欠采样频率估计方法_精品文档.pdf

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欠采样频率估计方法王洪洋，廖桂生，吴云韬（西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室，陕西西安710071）摘要：

基于时延和旋转不变子空间技术（ESPRIT），本文提出了一种新的欠采样宽频带信号频率的高分辨估计方法.文中，欠采样所引入的频率模糊由增加的延迟通道提供的信息加以消除，并提出了相应的频率解模糊算法.为进一步降低运算量，文中给出了该频率估计方法的简易算法，增强了方法的实用性.文末推导给出频率估计的CRLB，并通过数值仿真实验验证了本文算法的有效性.关键词：

宽频带；欠采样；频率模糊；简易算法中图分类号：

TN911.7文献标识码：

A文章编号：

0372-2112（2004）12-1978-04FreguencyEstimationwithSub-nyguistSamplingWANGHong-yang，LIAOGui-sheng，WUYun-tao（KeyLa6oratoryforRadarSignalProcessing，XidianUniuersity，Xian，Shaanxi710071，China）Abstract：

Basedonanauxiiiarytime-deiaychanneiandESPRITapproach，anewaigorithmforwidebandfreguencyestimationwithsub-Nyguistsampiingwasproposed.Thefreguencyaiiasingduetosub-Nyguistsampiingcanberesoivedbytheproposedfreguen-cyaiiasingresoivingaigorithmandinformationfromthetime-deiaychannei.Tofurtherreducethecompiexityoftheproposedmethod，asimpiifiedaigorithmwithiittieperformancedegradationwasaisogiveninthispaper.Atiast，simuiationresuitsverifytheefficiencyoftheproposedmethod.Keywords：

wideband；sub-Nyguistsampiing；freguencyaiiasing；simpiifiedaigorithm!

引言谱估计技术因其在雷达、声纳、通信等方面的广泛应用而越来越受到重视，而频率估计是其重要的一个组成部分.常规的频率估计技术，如DFT，受到瑞利限约束，分辨力不高.另一类谱估计方法使用参数化模型，如Pisarenko谐波分解法、Prony方法等13，可突破瑞利限约束.利用子空间分解技术的频率估计方法有ML，MUSIC，ESPRIT等算法46，其分辨力和估计精度较高，是目前研究最为广泛的方法.以上频率估计方法需要对信号进行Nyguist采样，这在信号频率较低或频带较窄的情况下很容易实现，在宽频带情况下却很难实现.鉴于此，本文提出了一种欠采样情况下宽频带信号频率的估计方法，之所以讨论欠采样情况是因为限于当前的ADC技术水平和后端DSP吞吐能力，对宽频带信号进行Nyguist采样处理已相当困难.欠采样使得信号频谱混叠，必须增加额外的信息解模糊才能得到信号频率的无模糊估计.利用多个延迟通道和前后向稀疏线性预测（FBSLP）方法，文7，8解决了欠采样信号频率的无模糊估计问题，但这种方法需要的硬件量相当大.将信号适当延迟并结合MUSIC方法，文9同样解决了上述问题，但要求延迟通道数大于信号数并且估计精度取决于搜索步长，有一定的局限性.基于时延和Pro-ESPRIT方法10，文10解决了宽频带空时欠采样条件下信号频率和波达方向的联合估计.同样，文11利用Pro-ESPRIT算法解决了欠采样宽频带信号的频率估计问题，其运算量主要集中在两次相关矩阵估计和特征分解上.本文通过延迟通道提供的信息和欠采样后信号频率的估计来联合解模糊，并提出了相应的解模糊算法，分析和数值仿真结果验证了该方法的有效性.同时，为降低运算量，文中提供了简易算法，该简易算法不需要估计信号相关矩阵，并且仅需要一次特征分解就可实现频率估计，大大增强了方法的实用性.信号模型与本文算法设传感器感应的个复指数信号被功分成两路，一路直接被ADC以速率Fs采样，Fs小于信号Nyguist采样速率，为时间欠采样.另外一路延迟!

后被同步采样，!

小于信号Nyguist采样间隔.分别以x（n），y（n）表示对无延迟、有延迟信号的第n次快拍，有x（n）=!

KI=1sI（n）+wx（n）=!

KI=16Ie（2fIn）/Fs+wx（n）y（n）=!

KI=1e-2fI!

sI（n）+wy（n）=!

KI=16Ie2fI（n/Fs）-!

+wy（n）

（1）其中，sI（n）表示对第I（1IK）个信号的第n次快拍（本文不考虑欠采样后各信号相干的情况），6I、fI分别表示其复幅度和频率；e-2fI!

表示第I（1IK）个信号的延迟相位差；wx（n），wy（n）为相应输出的零均值加性高斯白噪声.将有收稿日期：

2003-09-01；修回日期：

2004-06-21基金项目：

国家自然科学基金（No.60172028）；教育部科学技术研究重点项目（No.01163）第12期2004年12月电子学报ACTAELECTRONICASINICAVoi.32No.12Dec.2004延迟、无延迟信号的连续O（OK）次快拍排成两列矢量X（I）=x（I），x（I+1），x（I+O-1）T=A（f）S（I）+Wx（I）Y（I）=y（I），y（I+1），y（I+O-1）T=A（f）!

S（I）+Wy（I）

（2）其中，A（f）=a（f1），a（fK）a（fI）=1，e（2KfI）/Fs，e2K（O-1）fI/FsT!

（fI）=1，e-2Kf1T，e-2KfKTS（I）=s1（I），sK（I）T（3）而Wx（I），Wy（I）分别表示相应输出的白噪声向量.由于对信号欠采样，直接由时间导向矢量a（fI）获得的信号频率估计有模糊，与真实信号频率差采样频率的整数倍.而直接由!

中各信号延迟相位差得到的频率估计虽无模糊，但估计方差较大.从下文可以看到，联合两次频率估计并通过一定的解模糊算法就可以获得无模糊且方差较低的频率估计.!

#本文算法合并无延迟、有延迟采样输出有Z（I）=XT（I）YT（I）T=AA!

S（I）+Wx（I）Wy（I）=BS（I）+W（I）（4）欠采样时间导向矢量和各信号延迟相位差都包含在B中.基于上述数学模型并结合ESPRIT方法可实现时间导向矢量和各延迟相位差的估计.首先计算Z（I）的相关矩阵Rzz=EZ（I）ZH（I）=BRssBH+S2I2O（5）E表示求数学期望，Rss为K个信号的相关矩阵，S2为噪声功率，I2O为2O阶单位阵.对相关矩阵进行特征分解Rzz=】2Oi=1XiuiuHi=EssEHs+S2EwEHw（6）其中，As=diag（X1，XK）为K个大特征值形成的对角阵，Es，Ew分别为K个大特征值、2O-K个小特征值（等于噪声功率）对应特征向量形成的矩阵，分别张成信号子空间和噪声子空间.存在一非奇异矩阵T，使得下式成立12Es=Es1Es2=AA!

T=BT（7）Es1，Es2分别为Es的前、后O行元素组成的维数为OXK的矩阵，并且有Es1=ATEs2=A!

TEs2=Es2（EHs1Es1）-1EHs1Es1A!

T=Es2E#s1ATEs2E#s1A=A!

（8）其中，E#s1=（EHs1Es1）-1EHs1表示伪逆运算.上式表明，对Es2E#s1特征分解，K个大特征值X1，XK为!

对角线元素e-2Kf1T，e-2KfKT的估计，对应特征向量u1，uK为A各列向量a（f1），a（fK）的估计，且由特征值与特征向量的一一对应关系实现了同一信号延迟相位差和欠采样时间导向矢量的自动配对.由各信号延迟相位差和欠采样时间导向矢量估计可得到无、有模糊频率的估计fcoarseI=-XI/（2KT）ffiIeI-PIFs=fI=Fs2K（O-1）】O-1l=1uI（l+1）uI（l），lJIJK（9）（）表示取主值相位.fcoarseI表示由第I个信号延迟相位差得到的频率估计，不存在模糊，但估计方差较大；ffiIeI-PIFs表示由欠采样时间导向矢量得到的第I个信号模糊频率的估计，ffiIeI表示真实频率，而PI对应信号欠采样后频率折叠次数，为一正整数且满足IffiIeI-PIFsIFs0PIJceiIffiIeIF（）s0PIJceiIfmaxF（）s（10）式中，ceiI（）表示取大于括号内的最小整数.fmax为可估计的最高频率.上式放大了PI的取值范围，使之仅与可估计的最高频率有关，PI=0对应过采样情况.估计信号真实频率ffiIeI的关键在于确定PI的取值，约束ffiIeI与fcoarseI绝对偏差最小有PI=argminPIIfI+PIFs-fcoarseII0O）次快拍数据来估计信号相关矩阵Rzz=1N-O+1】N-O+1I=1Z（I）ZH（I）（13）而式（78）近似成立.以上频率估计算法的运算量（主要指复乘法次数）主要集中在估计相关矩阵、求伪逆和两次特征分解上，整个算法运算量约为C1=4（N-O+1）O2+KO（O+2K）+0（9O3）+0（K3）（14）当N，O较大时，上算法运算量很大.下面给出上述频率估计方法的简易算法.!

本文算法的一种简易实现设B前K行元素组成的满秩矩阵为B1，后2O-K行元素组成的矩阵为B2，则存在一矩阵V使得下式成立13VHB1=B2（15）不考虑噪声影响，记数据矩阵Z=Z

（1），Z

（2），Z（N），有Z=Z1Z2=BS

（1），S

（2），S（N）=B1B2S（16）Z1，Z2为数据矩阵Z的前K行和后2O-K行元素构成的子矩阵，S=S

（1），S

（2），S（N）.对Z1左乘VHVHZ1=VHB1S=B2S=Z2（17）考虑噪声时，上式近似成立，可通过下式（V）=argminZ2-VHZ12（18）估计V.上式中表示Frobenius范数，解式（18）有V=（Z1ZH1）-1Z1ZH2（19）9791第12期王洪洋：

欠采样频率估计方法令VH=IKVH，则VHB1=IKVHB1=B1B2=B=AA!

（20）用基于数据矩阵得到的VH可以估计信号频率，而不需要（5）、（6）计算相关矩阵和特征分解.将VH按行平均分成两个矩阵块，记其前O行元素形成的子矩阵为VH1，后O行元素形成的子矩阵为VH2，有VH1B1=AVH2B1=A!

VH2（VH1）#A=A!

（21）上式同式（8）具有相同的形式，只不过用VH2代替ES2，用VH1替代了ES1，其他运算和分析与简化前相同.简易算法的运算量主要集中在求解V、伪逆和特征分解上，约为C2=K（N+1）（2O+K）+KO（K-O）+0（O3）+20（K3）（22）为保证估计精度，一般N和O的取值远大于K，则简化后与简化前运算量之比约为!

K（N+1）（2O+K）+KO（K-O）+0（O3）4O2（N-O+1）+KO（O+2K）+0（9O3）（23）显然运算量有所降低，降低程度视各参数的取值.3计算机仿真设待估计信号频率fmax=500MHZ，延迟!

=1IS，采样率FS=200MHZ.两次实验中采样快拍数N=64，并取O=20.基于以上参数设置可知：

DFT频率分辨力为3.125MHZ；式（11）搜索仅进行3次；若取O