同济大学数值分析参考答案.pdf

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2014-2015数值分析试卷维基解密1/41.用追赶法求用追赶法求解三对角解三对角线性方程组：

线性方程组：

1212323455.253.252.510.529xxxxxxx.（10分）111122223335001041000100115.251,103.2502.500102.510.502.5-29eylulLUluALlyllyy=追：

追：

1213245.251510.52.510llulu123121/0.251/0.2uluul112123235/1.25（3.251）/0.4（-292.5）/3ylyylyyl112231.2510010.40013exuUuxxx=y赶：

赶：

322311230.411.251xxuxxux12311-3xxx2.给定函数给定函数（）fx的数值表的数值表如下：

如下：

x012（）fx124（）fx1

（1）求三次埃尔米特插值多项式H3（x）;

（2）用H3（x）代替f（x），计算20（）dfxx的近似值.（10分）

（1）设2330123（）Hxaaxaxax，则2123（）23Hxaaxax由000123101232312311（0）1+21.5

（1）2

（2）4+2+4841

（1）10.5+231aaHaaaaaHHaaaaaHaaaa故23331（）122Hxxxx

（2）222234300031113（）d（）d4383fxxHxxxxxx.2014-2015数值分析试卷维基解密2/43.找出形如找出形如cossinyabxcx的函数，使之在最小二乘意义下拟合的函数，使之在最小二乘意义下拟合下表的下表的数据：

数据：

x0232y2112（10分）基函数：

012（）1,（）cos,（）sinxxxxx法方程：

000010211120220（,）（,）（,）（,）（,）（,）（,）（,）（,）fabfsymcf左边：

000001010202111112122222（,）11114（,）11101（-1）100（,）1011101（-1）0（,）1100（-1）（-1）002（,）1001（-1）00（-1）0（,）00110iiiiiiiiiiii0（-1）（-1）2右边：

001122（,）121111126（,）1201（-1）1021（,）021101（-1）2-1iiiiiiffffff于是：

61.540002010.5002-1-0.5aabbcc4.确定参数确定参数w0,w1,w2,使下使下列列求积公式求积公式的的代数精度代数精度最最高高，并指出代数精度，并指出代数精度：

101212133（）d（）（0）（）221fxxwfwfwfx并用它计算并用它计算2112d1xexx的近似值的近似值.（15分）分别将2（）=1,fxxx代入求积公式两边，使之精确成立：

由：

12212-2212212-222212212-2211ddsindcos1sinddsinsind0cos1sin1cos2ddsindcos221xxxxxxxx得：

200121330440211202133300d5.481223313304423xwwwwewwwxeeexwww将3（）=fxx代入，左边333133212-233=dsind0-03221xxx右边将4（）=fxx代入，左边2414422212-2221-cos23=dsindsindd=281xxx右边将f（x）=x5代入，左边右边，故代数精度为4.2014-2015数值分析试卷维基解密3/45.对对如下如下方程组：

方程组：

12312341234234102611325210113815xxxxxxxxxxxxxx

（1）写出G-S迭代格式;

（2）取x（0）=0,0,0,0T，用该G-S迭代格式计算x

（1）;（3）该迭代格式收敛吗？

说明理由.（15分）（3）收敛，因为系数矩阵A严格对角占优：

1012,11113,10211,8316.对非线性方程：

对非线性方程：

cos（）1xxx，构造牛顿法构造牛顿法迭代格式，迭代格式，并用它求方程在并用它求方程在4.5附近的根，要附近的根，要求精度求精度10-4.（10分）泰勒展开（）（）（）（）1!

kkkfxfxfxxx，方程（）（）0（）kkkfxfxxxfx本题，（）cos（）1fxxxx，（）cos（）sin（）1fxxxx迭代格式：

1（）cos（）1（）cos（）sin（）1kkkkkkkkkkkfxxxxxxxfxxxx迭代：

计算器输入kxk4.54.50cos（）1cos（）sin（）1AnsAnsAnsAnsAnsAnsAns4.76641=4.78962=4.79063=4.79064

（1）10-12010001-20-111-13111001-32-110-110-2100103-1880-3100ADLUGS迭代：

11（）kkkDLUDLUxbxxxb即，

（1）（）（）123

（1）

（1）（）（）2134

（1）

（1）

（1）（）3124

（1）

（1）

（1）4231120610111325111-21111101031158kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx

（2）将x（0）=0,0,0,0T代入上式，得：

（1）（0）（0）123

（1）

（1）（0）（0）2134

（1）

（1）

（1）

（1）（0）3124

（1）

（1）

（1）423112060.600100.6001113252.3272.327111-0.987-21111-0.987100.8791031150.8798xxxxxxxxxxxxxxx2014-2015数值分析试卷维基解密4/47.已知一阶常微分方程初值问题：

已知一阶常微分方程初值问题：

21,02（0）0.5yyxxy及及三阶三阶Runge-Kutta公式：

公式：

11231123121（4）6（,）（,）22（,2）nnnnnnnnyykkkkhfxykhkhfxykhfxhykk编写程序编写程序，求出上述问题的近似解，求出上述问题的近似解，并画出数值解的图像并画出数值解的图像.（15分）functionXs,Ys=odeRK3（）%ode-常微分方程，RK3-三阶龙格-库塔解法symsxydy（x,y）=y-x2+1;h=0.1;a=0;b=2;n=（b-a）/h;%0xtol&iteimax%Nu反幂法特征值（矩阵B逆的）v=iB*u;temnu=Nu;,poi=max（abs（v）;Nu=v（poi）;u=v/Nu;ite=ite+1;hist（:

ite）=u;%记录迭代次数、迭代向量err=abs（Nu-temnu）;endlambda=1/Nu+p;hist=hist（:

1:

ite）;return