三维情况下的平面波三、三维情况下的平面波一维情况下，平面波一维情况下，平面波=Acos（xk-t）三维情况下三维情况下，xk平面波平面波因因代表波传播的方向，故平面波的代表波传播的方向，故平面波的必须为常量必须为常量。

反过来，速度反过来，速度v和波矢和波矢为常量的波必为为常量的波必为平面波平面波zyxezeyexrzzyyxxekekekk）（exptkrikkk5平面波与傅里叶变换（四）平面波与傅里叶变换（四）四、傅里叶变换四、傅里叶变换exp（ixk）是周期函数，函数是周期函数，函数f（x）可表示为可表示为

（1）其中其中，F（k）称为称为f（x）的傅里叶变换的傅里叶变换。

因为因为=exp（ixk）代表平面波，故代表平面波，故

（1）式可看式可看作将作将f（x）用平面波展开用平面波展开，F（k）为其展开系数为其展开系数dxexfkFikx）（21）（dkekFxfikx）（21）（6平面波与傅里叶变换（五）平面波与傅里叶变换（五）例例f（x）=sinax2,则则特别地，若特别地，若，有有称称（x）为为函数。

也可以理解为，傅里叶函数。

也可以理解为，傅里叶变换函数变换函数F（k）为常数的函数为为常数的函数为函数函数。

1（）（）,2ikxfxFkedkp-?

=dxexfkFikx）（21）（44cos21）（2akakF21）（kF）（21）（21）（xdkedkekFxfikxikx定义为7第第2讲目录讲目录一、一、量子力学讨论的对象：

波函数量子力学讨论的对象：

波函数二、二、自由粒子的波函数自由粒子的波函数三、三、一般粒子的波函数及其物理意义一般粒子的波函数及其物理意义四、四、波函数的统计诠释及其性质波函数的统计诠释及其性质五、五、动量分布概率动量分布概率六、六、测不准关系（不确定度关系）测不准关系（不确定度关系）8一、量子力学讨论的对象：

波函数一、量子力学讨论的对象：

波函数对于经典的粒子，其坐标对于经典的粒子，其坐标满足满足对于经典的电磁波，其复振幅对于经典的电磁波，其复振幅满足满足在量子力学中，引入一个物理量：

波函数在量子力学中，引入一个物理量：

波函数，来描述粒子所具有的波粒二象，来描述粒子所具有的波粒二象性。

波函数满足薛定格波动方程性。

波函数满足薛定格波动方程）（tr22）（）,（dttrdmtrF）,（trE0）,（）,（222trEkttrEi0）,（）

（2）,（22trrVmtrti）,（tr9自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。

因此，其能量的质点。

因此，其能量E和动量和动量都是常量。

都是常量。

根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为率和波长分别为=E/h，=h/p（1.1-1）又因为波矢为又因为波矢为，其中，其中k=2/，因此，自由因此，自由粒子的粒子的和和k都为常量。

由都为常量。

由（1.1-1）得到得到（1.1-2）epp,Ehkehp二、自由粒子的波函数（二、自由粒子的波函数

（1）kke2/,2h10二、自由粒子的波函数（二、自由粒子的波函数

（2）和和k都为常量的波应该是平面波，都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述可用以下函数描述或或将将（1.1-2）代入，得到代入，得到（1.1-3）这就是自由粒子的波函数，它将粒这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。

子的波动同其能量和动量联系了起来。

它是时间和空间的函数，即它是时间和空间的函数，即）cos（trkA）（exptrkiA）（expEtrpiAk（,）xyzt11三、一般粒子的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义

（1）当粒子受到外力的作用时，其能量和动量当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用不再是常量，也就无法用这样简单的函数来描述，但总可以用某个波这样简单的函数来描述，但总可以用某个波函数函数来描述这个粒子的特性。

来描述这个粒子的特性。

问题是，该如何理解波函数所代表的物理意问题是，该如何理解波函数所代表的物理意义呢？

义呢？

）（exp）（exptrkiAEtrpiAk（,）xyzt12三、一般粒子的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义

（2）历史上对粒子波动性的认识有两种误解：

历史上对粒子波动性的认识有两种误解：

（1）波包说，认为粒子波就是粒子的某种实波包说，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。

波包的大小即粒子的大布的一种物质波包。

波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的运动速度。

粒子的小，波包的速度即粒子的运动速度。

粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。

干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。

（2）群体说，认为体现粒子波动性的衍射行群体说，认为体现粒子波动性的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的结果。

结果。

13三、一般粒子的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义（3）1、波包（波包

（1）一维情况下，不考虑时间，一维情况下，不考虑时间，自由粒子的波函数为自由粒子的波函数为，22（）,iikxkxAeAek2|（）|xxx1（）（）2ikxxkedk对任意粒子，其波函数1（）（）2ikxkxedx其中，（）（0,）xxx令代表的宽度，则一般情况下，14三、一般粒子的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义（4）1、波包（波包

（2）（）,ikxkxAe自由粒子：

1（）（）2ikxxkedk任意粒子，,（,）txtxt考虑到时间的宽度是否随变化？

x2|（）|kxxxx常数2|（）|x,x宽度弥散在整个空间，不是波包（0,）,x常数集中在空间某一区域称这样的波为波包。

1522/21122222,）（,）,（0）0,（）1,0（）axitxtxtxtextatxtaatdtxtdkG为说明（的宽度随如何变化，举一个特例Gauss波包可以证明，其中，若，则x2|（）|kxxxx常数2|（）|xx2|（,0）|Gxt1xa16三、一般粒子的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义（5）1、波包（波包（3）能量和动量的关系为，能量和动量的关系为，利用利用得到得到这说明随着时间的推移，粒子将无限增这说明随着时间的推移，粒子将无限增大。

显然物质波包的观点夸大了波动性的一大。

显然物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。

面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。

220dhdkm,hE,kpmpE2/2,2/h,2,/2k1222（）10（）xtaattxt所以，对Gauss波包，则17三、一般粒子的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义（6）对实物粒子的波动性有两种误解对实物粒子的波动性有两种误解

（1）波包说）波包说:

认为粒子是一个物质波包；认为粒子是一个物质波包；

（2）群体说）群体说:

认为粒子的衍射行为是大量粒认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。

子相互作用或疏密分布而产生的行为。

然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言，然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言，弱电子密度长时间强电子密度短时间弱电子密度长时间强电子密度短时间由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置。

概率存在于空间的某个位置。

18三、一般粒子的波函数及其物理意义（三、一般粒子的波函数及其物理意义（7）2、概率波、概率波粒子的波动性可以用波函数来表示，粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅其中，振幅表示波动在空间一表示波动在空间一点点（x,y,z）上的强弱。

所以，上的强弱。

所以，应该应该表示表示粒子出现在点粒子出现在点（x,y,z）附件的概率附件的概率大小的一个量。

从这个意义出发，可将粒大小的一个量。

从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。

子的波函数称为概率波。

（,）（,）|（,）|ixyzxyzxyze|（,）|xyz2|（,）|xyz19四、波函数的统计诠释及其性质四、波函数的统计诠释及其性质表示粒子出现在点表示粒子出现在点（x,y,z）附近的概率。

附近的概率。

表示点表示点（x,y,z）处的在体积元处的在体积元内找到粒子的概率。

内找到粒子的概率。

这就是波函数的统计诠释。

必然有以下归一化条件这就是波函数的统计诠释。

必然有以下归一化条件2|（,）|1xyzdxdydzxyz2|（,）|xyz2|（,）|xyzxyz*（,）,dddxdydz数学上，称为积分形式表示的内积。

（,）1归一化条件可以用内积表示为20四四1、波函数的常数因子不定性、波函数的常数因子不定性设设C是一个常数，则是一个常数，则和和对粒子在点对粒子在点（x,y,z）附件出现概率的描述是相同的。

附件出现概率的描述是相同的。

这是因为，如果这是因为，如果则有，则有，2|（,）|0xyzdxdydzA（,）xyz（,）cxyz1|（,）1xyzdxdydzA1（,）（,）xyzxyzA所以，从物理上讲，等同于21四四2、波函数的相位不定性、波函数的相位不定性如果常数如果常数，则，则和和对粒子在点对粒子在点（x,y,z）附件出现概率的描附件出现概率的描述是相同的。

这是因为述是相同的。

这是因为ieC（,）xyz（,）iexyz22|（,）|（,）|ixyzexyz22四四3、对波函数的要求、对波函数的要求1、可积性、可积性2、归一化、归一化3、单值性，要求、单值性，要求4、连续性、连续性2|（,）|1xyzdxdydz（,）xyz及其各阶导数连续02|（,）|xyzdxdydz有限值2|（,）|xyz单值23五、动量分布概率（五、动量分布概率

（1）设设，则，则表示粒表示粒子出现在点子出现在点附件的概率。

附件的概率。

设设为粒子的动量，那么粒子具为粒子的动量，那么粒子具有动量有动量的概率如何表示？

的概率如何表示？

平面波的波函数为平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开kzjyixrrkpjpippzyx/）（rpierppdeprrpi3/23）（）2

（1）（22|（）|（,）|rxyz24五、动量分布概率（五、动量分布概率

（2）其中，其中，可见，可见，代表代表中含有平面波中含有平面波的成分，因此，的成分，因此，应该应该代表粒子具代表粒子具有动量有动量