第十一届全国周培源大学生力学竞赛答案.pdf

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-1-第十一届全国周培源大学生力学竞赛第十一届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛）试题（个人赛）试题出题学校：

湖南大学湖南大学（本试卷分为基础题和提高题两部分（本试卷分为基础题和提高题两部分满分满分120120分分时间时间33小时小时3030分）分）第一部分第一部分基础题部分（填空题，共基础题部分（填空题，共60分）分）第第1题题（6分）分）

（1）、62363abFcFc；

（2）、24baFF；（3）、1222Fc。

第第2题（题（6分）分）

（1）、3；

（2）、238gt。

第第3题（题（6分）分）

（1）、（FF受拉）或；

（2）、3232（22FF受压）或。

第第4题（题（6分）分）

（1）、1tan（3/2）90；

（2）、若13tan602，则23cot3ag；若6090，则cotag。

第第5题（题（6分）分）

（1）、5u；

（2）、24uR；（3）、558R。

第第6题（题（5分）分）

（1）、N1N22cos0FF；

（2）、122cosll。

-2-第第7题（题（5分）分）383lEI。

第第8题（题（6分）分）

（1）、54，0，-26；

（2）、80。

第第9题（题（6分）分）

（1）、；

（2）、222EIl。

第第10题（题（8分分）

（1）、229m；

（2）、52521818mm或。

-3-第二部分第二部分提高题部分（计算题，共提高题部分（计算题，共60分）分）第第11题（题（共共15分分）解答组合刚体的运动存在两个阶段，一是绕O的定轴转动；二是质心水平速度保持不变的平面运动。

首先确定由定轴转动到平面运动的临界转角。

问题

（1）刚体绕O作定轴转动。

依动能定理212（1cos）

（1）2OJmgr（1分）分）24（1cos）OmgrJ式

（1）两边对时间求导2sin

（2）OmgrJ（1分）分）式

（2）也可由对点O的动量矩定理得到由质心运动定理22sincos（3）nNCCFmaa2=,=nCCarar。

方程（3）也可由动静法得到。

式（3）中代入加速度222sin3cos2NOmgrFJ（2分）分）球与凸台分离的角度20NF由确定。

102cos3（4）（1分）分）023OmgrJ对应角速度问题

（2）02（1cos）OmgrJ当，（1分）分）0当时，组合刚体与台阶脱离接触，作平面运动，水平方向动量守恒，质心C的水平速度不变，为0004cos（5）33CxOrmgrvrJO点速度vO水平，由基点法得质心C的速度（6）COCOvvv（1分）分）质心C的水平速度为00coscos（7）CxOvvrr（1分）分）orCR2mg1NF2NFCanCarROvOvOrC-4-依动能定理，有2220112（）（sin）2（1cos）（8）22CCxJmvrmgr（2分）分）其中，22COJJmr由式（8）解出22222000022224（1cos）2cos9（1cos）22=2cos32cosOOmgrmrmgrmrJmrJmr（当）（9）（1分）分）问题（3）00S当时（1分）分）0当时，圆盘向右发生水平移动和转动。

注意到ddddddddOSSSvtt（1分）分）由式（7）有00cosdcosd（）rSr（1分）分）积分上式，并注意到05sin3，得022002202cos5dsin（）9（1cos）23OJmrSrrmgrmr（1分）分）其中，10022,cos33OmgrJ。

rROvOSC-5-第第12题（题（共共15分分）解答解答两物体碰撞及速度突变都发生在水平面内，在铅直方向，方板仍然处于平衡状态。

由空间平行力系的平衡知三个支撑点的铅直方向反力。

支承面对方板的水平约束力就是动或静摩擦力，由摩擦定律知摩擦力与铅直反力成比例。

因此，在碰撞阶段，水平摩擦力的冲量略去不计。

问题

（1）记碰撞冲量为I，考察板00

（1）2OOmvIhJIb（1分）分）216OJmh，由

（1）解出0026;2OIIhvbmmh碰撞结束瞬时，板作平面运动的速度瞬心位于通过点B和点B的直线上。

由000Ovx（1分）分）得（）6（1/2/）2/2bhhxbbhh当时，板作平移，速度瞬心在无穷远处。

（2）（1分）分）式中，x坐标的原点在点O，向右为正，向左为负。

问题

（2）将b=5h/6代入式

（2），有x=-h/2，板逆时针转动。

此时，板的速度瞬心在AC棱边中点。

碰撞结束瞬时，板的角加速度由相对于质心的动量矩定理确定。

OOJM（1分）分）板在水平面内受三个滑动摩擦力作用，如右图所示。

2OmghM（1分）分）代入式（3），有3（gh顺时针）（1分）分）ABCb4mg4mg2mgmgACBO4mgBv4mg2mgOaIACBO0Ov0DxBb-6-问题（3）B点速度vB=0，由式

（2）知6hb（1分）分）由对B点的动量矩守恒得到055（3）216216bBbmmvhJvh（1分）分）其中，bv为小球的反弹速度，225412BOmJJhmh。

碰撞点D的法向速度为005cos6DnvBDh完全弹性碰撞条件为（4）bDbnvvv（1分）分）结合式（3）与（4），解出0317bvh（1分）分）B点的静摩擦力满足2200（5）2nBBmgFF（2分）分）由质心运动定理和对B点的动量矩定理000005（6）554nnOBOBBBmaFmgmaFmghJM（1分）分）20000,22nOOhhaa其中，由式（6）解出200000353551,510102nOBBggmgaFFmhh再由式（5），得到345310bghv（1分）分）此后，板作减速转动，2000,2nnnOBBhaFF。

可见，板在停止转动之前，其B端能保持静止不动。

（1分）分）ACBO0Av4mg4mgnOaOa0nBF000BF0CvIACBO00BDDIbvbvDnv-7-第第13题（题（共共15分分）解:

（1）横截面上的内力:

弯矩：

M=mR（3分分）

（2）横截面的转角：

通过（，）点的圆周线正应变（这里，正应变以缩短为正）为coscos（）coscoswRR（5分分）coscos（）R（1分分）coscos（）EER（1分分）sin（）dAMA（1分分）计算出积分，可得4sin4ErMR（1分分）于是转角为44112sinsin44ErErRMmR（1分分）（3）内力的最大值Mmax当=/2时，M=Mmax。

（1分分）4max4ErMR（1分分）RMMmORwo-8-第第14题（题（共共15分分）解：

（1）记DDt钢丝的伸长量由力的平衡可得222DgFqDFqgFPn

（1）解此方程，得）2（）（nPeF

（2）（2分分）钢丝绕满环管表面后，两端即将连接时，钢丝伸长量：

2001（）d2nSDlFEA即20

（1）2nSDPleEA（1分分）钢丝的张力两端连接的钢丝松弛后，AEDnFlS00（1分分）由此得钢丝的张力20

（1）2nPFen（1分分）环管的应力求管道横截面上的应力l：

0l（a）（1分分）求环管柱面形纵截面上的应力v：

先用一个竖直平面沿管道环线的直径切开，再用过管道轴线的竖直圆柱面将管道切成两半，可知02222sin210lvnjjtDtRF（b）（2分分）其中=2/n，（12）jj。

计算出和式，得0420lvDtRtRdF（c）（1分分）qdFFF（）gd-9-式中，d计算如下1122dddDtdDRR于是02vFtd即214nvPentd（1分分）

（2）当有内压p时，记由于施加p而引起的竖直纵截面上的应力增量为v（压为正），钢丝与管外表面间的挤压引起管外表面上压应力增量为g（压为正），钢丝拉力增量为F（拉为正），管横截面应力增量为l（拉为正）。

求环管道横截面上的应力增量l：

用一个竖直平面沿管道环线的直径将压力容器切开成相等的两半，可知代替方程（a）的是4lDpt（a）v0Fllllpp-10-求环管柱面形纵截面上的应力v：

由变形协调方程得241（）vlsddFEdEdg（3）（2分分）参考式

（1）的第一式，有FDg2。

（1分分）将上述结果代入式（3），化简得24214vsDFpEdEDdEEt（3）在有p存在的情况下，仿照式（c）可写出224（+2）4vlRFRtDtRDtDtpd（1分分）式（a）代入上式，化简得2vFtDpd（c）（1分分）式（3）、（c）联立可解得vF、。

vFllpFgdF