有限元课程考试复习资料.pdf
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选择题：
选择题：
1、空间桁架，整体坐标系中单元刚度矩阵是6阶方阵。
2、二维固体中，节点4处水平位移为0，则引入支承时划去总刚中的第7行、第7列。
3、平面桁架中，坐标转换矩阵T的阶数是24；空间桁架中，坐标转换矩阵T的阶数是26。
4、3节点三角形单元，局部编码为1、2、3，总体编码为4、6、8，则k46在第12行、第16列。
5、坐标转换矩阵是正交矩阵【TTT=I】。
6、5节点4个单元组成的平面刚架，总刚矩阵大小为1515。
【节点数自由度（平面刚架DOF=3）】7、与平面刚架单元刚度矩阵有关的材料常数为弹性模量。
8、8节点六面体单元，每个单元节点位移总量为24。
【每个节点有3个自由度】9、二维4节点四边形单元，每节点的位移总数为2。
【每个节点自由度DOF=2，单元自由度总数为8】10、满足形函数的点是单元内任意点。
填空题：
填空题：
1、可将ke表示成分块形式，则各子矩阵按节点局部编号排序。
2、总刚矩阵得到之后，即使已知节点载荷仍不能求位移，因为总刚是奇异性的，为此必须施加位移约束。
3、总刚中各矩阵按节点总体编码排序。
4、哈密尔顿原理位移的容许条件：
哈密尔顿原理位移的容许条件：
协调性方程；本质边界条件或运动边界条件；在初始刻和末时刻的条件。
5、形函数的性质：
形函数的性质：
再生性和连续性；线性无关性；德尔塔函数性质；单位分解性；线性场再生性。
6、单刚的性质：
对称性、奇异性、分块性；总刚的性质：
对称性、奇异性、稀疏性、非零元素的带状分布性。
7、任何载荷可以分为对称载荷和非对称载荷。
8、二维固体中，宽度为16，最大节点差值为7。
【带宽=（最大节点差值+1）自由度】9、固体力学中，本构方程中各向同性材料涉及的两个材料常数为杨氏模量E和泊松比。
10、节点总数为10，带宽为15的平面刚架压缩之后，存储单元个数为450。
【存储单元=节点总数自由度带宽】简答题：
简答题：
1、强形式和弱形式的区别：
强形式和弱形式的区别：
答：
“强”形式相关的场变量要求强的连续性，定义这些场变量的所有函数必须可微，而可微的次数必须等于存在于强形式的系统方程中的偏微分方程的次数。
“弱”形式通常是积分形式，且对场变量要求较弱的连续性，弱形式通常能得到更精确的解。
2、有限元法的步骤：
有限元法的步骤：
答：
域的离散；位移插值；构造形函数；坐标变换；整体有限元方程的组装；位移约束的施加；求解整体有限元方程。
3、平面桁架单元在局部坐标系和整体坐标系中分别有几个自由度？
为什平面桁架单元在局部坐标系和整体坐标系中分别有几个自由度？
为什么会不同？
么会不同？
答：
局部坐标系DOF=2，整体坐标系DOF=4.在局部坐标系中，桁架单元仅仅考虑轴向变形，因此一个节点仅有一个自由度，即轴向位移；整体坐标系用于描述桁架结构的所有单元，不能保证桁架结构的所有单元坐标轴总是沿着轴向变形的方向，因此，一个节点的自由度需要X、Y两个方向的位移分量来描述，所以在整体坐标系中，一个节点有两个自由度。
4、桁架引入局部坐标系为什么？
为什么进行坐标变换？
桁架引入局部坐标系为什么？
为什么进行坐标变换？
描述一下描述一下如何组装如何组装。
答：
减少初步计算过程中的自由度数量，使计算变得简单方便。
在实际桁架中，由许多不同方向和不同位置的杆件组成，为了把所有的单元方程组合起来构成整体的系统方程，必须对每个单元进行坐标变换。
组装过程就是把与某个节点相连的所有单元的贡献相加。
5、线性矩形单元、线性矩形单元h=Nihi，me和和ke各需要多少个高斯点？
各需要多少个高斯点？
答：
由单元刚度矩阵ke的计算公式ke=VBTcBdV=AhBTcBdA，被积函数为hBTcB.应变矩阵B是和的线性函数，厚度能用线性形函数和节点处的厚度值得到。
因此，在每个方向上被积函数是一个立方函数，只需要2个高斯点就可以计算出含有最高次数为3次的多项式刚度矩阵，因此需要22个高斯点。
由质量矩阵的计算公式me=VNTNdV=AhNTNdA，被积函数为hNTN。
厚度能用线性形函数和节点处的厚度值得到。
因此，在每个方向上被积函数是一个立方函数，只需要2个高斯点就可以计算出含有最高次数为3次的多项式质量矩阵，因此需要22个高斯点。
6、罚因子法的优缺点：
、罚因子法的优缺点：
答：
优点：
未知量的总数不变；系统方程的性能通常很好；计算效率不会降低；缺点：
只能近似满足约束方程，且正确的罚因子不好选择。
【PS：
拉格朗日乘子法的优缺点】：
拉格朗日乘子法的优缺点】答：
优点：
可以精确的满足约束方程；缺点：
增加了未知量的总数；扩大的刚度阵非正定；求解方程的效率较低。
7、一定要离散区域吗？
离散区域有什么目的？
一定要离散区域吗？
离散区域有什么目的？
理论上不用必须离散所求解问题的区域。
把问题划分成单元的目的是更容易地假设位移场的模式。
8、二维固体二维固体位移值小于真实值的原因位移值小于真实值的原因？
答：
位移有限元法的过于刚硬性质，主要原因是采用了形函数。
利用形函数和节点位移进行插值，就假设了单元内的位移，即单元的变形实际上指定为形函数所构成的形状，这就给单元施加了约束，导致单元的性质比实际更刚硬，从而导致了其位移值小于真实值。
9、梁、梁+桁架桁架=刚架的原因？
什么时候会失效？
刚架的原因？
什么时候会失效？
答：
刚架单元可以承受轴向或横向力以及力矩的作用，即拥有桁架单元与梁单元的性质，且两者互不影响，即可以相互叠加。
桁架单元拥有X轴向自由度，而梁单元拥有Y方向挠度和X-Y平面内绕Z转动的自由度，且各自由度不影响时，可叠加得到刚架的3个自由度。
当轴向变形与横向变形相互耦合时，轴向变形能引起横向变行，反过来横向变形也能引起轴向变形，此时叠加方法将会失效，该情况多发生在大变形中。
10、举出三个多点约束的例子。
、举出三个多点约束的例子。
答：
连接的模拟、偏移的模拟、支承的模拟；对称外界条件的模拟、网格协调性的施加、采用刚体连接模拟约束。
计算题：
计算题：
1、点点点点+计算带宽。
计算带宽。
逆向顺序对节点进行编号。
带宽=（最大节点差值+1）自由度DOF2、证明证明ke=hAeBTcB。
虽然单元的厚度是不均匀的，但是在二维平面内厚度是线性的，我们可以利用节点位置处的厚度和线性形函数的性质插补得到任何点处的厚度。
根据形函数的德尔塔函数性质，形函数在自身节点处应取单位值1，而在其他节点处为0。
作为插入函数，该形函数的应用也是可用的，因此单元厚度能写成：
111223312323（,）hhxyNhNhNhNNNhh其中，Ni和hi分别为形函数和节点处的节点厚度。
刚度矩阵能写成：
0d（d）ddeeehTTTeVAAVzAhAkBcBBcBBcB代入h（x,y），得到：
112233deTeANhNhNhAkBcB形函数能够表示成面坐标的形式。
由于面坐标也具有德尔塔函数性质，利用数学方法：
123!
d2
（2）!
mnpAmnpLLLAAmnp可以得到：
11111!
0!
0!
d2（1002）!
3eeeAAhNhAAh同理可得其他几个积分的值，所以：
123333TeeeeTeAhAhAhhAkBcBBcB123333TeeeeTeAhAhAhhAkBcBBcB3、过渡单元（过渡单元（拉线法求形函数拉线法求形函数+载荷移植载荷移植）。
关于载荷移植的计算：
4、多点约束方程的计算。
多点约束方程的计算。
【PS-1：
课：
课本例题本例题】N|多点约束方程=N|由刚体连接的所有节点的总自由度N|刚体的自由度【PS-2：
课后题：
课后题】选3节点为参考点，且刚体对于节点3有运动q1、q2、q3，则：
1132rqaq22rq313rqaq42rq51rq62rq71rq823rqaq消去刚体自由度，得到多点约束方程：
26rr46rr57rr156822rrrr3568rrrr5、复合壁的热传导计算。
复合壁的热传导计算。
针对单元1：
针对单元2：
组装整体系统方程：
其中Q为未知量，求解有限元方程：
PS：
解题公式：
解题公式：
附加：
附加：
1、桁架的节点特征是什么？
对于桁架单元的变形和应力特征有何影响？
桁架的节点特征是什么？
对于桁架单元的变形和应力特征有何影响？
桁架构件通过销钉或铰链（而不是焊接）连接在一起，因此构件之间值传递力（而不是力矩）。
一个桁架结构仅仅有轴向变形和应力，在单元的每个节点处只有一个自由度，即轴向位移。
2、梁的节点特征是什么？
对于梁、梁的节点特征是什么？
对于梁单元的变形和应力特征有何影响？
单元的变形和应力特征有何影响？
梁是通过焊接（而不是桁架单元中的销钉或铰链连接）把梁连接到一起，为此，梁之间的力和力矩可以相互传递。
平面梁结构在局部坐标系中每个节点有两个自由度，即Y方向的挠度v和X-Y平面内绕z轴的转角Z。
3、自由度自由度DOF的数值的数值：
平面桁架局部坐标系中DOF=2，整体坐标系中DOF=4；空间桁架局部坐标系中DOF=2，整体坐标系中DOF=6；平面梁局部坐标系中DOF=4，整体坐标系中DOF=8；刚架局部坐标系中DOF=6，整体坐标系中DOF=12；二维固体每个节点的自由度DOF=2；线性三角形自由度DOF=6；线性矩形单元自由度DOF=8；三维固体每个节点自由度DOF=3；板结构的每个节点的自由度DOF=3；壳结构的每个节点自由度DOF=6；4、德尔塔函数性质保证了方便施加本质边界条件，为什么？
德尔塔函数性质保证了方便施加本质边界条件，为什么？
因为在某一节点处的节点位移与其他任何节点处的节点位移都无关，这时的约束常可以写成所谓的单点约束形式。
如果某一节点处的位移给定，我们只需删除相应的行和列，而不影响其他行与列。
5、使用较少高斯点的好处。
、使用较少高斯点的好处。
计算简单方便，减少计算量；使用较少的高斯点，可以消除位移有限元法的过硬性质。
6、4个节点四面体单元的质量和刚度矩阵需要的高斯点数：
个节点四面体单元的质量和刚度矩阵需要的高斯点数：
ke=VBTcBdV=VeBTcB因为B为常数阵，所以n=0，m=0，不用高斯积分法；me=VNTNdV=VehNTN因为B为常数阵，所以n=0，m=0，不用高斯积分法；7、8个节点个节点六六面体单元的质量和刚度矩阵需要的高斯点数：
面体单元的质量和刚度矩阵需要的高斯点数：
ke=VBTcB|J|dV因为B为线性阵，所以n=3，m=2，用222个高斯积分法；me=VNTN|J|ddd因为B为线性阵，所以n=3，m=2，用222个高斯积分法；8、五种可能的单元畸变形式：
、五种可能的单元畸变形式：
长宽比畸形；单元角度畸形；单元曲率畸形；凹入形单元的体积畸形；在具有中间节点的高阶单元中中间节点的畸变。
9、模拟模拟偏移偏移的三种方法：
的三种方法：
大刚度单元、刚性单元、多点约束方程。
10、二次和线性单元之间需要使用过渡单元或多点约束的原因。
二次和线性单元之间需要使用过渡单元或多点约束的原因。
当二次单元与线性单元连接时，二次单元沿单元边进行二次变形，而线性单元沿单元边进行线性变形，从而使得公共边处产生了类似裂纹的现象，导致位移的不协调性。
11、问题域问题域的边界分类。
的边界分类。
本质边界条件：
给定场变量温度的边界；自然边界条件：
给定场变量温度的导数的边界。
12、热传导问题的边界条件热传导问题的边界条件：
绝热边界；对流边界条件；给定边界上的热流量。
13、薄板与厚板的区别：
、薄板与厚板的区别：
弹性力学：
薄板无剪应变（力），中心面转角与挠度有关，可求导求出；厚板有剪应变（力），中心与挠度无关。
有限元方面：
薄板只有一个基本未知量，即w；厚板自由度包括挠度w、绕X轴的转角Qx和绕Y轴的转角Qy。
14、板的剪切自锁现象：
、板的剪切自锁现象：
当板的厚度减小时，单元就会变得过分刚硬，这就是所谓的剪切自锁现象。
15、多项式作为形函数的基函
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