高考冲刺高考数学总复习专题检测十八 概率与统计随机变量及其分布列.docx
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高考冲刺高考数学总复习专题检测十八概率与统计随机变量及其分布列
专题检测（十八）概率与统计、随机变量及其分布列
A卷——夯基保分专练
一、选择题
1．已知某一随机变量ξ的分布列如下表所示，若E（ξ）＝6.3，则a的值为（ ）
ξ
a
7
9
P
b
0.1
0.4
A．4 B．5
C．6D．7
解析：
选A 根据随机变量ξ的分布列可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E（ξ）＝0.5×a＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.
2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.648B．0.432
C．0.36D．0.312
解析：
选A 3次投篮投中2次的概率为P（k＝2）＝C
×0.62×（1－0.6），投中3次的概率为P（k＝3）＝0.63，所以通过测试的概率为P（k＝2）＋P（k＝3）＝C
×0.62×（1－0.6）＋0.63＝0.648.
3．（2017·武汉调研）小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P（A|B）＝（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A
＝4×3×2×1＝24种，∴P（A|B）＝
＝
.
4．（2017·惠州三调）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选A 设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A，B，C，齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9种，田忌获胜有Ab，Ac，Bc，共3种，所以田忌获胜的概率为
.
5．（2017·西安八校联考）在平面区域{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤4}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤x2的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选B 不等式组
表示的平面区域的面积为2×4＝8，不等式组
表示的平面区域的面积为
x2dx＝
＝
，因此所求的概率P＝
＝
.
6．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，各局比赛结果相互独立．记X为比赛决出胜负时的总局数，则X的数学期望是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选C 用Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，
则P（Ak）＝
，P（Bk）＝
，k＝1,2,3,4,5.
X的所有可能取值为2,3,4,5，且P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（B1B2）＝P（A1）P（A2）＋P（B1）P（B2）＝
，
P（X＝3）＝P（B1A2A3）＋P（A1B2B3）＝P（B1）P（A2）·P（A3）＋P（A1）P（B2）P（B3）＝
，
P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）＋P（B1A2B3B4）＝P（A1）·P（B2）P（A3）P（A4）＋P（B1）P（A2）P（B3）P（B4）＝
，
P（X＝5）＝1－P（X＝2）－P（X＝3）－P（X＝4）＝
.
故X的分布列为：
X
2
3
4
5
P
E（X）＝2×
＋3×
＋4×
＋5×
＝
.
二、填空题
7．（2017·江苏高考）记函数f（x）＝
的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
解析：
由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率P＝
＝
.
答案：
8.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为________．
解析：
由茎叶图可知6名工人加工零件数分别为17,19,20,21,25,30，平均值为
×（17＋19＋20＋21＋25＋30）＝22，则优秀工人有2名，从该车间6名工人中，任取2人共有C
＝15种取法，其中至少有1名优秀工人的共有C
C
＋C
＝9种取法，由概率公式可得P＝
＝
.
答案：
9．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：
每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止．设甲每次击中的概率为p（p≠0），射击次数为η，若η的均值E（η）>
，则p的取值范围是________．
解析：
由已知得P（η＝1）＝p，P（η＝2）＝（1－p）p，P（η＝3）＝（1－p）2，
则E（η）＝p＋2（1－p）p＋3（1－p）2＝p2－3p＋3>
，
解得p>
或p<
，
又p∈（0,1），所以p∈
.
答案：
三、解答题
10．某市教育局为了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市高三学生的体能测试成绩X服从正态分布N（80，σ2）（满分为100分）．已知P（X≤75）＝0.3，P（X≥95）＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．
（1）求抽到的3位同学在该次体能测试中的成绩在区间[80,85），[85,95），[95,100]内各有1位的概率；
（2）记抽到的3位同学在该次体能测试中的成绩在区间（75,85）内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
解：
（1）由题意知，P（80≤X<85）＝0.5－P（X≤75）＝0.2，P（85≤X<95）＝0.3－0.1＝0.2，
所以所求概率P＝A
×0.2×0.2×0.1＝0.024.
（2）P（75所以ξ服从二项分布B（3,0.4），
P（ξ＝0）＝0.63＝0.216，
P（ξ＝1）＝C
×0.4×0.62＝0.432，
P（ξ＝2）＝C
×0.42×0.6＝0.288，
P（ξ＝3）＝0.43＝0.064，
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
数学期望E（ξ）＝3×0.4＝1.2.
11．（2018届高三·云南11校跨区调研）为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：
克），按照[27.5,32.5），[32.5,37.5），[37.5,42.5），[42.5,47.5），[47.5,52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）估计这种植物果实重量的平均数
和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实，用样本估计总体．若从这种植物果实中随机抽取3个，其中优质果实的个数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
解：
（1）组距d＝5，由5×（0.02＋0.04＋0.075＋a＋0.015）＝1，得a＝0.05.
（2）各组中点值和相应的频率依次为
中点值
30
35
40
45
50
频率
0.1
0.2
0.375
0.25
0.075
＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40，
s2＝（－10）2×0.1＋（－5）2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.
（3）由已知，这种植物果实的优质率p＝0.9，且X服从二项分布B（3,0.9），
P（X＝0）＝0.13＝0.001，
P（X＝1）＝C
×0.9×0.12＝0.027，
P（X＝2）＝C
×0.92×0.1＝0.243，
P（X＝3）＝0.93＝0.729，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
故数学期望E（X）＝np＝2.7.
12．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？
（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩（单位：
分）对应如下表：
学生序号i
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩xi
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩yi
70
77
80
85
90
86
93
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01），若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：
线性回归方程
＝
x＋
，其中
＝
，
＝
－
.
（xi－
）2
（xi－
）（yi－
）
76
83
812
526
解：
（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为
×24＝4,18名男同学中应抽取的人数为
×18＝3，
故不同的样本的个数为C
C
.
（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3，
∴ξ的取值为0,1,2,3.
∴P（ξ＝0）＝
＝
，P（ξ＝1）＝
＝
，
P（ξ＝2）＝
＝
，P（ξ＝3）＝
＝
.
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
∴E（ξ）＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
＝
.
②∵
＝
≈0.65，
＝
－
＝83－0.65×76＝33.60.
∴线性回归方程为
＝0.65x＋33.60.
当x＝96时，
＝0.65×96＋33.60＝96.
∴可预测该同学的物理成绩为96分．
B卷——大题增分专练
1．（2018届高三·湖南十校联考）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在地处山区的A县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率.
用电量（单位：
度）
（0,200]
（200,400]
（400,600]
（600,800]
（800,1000]
户数
5
15
10
15
5
（1）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；
（2）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000
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