平面向量典型例题.docx
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平面向量典型例题
平面向量经典例题：
1.已知向量a＝（1,2），b＝（2,0），若向量λa＋b与向量c＝（1，－2）共线，则实数λ等于（ ）
A．－2 B．－
C．－1D．－
[答案] C
[解析] λa＋b＝（λ，2λ）＋（2,0）＝（2＋λ，2λ），∵λa＋b与c共线，∴－2（2＋λ）－2λ＝0，∴λ＝－1.
2.（文）已知向量a＝（
，1），b＝（0,1），c＝（k，
），若a＋2b与c垂直，则k＝（ ）
A．－1B．－
C．－3D．1
[答案] C
[解析] a＋2b＝（
，1）＋（0,2）＝（
，3），
∵a＋2b与c垂直，∴（a＋2b）·c＝
k＋3
＝0，∴k＝－3.
（理）已知a＝（1,2），b＝（3，－1），且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为（ ）
A．－
B．－
C.
D.
[答案] C
[解析] a＋b＝（4,1），a－λb＝（1－3λ，2＋λ），
∵a＋b与a－λb垂直，
∴（a＋b）·（a－λb）＝4（1－3λ）＋1×（2＋λ）＝6－11λ＝0，∴λ＝
.
3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为（ ）
A．150°B．120°
C．60°D．30°
[答案] B
[解析] 如图，在▱ABCD中，
∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.
（理）向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝
，a与b的夹角为60°，则|b|＝（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] A
[解析] ∵|a－b|＝
，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝
，∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，
设|b|＝x，则1＋x2－x＝
，∵x>0，∴x＝
.
4.若
·
＋
2＝0，则△ABC必定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
[答案] B
[解析]
·
＋
2＝
·（
＋
）＝
·
＝0，∴
⊥
，
∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形．
5.若向量a＝（1,1），b＝（1，－1），c＝（－2,4），则用a，b表示c为（ ）
A．－a＋3bB．a－3b
C．3a－bD．－3a＋b
[答案] B
[解析] 设c＝λa＋μb，则（－2,4）＝（λ＋μ，λ－μ），
∴
，∴
，∴c＝a－3b，故选B.
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若
＝a，
＝b，则
等于（ ）
A.
a＋
bB.
a＋
b
C.
a＋
bD.
a＋
b
[答案] B
[解析] ∵E为OD的中点，∴
＝3
，
∵DF∥AB，∴
＝
，
∴|DF|＝
|AB|，∴|CF|＝
|AB|＝
|CD|，
∴
＝
＋
＝
＋
＝a＋
（
－
）＝a＋
（
b－
a）＝
a＋
b.
6.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则
·
的值为（ ）
A．19B．14
C．－18D．－19
[答案] D
[解析] 据已知得cosB＝
＝
，故
·
＝|
|×|
|×（－cosB）＝7×5×
＝－19.
7.若向量a＝（x－1,2），b＝（4，y）相互垂直，则9x＋3y的最小值为（ ）
A．12B．2
C．3
D．6
[答案] D
[解析] a·b＝4（x－1）＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2
＝6，等号在x＝
，y＝1时成立．
8.若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得x2
＋x
＋
＝0，实数x为（ ）
A．－1B．0
C.
D.
[答案] A
[解析] x2
＋x
＋
－
＝0，∴x2
＋（x－1）
＋
＝0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1－x－x2＝1，∴x＝0或－1，当x＝0时，
＝0，与条件矛盾，∴x＝－1.
9.（文）已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则
·（
＋
）（ ）
A．最大值为8B．最小值为2
C．是定值6D．与P的位置有关
[答案] C
[解析] 以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B（－1,0），C（1,0），A（0，
），
＋
＝（－1，－
）＋（1，－
）＝（0，－2
），
设P（x,0），－1≤x≤1，则
＝（x，－
），
∴
·（
＋
）＝（x，－
）·（0，－2
）＝6，故选C.
（理）在△ABC中，D为BC边中点，若∠A＝120°，
·
＝－1，则|
|的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] ∵∠A＝120°，
·
＝－1，∴|
|·|
|·cos120°＝－1，
∴|
|·|
|＝2，∴|
|2＋|
|2≥2|
|·|
|＝4，∵D为BC边的中点，
∴
＝
（
＋
），∴|
|2＝
（|
|2＋|
|2＋2
·
）＝
（|
|2＋|
|2－2）≥
（4－2）＝
，
∴|
|≥
.
10.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中
＝
，
＝
，
＝λ
，则λ的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] A
[解析] 如图，取CD的三等分点M、N，BC的中点Q，则EF∥DG∥BM∥NQ，易知
＝
，∴λ＝
.
11.已知向量a＝（2,3），b＝（－1,2），若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为（ ）
A.
B．2
C．－2D．－
[答案] C
[解析] ma＋4b＝（2m－4,3m＋8），a－2b＝（4，－1），
由条件知（2m－4）·（－1）－（3m＋8）×4＝0，∴m＝－2，故选C.
12.在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足
＝2
，则
·
等于（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
[答案] B
[解析]
·
＝（
＋
）·
＝（
＋
）·
＝
·
＋
·
＝
|
|·|
|·cos45°＝
×3
×3×
＝3.
13.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则
·
＝________.
[答案]
[解析] 由条件知，|
|＝|
|＝|
|＝3，〈
，
〉＝60°，
〈
，
〉＝60°，
＝
，
∴
·
＝
·（
＋
）＝
·
＋
·
＝3×3×cos60°＋
×3×3×cos60°＝
.
14.已知向量a＝（3,4），b＝（－2,1），则a在b方向上的投影等于________．
[答案] －
。
[解析] a在b方向上的投影为
＝
＝－
.
15.已知向量a与b的夹角为
，且|a|＝1，|b|＝4，若（2a＋λb）⊥a，则实数λ＝________.
[答案] 1
[解析] ∵〈a，b〉＝
，|a|＝1，|b|＝4，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1×4×cos
＝－2，∵（2a＋λb）⊥a，∴a·（2a＋λb）＝2|a|2＋λa·b＝2－2λ＝0，∴λ＝1.
16.已知：
|
|＝1，|
|＝
，
·
＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设
＝m
＋n
（m，n∈R＋），则
＝________.
[答案] 3
[解析] 设m
＝
，n
＝
，则
＝
＋
，
∵∠AOC＝30°，∴|
|·cos30°＝|
|＝m|
|＝m，
|
|·sin30°＝|
|＝n|
|＝
n，
两式相除得：
＝
＝
＝
，∴
＝3.
17.（文）设i、j是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且
＝－2i＋j，
＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．
[答案] 5
[解析] 由条件知，i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴
·
＝（－2i＋j）·（4i＋3j）＝－8＋3＝－5，又
·
＝|
|·|
|·cos〈
，
〉＝5
cos〈
，
〉，
∴cos〈
，
〉＝－
，∴sin〈
，
〉＝
，
∴S△OAB＝
|
|·|
|·sin〈
，
〉＝
×
×5×
＝5.
（理）三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是________（只写序号）
①sinA＋cosA＝
②
·
<0 ③b＝3，c＝3
，B＝30° ④tanA＋tanB＋tanC>0.
[答案] ④
[解析] 若A为锐角，则sinA＋cosA>1，∵sinA＋cosA＝
，∴A为钝角，∵
·
<0，∴
·
>0，∴∠B为锐角，由∠B为锐角得不出△ABC为锐角三角形；由正弦定理
＝
得，
＝
，∴sinC＝
，∴C＝60°或120°，∵c·sinB＝
，3<
<3
，∴△ABC有两解，故①②③都不能得出△ABC为锐角三角形．
④由tanA＋tanB＋tanC＝tan（A＋B）（1－tanAtanB）＋tanC＝－tanC（1－tanAtanB）＋tanC＝tanAtanBtanC>0，及A、B、C∈（0，π），A＋B＋C＝π知A、B、C均为锐角，
∴△ABC为锐角三角形．
18.已知平面向量a＝（1，x），b＝（2x＋3，－x）．
（1）若a⊥b，求x的值．
（2）若a∥b，求|a－b|.
[解析]
（1）若a⊥b，
则a·b＝（1，x）·（2x＋3，－x）＝1×（2x＋3）＋x（－x）＝0，
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
（2）若a∥b，则有1×（－x）－x（2x＋3）＝0，则x（2x＋4）＝0，解得x＝0或x＝－2，
当x＝0时，a＝（1,0），b＝（3,0），
∴|a－b|＝|（1,0）－（3,0）|＝|（－2,0）|＝
＝2，
当x＝－2时，a＝（1，－2），b＝（－1,2），
∴|a－b|＝|（1，－2）－（－1,2）|＝|（2，－4）|＝
＝2
.
19.已知向量a＝（sinx，－1），b＝（
cosx，－
），函数f（x）＝（a＋b）·a－2.
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）将函数f（x）的图象向左平移
上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其对称中心坐标．
[解析]
（1）f（x）＝（a＋b）·a－2＝a2＋a·b－2＝sin2x＋1＋
sinxcosx＋
－2
＝
＋
sin2x－
＝
sin2x－
cos2x＝sin（2x－
），
∴周期T＝
＝π.
（2）向左平移
个单位得，y＝sin[2（x＋
）－
]＝sin（2x＋
），横坐标伸长为原来的3倍得，
g（x）＝sin（
x＋
），令
x＋
＝kπ得对称中心为（
－
，0），k∈Z.
20.（文）三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝（c－a，b－a），n＝（a＋b，c），若m∥n.
（1）求角B的大小；
（2）若sinA＋sinC的取值范
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