高中数学第三章三角恒等变换课时作业2731两角和与差的正弦余弦正切公式新人教A版必修.docx
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高中数学第三章三角恒等变换课时作业2731两角和与差的正弦余弦正切公式新人教A版必修
2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换课时作业273.1两角和与差的正弦余弦正切公式新人教A版必修
1．若a·b<0，则a与b的夹角θ的取值范围是（ ）
A．[0，
） B．[
，π）
C．（
，π]D．（
，π）
答案 C
解析 ∵a·b＝|a||b|cosθ<0，∴cosθ<0，又θ∈[0，π]，∴θ∈（
，π]．
2．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝（ ）
A．1B.
C．2D.
或2
答案 C
解析 |a－b|＝
＝
＝
＝
＝4＝2.
3．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，如果（3a＋5b）⊥（ma－b），则m的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 （3a＋5b）·（ma－b）＝0，即3ma2＋（5m－3）a·b－5b2＝0⇒3m·32＋（5m－3）·3×2cos60°－5×22＝0，解之得m＝
.
4．已知向量a＝（－2，1），b＝（1，x），a⊥b，则x＝（ ）
A．－1B．1
C．－2D．2
答案 D
解析 a⊥b⇔a·b＝0⇒－2＋x＝0⇒x＝2.
5．若向量a与b的夹角为
，|b|＝4，（a＋2b）·（a－3b）＝－72，则向量a的模为（ ）
A．2B．4
C．6D．12
答案 C
解析 由题意知a·b＝|a||b|cos
＝
|a||b|＝2|a|，（a＋2b）·（a－3b）＝a2－a·b－6b2＝|a|2－2|a|－6×42＝－72，∴|a|＝6.
6．在平面直角坐标系中，点O（0，0），P（6，8），将向量
绕点O按逆时针方向旋转
后得向量
，则点Q的坐标是（ ）
A．（－7
，－
）B．（－7
，
）
C．（－4
，－2）D．（－4
，2）
答案 A
解析 画出草图（图略），可知点Q落在第三象限，则可排除B、D，代入A，cos∠QOP＝
＝－
＝－
，所以∠QOP＝
.代入C，cos∠QOP＝
＝
≠－
，故选A.
7．以下选项中，不一定是单位向量的有（ ）
①a＝（cosθ，－sinθ）;②b＝（
，
）；③c＝（2x，2－x）;④d＝（1－x，x）．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
答案 B
解析 因为|a|＝1，|b|＝1，|c|＝
≠1，
|d|＝
＝
＝
≥
.故选B.
8．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于（ ）
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为两边的三角形的面积
答案 A
解析 由题知a⊥c，∴|cos〈b，c〉|＝|sin〈a，b〉|，又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|b||c||cos〈b，c〉|＝|b||a||sin〈a，b〉|.故选A.
9．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝（－2，－6），|b|＝
，则a·b＝________．
答案 10
解析 ∵a＝（－2，－6），∴|a|＝
＝2
.
∴a·b＝2
×
cos60°＝10.
10．（xx·山东，文）已知向量a＝（1，－1），b＝（6，－4）．若a⊥（ta＋b），则实数t的值为________．
答案 －5
解析 根据已知，a2＝2，a·b＝10.由a⊥（ta＋b），得a·（ta＋b）＝ta2＋a·b＝2t＋10＝0，解得t＝－5.
11．已知向量
＝（k，12），
＝（4，5），
＝（－k，10），且A、B、C三点共线，则k＝________．
答案 －
12．已知点A（2，3），若把向量
绕原点O按逆时针旋转90°得到向量
，则点B的坐标为________．
答案 （－3，2）
解析 设点B的坐标为（x，y），因为
⊥
，|
|＝|
|，
所以
解得
或
（舍去）．
故B点的坐标为（－3，2）．
13．求与向量a＝（
，－1）和b＝（1，
）夹角相等且模为
的向量c的坐标．
解析 设c＝（x，y），cosθ1＝cosθ2，所以
解得
或
故c＝（
，
）或c＝（－
，
）．
14．已知向量a＝（4，3），b＝（－1，2）．
（1）求a与b的夹角θ的余弦值；
（2）若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值．
解析
（1）|a|＝
＝5，|b|＝
＝
.
a·b＝－1×4＋3×2＝2，
∴cosθ＝
＝
＝
.
（2）a－λb＝（4，3）－（－λ，2λ）＝（4＋λ，3－2λ）．
2a＋b＝（8，6）＋（－1，2）＝（7，8）．
若（a－λb）⊥（2a＋b），则7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，
解得λ＝
.
15．已知点A（1，2）和B（4，－1），问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝90°，若不能，请说明理由；若能，求出C点的坐标．
解析 假设存在点C（0，y）使∠ACB＝90°，则
⊥
.
∵
＝（－1，y－2），
＝（－4，y＋1），
⊥
，
∴
·
＝4＋（y－2）（y＋1）＝0，∴y2－y＋2＝0.
而在方程y2－y＋2＝0中，Δ<0，
∴方程无实数解，故不存在满足条件的点C.
16．已知a、b是两个非零向量，且满足|a|＝|b|＝|a－b|，求：
（1）a与a＋b的夹角；
（2）求
的值．
解析 解法一：
设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）．
∵|a|＝|b|，∴x12＋y12＝x22＋y22.
由|b|＝|a－b|，得a·b＝x1x2＋y1y2＝
（x12＋y12）．
由|a＋b|2＝2（x12＋y12）＋2×
（x12＋y12）＝3（x12＋y12），得|a＋b|＝
.
（1）设a与a＋b的夹角为θ（0°≤θ≤180°），
则cosθ＝
＝
＝
.∴θ＝30°.
（2）
＝
＝6.
解法二：
根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2.
又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，∴a·b＝
|a|2.
而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，∴|a＋b|＝3|a|.
（1）设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝
＝
＝
.∴θ＝30°.
（2）
＝
＝6.
2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换课时作业27两角和与差的正切新人教B版必修
1．已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan（α＋β）＝（ ）
A.
B．－
C.
D．－
解析：
tan（α＋β）＝
＝
＝－
.
答案：
B
2．已知tanα＝3，则tan
＝（ ）
A．－2B．2
C.
D．－
解析：
tan
＝tan
＝
＝
＝－
.
答案：
D
3．设tanα＝
，tan（β－α）＝－2，则tanβ等于（ ）
A．－7B．－5
C．－1D．－
解析：
tanβ＝tan（α＋β－α）＝
＝
＝－1.
答案：
C
4．已知α∈
，cosα＝
，则tan
＝__________.
解析：
由cosα＝
且α∈
，则sinα＝－
，
∴tanα＝－
，∴tan
＝
＝
.
答案：
5．求出下列各式的值．
（1）
；
（2）
；
（3）tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.
解析：
（1）原式＝tan（70°－15°）＝tan60°＝
.
（2）
＝
＝
＝tan（45°－15°）＝tan30°＝
.
（3）tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°
＝tan（15°＋30°）（1－tan15°tan30°）＋tan15°tan30°
＝tan45°（1－tan15°tan30°）＋tan15°tan30°
＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.
（限时：
30分钟）
1.
的值等于（ ）
A．－
B.
C．－
D.
解析：
原式＝
＝tan
＝－tan
＝－
.
答案：
A
2．若tan（α＋β）＝
，tan
＝
，则tan
＝（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
∵α＋
＝（α＋β）－
，
∴tan
＝tan
＝
＝
＝
.
答案：
C
3．（1＋tan21°）（1＋tan22°）（1＋tan23°）（1＋tan24°）的值为（ ）
A．16B．8
C．4D．2
解析：
（1＋tan21°）（1＋tan24°）
＝1＋tan21°·tan24°＋tan21°＋tan24°
＝（1＋tan21°·tan24°）＋tan（21°＋24°）（1－tan21°·tan24°）＝2
同理（1＋tan22°）（1＋tan23°）＝2.
∴原式＝4.
答案：
C
4．若α，β∈
，tanα＝
，tanβ＝
，则α－β等于（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
tan（α－β）＝
＝
＝1.
∵α，β∈
，∴α－β∈
.∴α－β＝
.
答案：
B
5．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan（α＋β）的值为（ ）
A．－3B．－1
C．1D．3
解析：
因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，而tan（α＋β）＝
＝
＝－3，故选A.
答案：
A
6．若α，β均为锐角，且cosα＝
，cos（α＋β）＝－
，则cosβ＝__________.
解析：
∵α为锐角，且cosα＝
，∴sinα＝
.
∵α与β均为锐角，且cos（α＋β）＝－
，
∴sin（α＋β）＝
.
∴cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα
＝－
×
＋
×
＝
.
答案：
7．若tan
＝
，则tanα＝________.
解析：
tan
＝
＝
，∴5tanα＋5＝2－2tanα.
∴7tanα＝－3，∴tanα＝－
.
答案：
－
8．tan23°＋tan37°＋
tan23°tan37°的值是________．
解析：
∵tan60°＝
＝
，
∴tan23°＋tan37°＝
－
tan23°tan37°，
∴tan23°＋tan37°＋
tan23°tan37°＝
.
答案：
9．设α＋β＝
，则（1＋tanα）（1＋tanβ）＝________.
解析：
∵α＋β＝
，∴tan（α＋β）＝
＝1，
∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，
∴tanα＋tanβ＋tanαtanβ＋1＝2，即（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2.
答案：
2
10．已知sin
＝
，cos
＝－
，且α－
和
－β分别为第二、第三象限角，求tan
的值．
解析：
由题意，得cos
＝－
，sin
＝－
，
∴tan
＝－
，tan
＝
，
∴tan
＝tan
＝
＝
＝－
.
11．设cosα＝－
，tanβ＝
，π＜α＜
，0＜β＜
，求α－β的值．
解析：
∵π＜α＜
，0＜β＜
，∴
＜α－β＜
.
∵cosα＝－
，∴tanα＝2，
∴tan（α－β）＝
＝
＝1
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