河海大学学年硕士生 《数值分析》试题.docx
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河海大学学年硕士生《数值分析》试题
河海大学2015-2016学年硕士生
《数值分析》试题(A)
任课教师姓名
姓名专业学号成绩
一、填空题(每空2分,共20分)
1、若
,改变计算式
,使计算结果更为准确。
2、设
,是以
为节点的三次样条函数,则
,
。
3、已知契比雪夫多项式
,则
在
上的二次最佳一致逼近多项式是。
4、已知离散数据
,用直线
拟合这
个点,则参数
、
满足的法方程组是。
5、给定矩阵
,则
的谱半径
,
的条件数
。
6、设
,用牛顿迭代法解此方程的根
具有二阶收敛的迭代格式为,求根
具有二阶收敛的迭代格式为。
7、如果求解常微分方程初值问题的显式单步法局部截断误差是
,则称此单步法具有阶精度。
《数值分析》2015级(A)第1页共6页
二、(本题10分)
已知数据表
0
1
2
3
0
-5
-6
3
(1)求f(x)的三次Lagrange(拉格朗日)插值多项式;
(2)计算差商表,并写出三次Newton(牛顿)插值多项式。
三、(本题8分)
在区间
上给定函数
,求其在
中关于权函数
的二次最佳平方逼近多项式。
可用勒让德多项式
,
,
《数值分析》2015级(A)第2页共6页
四、(本题10分)
用下列方法计算积分
。
(1)龙贝格求积公式(要求二分三次);
(2)已知三次勒让德多项式
,用三点高斯-勒让德公式计算上述积分。
五、(本题8分)
知方阵
,
试用Doolittle(杜利特尔)分解法解此线性方程组。
《数值分析》2015级(A)第3页共6页
六、(本题10分)
把下面的线性方程组化为等价的线性方程组,使之应用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法均收敛,写出变化后的线性方程组及雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式(分量形式),并说明收敛的理由。
七、(本题10分)
已知方程
。
分析方程存在几个实根;用迭代法求出这些根;证明所用的迭代法是收敛的。
《数值分析》2015级(A)第4页共6页
八、(本题8分)
写出规范化的幂法公式,并用此公式求矩阵
的主特征值及对应的特征向量,取初始向量
,写出迭代两步的结果(计算结果保留到小数后第四位)。
九、(本题8分)
给定常微分方程初值问题
写出改进欧拉公式,并用此公式计算
在
和
处的近似值,取步长
,计算结果保留
位有效数字。
《数值分析》2015级(A)第5页共6页
十、(本题8分)
给定线性方程组
,其中
,
,用迭代公式
求解
,试证明
时迭代公式收敛。
《数值分析》2015级(A)第6页共6页
河海大学2015-2016学年硕士生
《数值分析》试题(B)
任课教师姓名
姓名专业学号成绩
一、填空题(每空2分,共20分)
1、如果求解常微分方程初值问题的显式单步法局部截断误差是
,则称此单步法具有阶精度。
2、若
,改变计算式
,使计算结果更为准确。
3、设
,是以
为节点的三次样条函数,则
,
。
4、设
,用牛顿迭代法解此方程的根
具有二阶收敛的迭代格式为,求根
具有二阶收敛的迭代格式为。
5、已知契比雪夫多项式
,则
在
上的二次最佳一致逼近多项式是。
6、给定矩阵
,则
的谱半径
,
的条件数
。
7、已知离散数据
,用直线
拟合这
个点,则参数
、
满足的法方程组是。
《数值分析》2015级(B)第1页共6页
二、(本题8分)
知方阵
,
试用Doolittle(杜利特尔)分解法解此线性方程组。
三、(本题10分)
把下面的线性方程组化为等价的线性方程组,使之应用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法均收敛,写出变化后的线性方程组及雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式(分量形式),并说明收敛的理由,并取初始向量
分别计算出迭代2次后的结果
(计算过程保留小数点后四位小数)。
《数值分析》2015级(B)第2页共6页
四、(本题8分)
在区间
上给定函数
,求其在
中关于权函数
的二次最佳平方逼近多项式。
可用勒让德多项式
,
,
五、(本题10分)
用下列方法计算积分
。
(1)龙贝格求积公式(要求二分三次);
(2)已知三次勒让德多项式
,用三点高斯-勒让德公式计算上述积分。
《数值分析》2015级(B)第3页共6页
六、(本题10分)
已知数据表
0
1
2
3
0
-5
-6
3
(1)求f(x)的三次Lagrange(拉格朗日)插值多项式;
(2)计算差商表,并写出三次Newton(牛顿)插值多项式。
七、(本题8分)
给定常微分方程初值问题
写出改进欧拉公式,并用此公式计算
在
和
处的近似值,取步长
,计算结果保留
位有效数字。
《数值分析》2015级(B)第4页共6页
八、(本题8分)
写出规范化的幂法公式,并用此公式求矩阵
的主特征值及对应的特征向量,取初始向量
,写出迭代两步的结果(计算结果保留到小数后第四位)。
九、(本题10分)
已知方程
。
分析方程存在几个实根;用迭代法求出这些根;证明所用的迭代法是收敛的。
《数值分析》2015级(B)第5页共6页
十、(本题8分)
给定线性方程组
,其中
,
,用迭代公式
求解
,试证明
时迭代公式收敛。
《数值分析》2015级(B)第6页共6页