八年级初二数学平行四边形知识点总结及答案.docx
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八年级初二数学平行四边形知识点总结及答案
八年级初二数学平行四边形知识点总结及答案
一、解答题
1.如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B,D重合），GE丄DC于点E,GF±BC于点F,连结AG.
（1）写岀线段AG,GE,GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1,ZAGF=105%求线段BG的长.
2.已知：
如图，在AABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F,且AF二DC,连接CF・
（1）求证：
D是BC的中点：
（2）如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
3.如图，在矩形43CD中，ZBAD的平分线交BC于点&AE=AD,作DF丄处于点F.
（1）求证：
AB=AF,
（2）连BF并延长交DF于G.
1EG=DG：
4.如图，在平而直角坐标系中，已知-OABC的顶点A（10,0）、C（2,4）,点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动.
（1）求点3的坐标：
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为r秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求r的值；
（3〉当AODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标.
5.如图，M为正方形ABCD的对角线BD上一点•过M作3D的垂线交4D于E，连
BE.取3E中点0・
试证明ZAOM=90°：
（1）如图魚连AO.MO.
图1
（2）如图2,连接AM.AO,并延长40交对角线于点N，试探究线段
DM、MN、之间的数量关系并证明；
（3）如图3涎长对角线至0延长DB至P,连CP,CQ若PB=\PQ=9,且
ZPCQ=135°，则PC=_・（直接写出结果）
6.类比等腰三角形的泄义，我们定义：
有三条边相等的凸四边形叫做'‘准等边四边形”.
（1）已知：
如图4在“准等边四边形"ABCD中，BCHAB,BD丄CD,AB=393D=4,求BC的长：
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：
对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形.请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例：
（3）如图2,在AABC中，AB=AC=y/2>ZBAC=90°.在A3的垂直平分线上是否存在点
P，使得以久3,C,P为顶点的四边形为“准等边四边形”.若存在，请求出该“准等边四边形”的面积：
若不存在，请说明理由・
7.如图，四边形ABCD为正方形•在边AQ上取一点连接处，使ZA£B=60°・
（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：
分别以点3.C为圆心，BC长为半径作弧交正
方形内部于点连接并延长交边4D于点则ZAEB=60。
；
（2）在前而的条件下，取BE中点M,过点M的直线分别交边AB.CD于点P、Q.
①当PQ丄BE时，求证：
BP=2AP;
②当PQ=BE时，延长处，CD交于N点，猜想M2与M0的数呈关系，并说明理由.8.在正方形MCD中，连接BD,P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接AP,AP的垂直平分线交线段于点E,连接4E,PE.
提出问题：
当点卩运动时，"PE的度数是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点P的两个特殊位置：
图1
1当点P与点B重合时，如图1所示，厶APE=°
2当BP=BC时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？
直接写岀你的结论：
:
（填"变化”或"不变化"）
（2）然后考察点卩的一般位置：
依题意补全图3,图4,通过观察、测量，发现：
（1）中
①的结论在一般情况下:
（填〃成立〃或“不成立〃）
图4
（3）证明猜想：
若
（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.
9.已知，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=Scm,AC的垂直平分EF线分别交AD、BC于点E、F,垂足为0・
（i）如图1,连接AF、CE,求证：
四边形AFCE为菱形;
（2）如图2,动点P、0分别从A、C两点同时出发，沿△4阳和厶CDE*边匀速运动一周，即点P自AtFtBtA停止，点0自CtDtEtC停止.在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5c加，点0的速度为每秒4cm,运动时间为/秒，当
A、C、P、。
四点为顶点的四边形是平行四边形时，贝|"=・
2若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位:
⑷3工0）,已知4、C、P、0四点为顶
点的四边形是平行四边形，则。
与&满足的数量关系式为
上，且有ZCBE气如F.
（1）如图1，当a=b时，若ZCBE=60°>求证：
BE=BF；
3
（2）如图2,当b=-a时，
2
1请直接写岀ZABE与ZBFC的数量关系：
2当点E是4D中点时，求证：
CF+BF=2a；
3在②的条件下，请直接写出S、bcf:
S矩形肋g的值.
【参考答案】林*试卷处理标记，请不要删除
一.解答题
1.
（1）AG2=GE2+GF2,理由见解析；（2〉朋~点
6
【分析】
（1）结论：
AG2=GE2+GF2.只要证明GA二GC,四边形EGFC是矩形，推出GE二CF,在RtAGFC中，利用勾股定理即可证明;
（2）作BN丄AG于N,在BN上截取一点使得AM=BM・设AN=x.易证AM=BM=2x>MN二石x,在RtAABN中，根据AB2=AN2+BN2,可得l=x2+（2x+V3x）2,解得x=2/6-V2.推出,再根据BG=BN*cos30°即可解决问题.
44
【详解】
解:
（1）结论：
ag2=ge2+gf2.
理由：
连接CG.
•••四边形ABCD是正方形，
•••A、C关于对角线BD对称，
•・•点G在BD上，
・•・GA二GC,
VGE丄DC于点E,GF丄BC于点F,
・•・ZGEC=ZECF=ZCFG二90°,
四边形EGFC是矩形，
••・CF二GE,
在RtAGFC中，•/CG2=GF2+CF2,
・•・AG2=GF2+GE2.
（2）作BN丄AG于N,在BN上截取一点使得AM=BM.设AN=x.
•・・ZAGF=105°,ZFBG=ZFGB=ZABG二45°,
・•・ZAGB=60\ZGBN=30°,ZABM=ZMAB=15\
・•・ZAMN=30\
/.AM=BM=2x,MN二
在RtAABN中，•・・AB2=AN2+BN2,
l=x2+dx+^/Jx）2,
解得x=0三,
4
BN=〃+°,
4
BG=BN+cos30°='匹+W.
6
【点睛】
本题考查正方形的性质，矩形的判眾和性质，勾股泄理，直角三角形30度的性质.
2.
（1）见详解：
（2）四边形ADCF是矩形：
证明见详解.
【分析】
（1）可证△AFE^ADBE,得出AF=BD,进而根据AF=DC,得出D是BC中点的结论：
（2）若AB=AC,则AABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD丄BC：
而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD丄BC,则四边形ADCF是矩形.
【详解】
（1）证明:
VE是AD的中点，
・・.AE=DE.
：
・AF〃BC,
.\ZFAE=ZBDE,ZAFE=ZDBE.
在Z\AFE和ADBE中，
ZFAE=ZBDE
AE=DE
•
AAAFE^ADBE（AAS）.
・・.AF=BD.
VAF=DC,
.・.BD=DC.
即：
D是BC的中点.
（2）解：
四边形ADCF是矩形；
证明：
VAF=DC,AF〃DC,
・••四边形ADCF是平行四边形.
VAB=AC,BD=DC,
AADIBCR卩ZADC=90°.
・••平行四边形ADCF是矩形.
【点睛】
此题主要考査了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用.解题的关键是熟练掌握矩形的判泄方法，以及全等三角形的判泄和性质进行证明.
3.⑴见解析：
（2）①见解析：
②2忑+2
【分析】
（1）根据矩形的性质，结合角平分线的左义可证明△ABE^AAFD（AAS）,进而证得结论：
（2）①通过求解/.ZEFG=ZAED=67.5%ZDFG=ZFDG=22.5°,进而可得EG=FG=DG；
2AB=x,则AE=^x,DF=AF=x,EF=^x-x,利用勾股定理可求解x值，再根据矩形ABCD的面积二ZkAED而积的2倍可求解.
【详解】
解:
（1）证明：
•・•四边形ABCD为矩形，
•••AD〃BC,ZDAB=ZABE=90%
AZDAE=ZAEB,
VAE平分ZBAD,
AZBAE=ZDAE=45\
.\ZBAE=ZAEB=45°,
•••AB二EB,
VDF1AC
•••ZAFD二90。
，
•\ZABE=ZAFD=90\
VAE=AD,
AAABE^AAFD（AAS）,
AAB=AF；
（2）①证明：
VAE=AD,ZEAD=45%
•••ZAED=ZADE=67.5%
/•ZFDG=22.5°,
TAB二AF,ZBAF=45\
•••ZAFB=67.5\
AZEFG=67.5\
AZEFG=ZAEDt
•••FG二EG,ZDFG=22.5\
Z.ZDFG=ZFDG,
•••FG二DG,
:
.EG=DG：
②VEG=1,
•••DG=2,
设AB=x,则AE=72x>DF=AF=x,
•••EF=©x-x,
•••（V2x-x）2+x2=22,
解得x2=2+x/2.
•••矩形ABCD的而积=2x-i-xAExDF=近x2=近*（2+血）=2^2+2.
【点睛】
本题主要考査勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判左，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，灵活运用定理是解题的关键.
4.
（1）B（12,4）:
（2）t=-S；（3）8.4,3,4,2.4,（二4
22
【分析】
（1）由四边形OABC是平行四边形，得到OA=BC,OA//BC,于是得到04=10,OE=^\F=2t可求出点3的坐标；
（2）根据四边形PCZM是平行四边形，得到PC=AD,即10—2/=5,解方程即可得到结论：
（3）如图2,可分三种情况：
①当PQ=OD=5时，②当PO=OD=5时，③当
PD=OP时分别讨论计算即可.
【详解】
•••四边形OABC是平行四边形，
..OA=BC,OA//BC,
•.•A，C的坐标分别为（10.0）,（2,4）,
/.OA=10»OE=AF=2,
BC=10,
.••8（12,4）；
（2）设点P运动f秒时，四边形PCD4是平行四边形，
由题意得：
PC=10-2/，
•••点£＞是04的中点，
/.ODBCAD丄OA5,
2
四边形PCD4是平行四边形，
..PC=AD,即10—2/=5，
5
f=—,
2
.••当/=丄秒时，四边形PCD4是平行四边形：
2
（3）如图2,①当“=OD=5时，过片作人£丄04于E，
则M=4,
:
DE=3、
・・・A（8.4）,
又-,-D.C的坐标分别为（5,0）,（2,4）,
:
.CD
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