矩阵论总结.pdf

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11线性空间的定义：

线性空间的定义：

设设V是一个非空集合，其元素用是一个非空集合，其元素用zyx,等表示；等表示；K是一个数域，其元素用是一个数域，其元素用mlk,等表示。

如果等表示。

如果V满足满足如下如下8条性质，分两类条性质，分两类:

（I）在）在V中定义一个中定义一个“加法加法”运算，即当运算，即当Vyx，时，有唯一的和时，有唯一的和Vyx+（封闭性），且加法运算满足下列性质（封闭性），且加法运算满足下列性质:

（1）结合律）结合律zyxzyx+=+=+）（）（；

（2）交换律）交换律xyyx+=+=+；（3）零元律）零元律存在零元素存在零元素O，使，使xOx=+；（4）负元律）负元律对于任一元素对于任一元素Vx，存在一元素，存在一元素Vy，使，使Oyx=+=+，且称，且称y为为x的负元素，记为的负元素，记为）（x。

则有。

则有Oxx=+）（。

（II）在）在V中定义一个中定义一个“数乘数乘”运算，即当运算，即当KkVx,时，有唯一的时，有唯一的Vkx（封闭性），且数乘运算满足下列性质（封闭性），且数乘运算满足下列性质:

（5）数因子分配律）数因子分配律kykxyxk+=+=+）（；（6）分配律）分配律lxkxxlk+=+=+）（；（7）结合律）结合律xkllxk）（）（=；（8）恒等律）恒等律xx=1；数域中一定有数域中一定有12线性变换的性质（类似线性空间定义逐条）：

线性变换的性质（类似线性空间定义逐条）：

线性变换的运算线性变换的运算

（1）恒等变换）恒等变换eT：

exVTxx=

（2）零变换）零变换0T：

0,0xVTx=（3）变换的相等：

）变换的相等：

1T、2T是是V的两个线性变换，的两个线性变换，xV，均有，均有12TxTx=，则称，则称12TT=（4）线性变换的和）线性变换的和12TT+：

xV，1212（）TTxTxTx+=+=+（5）线性变换的数乘）线性变换的数乘kT：

xV，（）（）kTxkTx=负变换：

负变换：

（）（）TxTx=（6）线性变换的乘积）线性变换的乘积12TT：

xV，1212（）（）TTxTTx=（7）逆变换）逆变换1T：

xV，若存在线性变换若存在线性变换S使得使得（）STxx，则称则称S为为T的逆变换的逆变换1ST=（8）线性变换的多项式：

）线性变换的多项式：

43421L个nnTTTT=，并规定并规定0eTT=0（）NnnnfTaT=0（）NnnnfTxaTx=3Euclid空间（实内积空间、欧氏空间）【酉空间（复内积空间）类似】空间（实内积空间、欧氏空间）【酉空间（复内积空间）类似】设设V是实线性空间（是实线性空间（Rk），对于），对于V中任何两个元素中任何两个元素x、y均按某一规则存在一个实数与之对应均按某一规则存在一个实数与之对应记为记为（）（）,xy，若它满足，若它满足

（1）交换律）交换律（）（）（）（）,xyyx=（3）齐次律）齐次律（）（）,kxykxy=

（2）分配律）分配律（）（）（）（）（）（）,xyzxyxz+=+=+（4）非负性）非负性（）,0xx，当且仅当，当且仅当0x=时，时，（）（）,0xx=4范数范数向量范数定义：

向量范数定义：

设设V为数域为数域K上的向量空间，若对于上的向量空间，若对于V的任一向量的任一向量x，对应一个实值函数，对应一个实值函数x，并满足：

，并满足：

（1）非负性）非负性x0，等号当且仅当，等号当且仅当x=0时成立；时成立；

（2）齐次性：

）齐次性：

xx,k,xV;=（3）三角不等式）三角不等式xyxy,x,yV+。

则称则称x为为V中向量中向量x的范数，简称为向量范数。

的范数，简称为向量范数。

矩阵范数定义：

矩阵范数定义：

设设mnk（kcR）=或=或表示数域表示数域k上全体上全体mn阶矩阵的集合。

若对于阶矩阵的集合。

若对于mnk中任一矩阵中任一矩阵A，均对应一个实值函数，并满足以下四个条件：

，均对应一个实值函数，并满足以下四个条件：

（1）非负性）非负性A0，等号当且仅当，等号当且仅当A=0成立；成立；

（2）齐次性：

）齐次性：

AA,k;=（3）三角不等式）三角不等式mnABAB,A,Bk+（4）相容性：

）相容性：

ABAB2常用向量范数：

常用向量范数：

1范数：

范数：

ni1i1x1=，2范数（欧氏长度）：

范数（欧氏长度）：

2x=1n22ii1=范数：

范数：

x=1nppii1ini1pmax=常用矩阵范数：

常用矩阵范数：

列（和）范数：

列（和）范数：

nij11jni1Amaxa=谱范数：

谱范数：

Hi21inAmax（AA）=行（和）范数：

行（和）范数：

nij1imj1Amaxa=F范数：

范数：

A）tr（AAH=5基变换与坐标变换基变换与坐标变换新基（新基（Y）旧基（旧基（X）过渡阵（过渡阵（C可逆）可逆）Cxxxcccccccccxxxyyynnnnnnnnn,212122221112112121LLMOMMLLLL=X、Y到简单基的过渡阵分别为到简单基的过渡阵分别为C1、C2，则，则C=C1-1C2。

（）（）21121CCICCMM新基坐标新基坐标旧基坐标旧基坐标=nnnnCCMMMM211212121=nnnnxxxyyyMLML21212121,6线性变换矩阵表示线性变换矩阵表示AxxxaaaaaaaaaxxxxxxTnnnnnnnnn,212122212121112121LLMOMMLLLL=By,y,yy,yyTnnLL2121=,1BCAC=（A和和B为相似阵）即同一线性变换在不同基下的矩阵为相似矩阵。

为相似阵）即同一线性变换在不同基下的矩阵为相似矩阵。

3T在在nV的基的基nxxx,21L下的矩阵为下的矩阵为A，元素，元素x在该基下的坐标为在该基下的坐标为）,（21nL，则，则Tx在该基下的坐标在该基下的坐标）,（21nL满足满足=nnAMM2121

（1））（,）（212121BAxxxxxxTTnn+=+LL

（2））（,21211kAxxxxxxkTnnLL=（3））（,）（212121ABxxxxxxTTnnLL=（4）121211,=AxxxxxxTnnLL7矩阵的迹与行列式矩阵的迹与行列式1trniiiAa=所有对角元素之和；所有对角元素之和；1trniiA=1detniiA=tr（）tr（）ABBA=det（）det（）mnmnIABIBA=AB与与BA的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同（的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同（sylvster定理）。

定理）。

8相似矩阵相似矩阵可逆矩阵可逆矩阵P，1BPAP=，AB（A和和B为相似矩阵）。

为相似矩阵）。

相似矩阵具有相同的特征多项式相似矩阵具有相同的特征多项式相同的特征值、迹、行列式。

相同的特征值、迹、行列式。

det（）det（）det（）ABAB=任何任何n阶矩阵与三角矩阵相似。

阶矩阵与三角矩阵相似。

1111det（）det（）det（）det（）det（）det（）det（）det（）det（）IPAPPIAPPIAPPPIAIA=9对角矩阵对角矩阵n阶方阵阶方阵A与对角阵相似（即可对角化）与对角阵相似（即可对角化）A具有具有n个线性无关的特征向量。

个线性无关的特征向量。

n阶方阵有阶方阵有n个互异的特征值，则必可对角化。

个互异的特征值，则必可对角化。

10正交矩阵性质正交矩阵性质

（1）正交矩阵是非奇异的。

）正交矩阵是非奇异的。

（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵。

）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵。

（3）两个正交矩阵的乘积仍为正交矩阵。

）两个正交矩阵的乘积仍为正交矩阵。

QTQ=I|QTQ|=|QT|Q|=|Q|Q|=|Q|2=1,|Q|1（Q-1）TQ-1=（QT）-1Q-1=（QTQ）-1=I11实对称矩阵性质实对称矩阵性质

（1）实对称阵的特征值都是实数。

）实对称阵的特征值都是实数。

（2）实对称阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。

实对称阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。

（3）实对称阵正交相似与对角阵。

实对称阵正交相似与对角阵。

（Q1Q2）T（Q1Q2）=Q2TQ1TQ1Q2=Q2TQ2=I412正规矩阵正规矩阵实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵：

实对称矩阵：

TAA=实反对称矩阵：

实反对称矩阵：

TAA=正交矩阵正交矩阵正交矩阵：

正交矩阵：

TTAAAAI=（1TAA=）正交相似变换正交相似变换P为正交矩阵，为正交矩阵，1PAP为对为对A的正交相似变换；的正交相似变换；正规矩阵正规矩阵TTAAAA=Hermit矩阵（复对称阵）矩阵（复对称阵）Hermit矩阵：

矩阵：

HAA=反反Hermit矩阵：

矩阵：

HAA=酉矩阵酉矩阵酉矩阵：

酉矩阵：

HHAAAAI=（1HAA=）酉相似变换酉相似变换P为酉矩阵，为酉矩阵，1PAP为对为对A的酉相似变换。

的酉相似变换。

复正规矩阵复正规矩阵HHAAAA=13Jordan标准形标准形任一任一n阶方阵阶方阵A都与一个都与一个Jordan标准形相似。

（即任一方阵都可标准形相似。

（即任一方阵都可Jordan化，化，P-1AP=J）=）（0）（0）（2211ssJJJJO，=iiiiiJ0101）（OOs,21L为为A的特征值，可以是多重的。

的特征值，可以是多重的。

（1）Jordan标准形的求法标准形的求法a.求出特征矩阵求出特征矩阵（）（）IA的初等因子组，设为的初等因子组，设为（）11m、（）22m、L、（）（）sms。

b.写出各写出各Jordan块矩阵块矩阵（一个初等因子对应一个（一个初等因子对应一个Jordan块矩阵）块矩阵）c.合成合成Jordan矩阵：

矩阵：

（）（）=1010OOiiiiimiiiimmJ=sJJJJ0021O

（2）Jordon标准形变换矩阵的求法标准形变换矩阵的求法1PAPJ=APPJ=a.将将P按按J的结构写成列块的形式的结构写成列块的形式列列列rrmmmPPPP2121=L=rrrJJJPPPPPPAOLL212121）,2,1（riJPAPiiiL=5b.求解求解r个矩阵方程个矩阵方程）,2,1（riJPAPiiiL=c.将将r个个iP合成变换矩阵合成变换矩阵rPPPPL21=14矩阵函数矩阵函数L+=323!

12!

1AAAIeAL+=424!

12!

1AAIAcosL+=535!

13!

1AAAAsincossinjAeAjA=+=+1cos（）2jAjAAee=+=+1sin（）2jAjAAeej=cos（）cosAA=sin（）sinAA=

（1）

（1）ABBA=,则,则ABABBAeeeee+=

（2）

（2）0AAAAeeeeeI=,1（）,（）AAAmmAeeee=，Ae总存在逆阵。

总存在逆阵。

Hamilton-Cayley定理：

定理：

n阶矩阵阶矩阵A是其特征多项式的零点，即令是其特征多项式的零点，即令111（）det（）nnnnIAccc=+=+LL则则111（）0nnnnAAcAcAcI=+=+=LL最小多项式：

最小多项式：

）（m首项系数是首项系数是1，次数最小，且以矩阵，次数最小，且以矩阵A为根的为根的的多项式。

的多项式。

（1）利用）利用Jordan标准形求矩阵函数。

标准形求矩阵函数。

1PAPJ=,（）1（）211（）（）（）fJfJfAPfJPPPfJs=OO=OO（）（）（）（）111（）（）（）（）1!

（）2!

iiiiiiiiimffffmfJmm=LOOO=LOOO6

（2）待定系数法求矩阵函数。

）待定系数法求矩阵函数。

）（）（）（）（gqmf+=，）（m最高次为最高次为m，12101210（）mimimigccccc=+=+LL（）（）（）（）kkiigf=（1,2,;1,2,）ikmir=LLLL（）（）fAgA=15矩阵