中考复习讲义三种构造辅助圆解题的模型.docx

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中考复习讲义三种构造辅助圆解题的模型

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三种构造辅助圆解题的模型

一、问题导读

“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：

三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。

二、典例精析

类型1　根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆

1.如图，已知＝＝，且∠＝k∠，则∠是∠的（　　）

A．2倍B．k倍C．2kD．1

【分析】由＝＝，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，则∠＝2∠，∠＝2∠，而∠＝k∠，即可得到∠＝k∠．

【解答】∵＝＝，∴A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，

∴∠＝2∠，∠＝2∠，

而∠＝k∠，即2∠＝k2∠，∴∠＝k∠．故选：

B．

2.如图，在△中，∠C＝90°，＝6，＝8，点F在边上，并且＝2，点E为边上的动点，将△沿直线翻折，点C落在点P处，则点P到边距离的最小值是（　　）

A．1.5B．1.2C．2.4D．以上都不对

【分析】先依据勾股定理求得的长，然后依据翻折的性质可知＝，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当⊥时，点P到的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．

【解答】如图所示：

当∥．

在△中，∵∠C＝90°，＝6，＝8，∴由勾股定理可求得＝10，

由翻折的性质可知：

＝＝2，∠＝∠C＝90°．

∵∥，∴∠＝90°．由垂线段最短可知此时有最小值．

又∵为定值，∴有最小值．

又∵∠A＝∠A，∠＝∠，∴△∽△．

∴，即4/108，解得：

＝3.2．

∴＝﹣＝3.2﹣2＝1.2．故选：

B．

3.如图2所示,在凸四边形中,∠80°,则∠的度数为度　　

【解析】∵＝＝，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，

∴∠1/2∠,∠1/2∠,

∵∠∠+∠=80°,

∴∠∠1/2∠1/2∠1/2（∠∠）=1/2×80°=40°,

∴∠＝180°﹣（∠∠）＝180°﹣40°＝140°．

故答案为：

140．

4.如图，在四边形中，＝＝，若∠＝25°，∠＝75°，则∠＝　　度，∠＝度．

【解析】法一：

∵＝＝，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，

∵∠＝25°，∴∠＝1/2∠＝12.5°，

∵∠＝75°，∴∠＝1/2∠＝37.5°．

故答案为：

12.5，37.5．

法二：

∵＝＝，

∴∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，

∵∠＝25°，∠＝75°，

∴∠＝（180°﹣25°）÷2＝77.5°，∠＝∠∠＝100°，

∠＝∠＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°，

∴∠＝（180°﹣100°）÷2＝40°，

∴∠＝∠﹣∠＝52.5°﹣40°＝12.5°，

∠＝∠∠＝52.5°+77.5°＝130°，

∴∠＝180°﹣∠﹣∠＝180°﹣130°﹣12.5°＝37.5°．

∴∠＝12.5°，∠＝37.5°．

类型2直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题

5.如图所示，矩形与矩形全等，点在一条直线上，∠的顶点P在线段上移动，使得∠为直角的点P的个数是个．

【分析】∵∠的顶点P在线段上移动，且∠为直角，∴点P也在以为直径的⊙O的圆上运动；∴以为直径作⊙O，⊙O与的交点即为所求．

【解答】∵点在一条直线上，∠的顶点P在线段上移动，∠为直角，∴点P在以为直径的⊙O的圆上运动，∴点P就是⊙O与的交点，由图示知，与⊙O有2个交点．故答案为：

2．

【点评】本题主要考查了圆周角定理：

直径所对的圆周角是直角．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．

6.已知：

如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，＝6，C、D两点在直尺的另一条边上．若∠＝∠＝90°，则C、D两点之间的距离为．

【分析】由∠＝∠＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D在以为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为中点，可得是半径为3，然后作⊥交于F，根据垂径定理可得：

＝2，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案．

【解答】设E为中点，∵∠＝∠＝90°，∴A，B，C，D在以为直径的圆上，

连接，，则＝＝1/2＝3，作⊥交于F，∴＝2，

∵∥，∴＝2，在△和△中，＝√5，∴＝2√5．故答案为：

2√5．

【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识．此题拿度适中，解题的关键是由∠＝∠＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D在以为直径的圆上．

7.已知△中，＝5，＝12，∠＝90°，P是边上的动点（与点A、B不重合），Q是边上的动点（与点B、C不重合）

（1）如图，当∥，且Q为的中点时，求线段的长；

（2）当与不平行时，△可能为直角三角形吗？

若有可能，请求出线段的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

【分析】

（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段的长，只需根据勾股定理求得的长．

（2）若与不平行，则要使△成为直角三角形．只需保证∠＝90°．根据直径所对的圆周角是直角，则分析以为直径的圆和斜边的公共点的情况：

一是半圆和相切；二是半圆和相交．首先求得相切时的值，即可进一步求得相交时的范围．

【解答】

（1）在△中∠＝90°，＝5，＝12，∴＝13；

∵Q是的中点，∴＝；

又∵∥，∴＝，即P是的中点，∴△中，＝13/2．

（2）当与不平行时，只有∠为直角，△才可能是直角三角形．

以为直径作半圆D，

①当半圆D与相切时，设切点为M，连接，则

⊥，且＝＝5，∴＝﹣＝13﹣5＝8；

设＝x，则＝x，＝12﹣x；

在△中，＝，

即（12﹣x）＝8，解之得x＝10/3，∴＝2x＝20/3；

即当＝20/3且点P运动到切点M位置时，△为直角三角形．

②当20/3＜＜12时，半圆D与直线有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△为直角三角形

③当0＜＜20/3时，半圆D与直线相离，即点P在边上运动时，均在半圆D外，∠＜90°，此时△不可能为直角三角形．

∴当20/3≤＜12时，△可能为直角三角形．

8.已知平面直角坐标系中两定点A（-1,0）（4,0）,抛物线2过点,顶点为C,点P（）为抛物线上一点,其中n<0.

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标;

（2）当∠为钝角时,求m的取值范围.

【分析】

（1）利用待定系数法求出解析式，再利用x＝0得出y的值即可得出C点坐标．

（2）因为为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠为钝角，进而得出m的取值范围；]

解:

（1）

（1）∵抛物线y＝﹣2（a≠0）过点A，B，

∴2=0,1642=0，解得：

1/2,3/2，

∴抛物线的解析式为：

y＝1/2x﹣3/2x﹣2，

当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2）；

（2）∵A（-1,0）（4,0）,抛物线与y轴的交点D的坐标为（02）,

如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M（3/2,0）,

∵1+2=5（4+1）=254+2=16+4=20,则,

由勾股定理的逆定理,知△是直角三角形,∠90°,以M为圆心,以为半径作圆,则☉M经过点D,则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠为钝角,

根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为（32）,

则满足条件的m的取值范围为1

类型3　四点共圆模型

（1）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；

（2）动点对定线段所张的角为定值.

9.如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠达到最大时，直接写出此时点P的坐标．

【解析】当以为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．当以为弦的圆与x轴正半轴相切时，作⊥y轴，连接、．

∵A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），

10.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠＝45°时，点C的坐标为．

【分析】如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．

注意点C有两个．

【解答】设线段的中点为E，∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴＝10，E（﹣1，0）．

（1）如答图1所示，过点E在第二象限作⊥，且＝1/2＝5，则易知△为等腰直角三角形，∠＝90°，＝＝5√2；

以点P为圆心，（或）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，

∵∠为⊙P的圆周角，∴∠＝1/2∠＝45°，即则点C即为所求．

过点P作⊥y轴于点F，则＝＝5，＝1，

在△中，＝1，＝5√2，由勾股定理得：

＝7，

∴＝＝5+7＝12，

∴点C坐标为（0，12）；

（2）如答图2所示，在第3象限可以参照

（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．

综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．

故答案为：

（0，12）或（0，﹣12）．

【点评】本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．

11.已知△是等腰直角三角形，＝＝2，D是边上一中点，将△绕C逆时针向旋α得到△，其点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．与交于点M；当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．

【分析】先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠＝∠＝45°，即可推出点M在以为直径的⊙O上，运动路径是弧，利用弧长公式即可解决问题．

【解答】∵＝，＝，∴∠＝∠，∠＝∠

∵∠＝∠，∴∠＝∠，

∵2∠∠＝180°，2∠∠＝180°，∴∠＝∠，

∴A、D、M、C四点共圆，∴∠＝∠＝45°，∴∠＝180°﹣∠＝135°．

（补充：

不用四点共圆的方法：

由△∽△，推出△∽△，推出∠＝∠，即可证明∠＝∠∠＝∠∠＝∠＝45°）

∵O是中点，连接、．∵＝，＝，

∴⊥，∴∠＝90°，

∵A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，

点M在以为直径的⊙O上，运动路径是弧，

【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．

三、总结提升

圆是我们初中阶段学习的唯一一个曲线图形，除了它本身的基本性质和计算常被考察到以外，还可以用作辅助线。

除了我们已知一条线段进行等腰三角形和直角三角形所使用的“两圆一垂”和“两垂一圆”以外，在涉及到一些动点相关的最值问题时，也特别常用，这时候我们需要的圆并不存在（有时题设中没有涉及圆；有时题目中虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，画出来。

上面讲述了常见的可以添加辅助圆的方法，具体归纳如下：

1．利用圆的定义添补辅助圆

到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．简而言之，就是三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆。

2．作三角形的外接圆

任意不在同一直线上的三点共圆，但是我们最常见到的确实是利用圆周角定理的推论，直角三角形在以斜边为直径的圆上。

3．四点共圆

（1）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．这是由书上圆内接四边形对角互补的性质拓展出来的一个应用