高考数学函数知识点归纳总结.docx
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高考数学函数知识点归纳总结
一、函数的概念与表示
1、映射:
设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的
元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：
A→B。
注意点:
判断一个对应是映射的方法:
可多对一，不可一对多，都有象，象唯一.
2、函数:
如果A,B都是非空的数集，那么A到B的映射f：
AB就叫做A到B的函数，记作yf（x）,其中xA,yB.原像的集合A叫做函数yf（x）的定义域.由所有象f（x）构成的集合叫做yf（x）的值域，显然值域是集合B的子集.
构成函数概念的三要素:
①定义域（x的取值范围）②对应法则（f）③值域（y的取值范围）两个函数是同一个函数的条件：
定义域和对应关系完全一致.
二、函数的定义域、解析式与值域
1、求函数定义域的主要依据：
（1）整式的定义域是全体实数；
（2）分式的分母不为零；
（3）偶次方根的被开方数大于等于零；
（4）零取零次方没有意义（零指数幂的底数不为0）；
（5）对数函数的真数必须大于零；
（6）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
（7）若函数yf（x）是一个多项式，需要求出各单项式的定义域，然后取各部分结果的交集；（8）复合函数的定义域：
若已知f（x）的定义域[a,b]，求复合函数f（g（x））的定义域，相当于求使g（x）[a,b]时x的取值范围；
若已知复合函数f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域，相当于求g（x）的值域.
2求函数值域的方法
1直接法：
从自变量x的范围出发，推出y=f（x）的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：
利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合yaxbcxd的形式；
y的取值范围；适合分子或分母为二次且x∈R的分式；
bx的形式可直接用不等式性质；y2bx可先化简再用均ax2mxn
4分离常数：
适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；
5单调性法：
利用函数的单调性求值域；
6图象法：
1.二次函数必画草图求其值域；在给定区间上求最值有两类：
闭区间a,b上的最值；
求区间动（定），对称轴定（动）的最值问题；
注意“两看”：
一看开口，二看对称轴与给定区间的位置关系.
2.注意yaxb（a0,b0）型函数的图像在单调性中的应用：
增区间为（,b］，［b,），减区间
xaa
1
7利用对号函数：
yx（如右图）；
x
8
.主要是含绝对值函数
几何意义法：
由数形结合，转化距离等求值域
三．函数的奇偶性
1．定义:
设y=f（x），x∈A，如果对于任意
∈A，都有f（x）f（x），则称y=f（x）为偶函数.
如果对于任意x∈A，都有f（x）f（x），则称y=f（x）为奇函数.
2.性质：
①y=f（x）
②若函数
③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇［两函数的定义域D1，D2，3．奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称;②看f（x）与f（-x）的关系或观察函数图像的对称关系；4，复合函数的奇偶性：
“内偶则偶，内奇同外”
四、函数的单调性
作用：
比较大小，解不等式，求最值.
是偶函数y=f（x）的图象关于y轴对称,y=f（x）是奇函数y=f（x）f（x）的定义域关于原点对称，则f（0）=0;
的图象关于原点对称;
D1∩D2要关于原点对称］
x1,x2，当x1x2时，都有
1、函数单调性的定义：
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值
f（x1）fx2f（x1）fx2，那么就称函数
f（x）在区间D上是增函数（减函数）
，区间D叫yf（x）的单
调区间.图像特点：
增函数：
从左到右上升（
从左到右下降（
减函数：
2.判断单调性方法：
①定义法
y随x的增大而增大或减小而减小）y随x的增大而减小或减小而增大）（x1x2）f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）0
x1x2
f（x）在a,b上是增函数；
（x1x2）f（x1）f（x2）0
f（x1）f（x2）0f（x）在a,b上是减函数.
x1x2
2
观察法：
根据特殊函数图像特点；
（i）当f（x）和g（x）具有相同的增减性时，
①F1（x）f（x）g（x）的增减性与f（x），g（x）相同，
②F2（x）f（x）g（x）、F3（x）f（x）g（x）、F4（x）f（x）（g（x）0）的增减性不能确定；g（x）
（ii）当f（x）和g（x）具有相异的增减性时，我们假设f（x）为增函数，g（x）为减函数，那么：
①F1（x）f（x）g（x）的增减性不能确定；
②F3（x）f（x）g（x）、F4（x）f（x）（g（x）0）为增函数；F5（x）g（x）（f（x）0）为减函数.
g（x）f（x）
3.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
4.复合函数单调性的确定（同增异减）：
yfgx是定义在M上的函数，若f（x）与g（x）的单调性相反，则
yfgx在M上是减函数；若f（x）与g（x）的单调性相同，则yfgx在M上是增函数.五、函数的对称性函数
yf（x）的图象的对称性（自身）
1.函数y
ab
f（x）的图象关于直xab对称
2
f（ax）
f（bx）
f（a
bx）f（x）
特殊的有：
①函数yf（x）的图象关于直线x
a对称
f（ax）
f（a
x）f（2ax）f
②函数y
f（x）的图象关于y轴对称（奇函数）
f（
x）f（x）;
③函数y
f（xa）是偶函数f（x）关于x
a对称;
2.函数y
f（x）的图象关于点（a,b）对称f（x）2bf（2ax）
f（a
x）f（ax）2b.
特殊的有：
①函数
yf（x）的图象关于点（a,0）对称
f（x）
f（2ax）
f（x）
f（2ax）0;
②函数
yf（x）的图象关于原点对称（奇函数）
f（x）
f（x）;
③函数
yf（xa）是奇函数f（x）关于点a,0
对称.
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称.
两个函数图象的对称性:
①函数yf（x）与函数yf（x）的图象关于直线x0（即y轴）对称;ab
②函数yf（mxa）与函数yf（bmx）的图象关于直线xab对称2m
特殊地:
yf（xa）与函数yf（ax）的图象关于直线xa对称;
3函数yf（x）的图象关于直线xa对称的解析式为yf（2ax）;
④函数yf（x）的图象关于点（a,0）对称的解析式为yf（2ax）;
⑤函数y
f（x）与ax
f（a
y）的图像关于直线
x
y
a成轴对称
函数y
f（x）与xa
f（y
a）的图像关于直线
x-
y
a成轴对称
函数y
f（x）的图像与
x=f（y）
的图像关于直线
x
y
成轴对称.
六．函数的周期性：
1．定义
若f（xT）
f（x）（T
0）f（x）是周期函数，
T是它的一个周期
说明：
nT也是f（x）的周期。
推广：
若f（xa）f（xb），则f（x）是周期函数，ba是它的一个周期
结论1：
如果f（xa）f（xb）（ab），那么f（x）是周期函数，其中一个周期Tab
结论2：
如果f（xa）f（xb）（ab），那么f（x）是周期函数，其中一个周期T2ab
结论3：
如果定义在R上的函数f（x）有两条对称轴xa、xb对称，那么f（x）是周期函数，其中一个周期T2ab
结论4：
如果偶函数f（x）的图像关于直线xa（a0）对称，那么f（x）是周期函数，其中一个周期T2a
结论5：
如果奇函数f（x）的图像关于直线xa（a0）对称，那么f（x）是周期函数，其中一个周期T4a
结论6：
如果函数同时关于两点a,c、b,c（ab）成中心对称，那么f（x）是周期函数，其中一个周期
T2ab
结论7：
如果奇函数f（x）关于点a,c（a0）成中心对称，那么f（x）是周期函数，其中一个周期T2a结论8：
如果函数f（x）的图像关于点a,c（a0）成中心对称，且关于直线xb（ab）成轴对称，那么f（x）是周期函数，其中一个周期T4ab
11
结论9：
如果f（xp）或f（xp），那么f（x）是周期函数，其中一个周期T2p
f（x）f（x）
结论10：
如果f（xp）1f（x）或f（xp）1f（x），那么f（x）是周期函数，其中一个周期T2p
21f（x）21f（x）
结论11：
如果f（xp）f（x），那么f（x）是周期函数，其中一个周期T2p
七、反函数
1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；
2、求反函数的步骤
（1）解
（2）换（3）写定义域。
3、关于反函数的性质
（1）y=f（x）和y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称；
（2）y=f（x）和y=f-1（x）具有相同的单调性；
（3）已知y=f（x），求f-1（a），可利用f（x）=a，从中求出x，即是f-1（a）；
（4）f-1[f（x）]=x;
（5）若点（a,b）在y=f（x）的图象上，则（b,a）在y=f--1（x）的图象上；
--1
（6）y=f（x）的图象与其反函数y=f（x）的图象的交点一定在直线y=x上;
八．二次函数（涉及二次函数问题必画图分析）
a0，开口向上，a0，开口向下
2．二次函数与一元二次方程关系
二次函数
△情况
一元二次不等式解集
2
Y=ax2+bx+c（a>0）
△=b2-4ac
2
ax2+bx+c>0（a>0）
2
ax2+bx+c<0（a>0）
图象与解
△>0
xxx1或xx2
xx1xx2
△=0
xxx0
△<0
R
九、指数式
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