矩阵的奇异值分解MATLAB自编实验报告_精品文档.pdf

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2矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解2.1原理原理设ACmn，s1，s2，sr是A的非零奇异值，则存在m阶酉矩阵UCmn及n阶酉矩阵V，mn矩阵D，D=10000000000000rss=000使得A=UDVH这就是矩阵A的奇异值分解.2.2算法算法第一步：

求出AHA的特征值12r0=1r=n，确定非零奇异值is=i，i=1,2,r.第二步：

分别求出矩阵AHA的对应于特征值i的特征向量并将其单位正交化，得到标准正交向量组1,2,n令V=（1,2,n）=（V1,V2），V1=（1,2,r），V2=（r+1,r+2,n）第三步：

若U=（1,2,r,r+1,r+2,m）=（U1,U2），其中U1=（1,2,r），U2=（r+1,r+2,m），则因（A1,A2,Ar）=（s11,s22,srr）即有U1=AV11.其中1=11121rsss第四步：

解方程组AAHy=0，对基础解系单位正交化可以求得r+1，r+2，m，令U=（1,2,r,r+1,r+2,m）.2.3程序流程图程序流程图输入矩阵AAHA的特征值及对应特征向量AHA的特征值由大到小排列并排列及对应特征向量单位化得V计算U1，U2计算D结束2.4MATLAB程序程序functionU,D,V=SVDecom（A）m,n=size（A）;U=zeros（m）;V=zeros（n）;r=rank（A）;D=zeros（m,n）;B,C=eig（A*A）;x=diag（C）;B=B.,x;B=sortrows（B,-（n+1）;fori=1:

rD（i,i）=sqrt（B（i,n+1）;endB=B（:

1:

n）;B=B.;V=qr（B）;V1=V（:

1:

r）;U（:

1:

r）=A*V1*（inv（D（1:

r,1:

r）;U（:

r+1:

m）=null（A*A）;end2.5运行运行与与数据数据分析分析以教材上的A=10;01;10为例来验证上述求矩阵的奇异值分解程序的正确性。

在matlab运行结果如下：

A=10;01;10;U1,D1,V1=SVDecom（A）U1=0.707100.707101.000000.70710-0.7071D1=1.4142001.000000V1=1001在matlab自带求解矩阵奇异值分解函数：

U，S，V=svd（A）其中U就是所求的U矩阵，S是所求的对角阵，V就是所求的酉矩阵V.在matlab中运行下述指令：

A=10;01;10;U0,D0,V0=svd（A）U0=-0.70710-0.707101.00000-0.707100.7071D0=1.4142001.000000V0=-1001对比可见结果的正确性。