函数专题一导数单调性极值最值的直接应用教师版doc.docx

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函数专题一导数单调性极值最值的直接应用教师版doc

函数专题一、导数单调性・极值、最值的直接应用

1.（最值应用）

设函数f（x）=px-^-2\nxf且/（£）=*—£—2,其中幺是自然对数的底数.

⑴求〃与q的关系；

⑵若/（X）在其定义域内为单调函数，求〃的取值范围；

⑶设g（X）=—,若在［1划上至少存在一点兀°,使得/（X0）>g（X0）成立，求实数P的取

值范围.

解：

（1）由题意得f（e）=pe_鱼_2\ne=qe_E_2n（p_q）（e—）=0

eee

而e+-^o,所以卩、q的关系为p=q.

（2）由

（1）知/'（x）=px-—-2\x\x=px-—-2\x\x>

/'（x）=p+£-@=Px_2x+p令h（x）=〃疋_2兀+p,

要使/（兀）在其定义域（0?

+oo）内单调，只需/2（x）>0或加X）50恒成立.

■2x

1当〃=0时，h（x）=-2x,因为X>0,所以/?

（X）<0,f（x）=一一<0,

・・・/（X）在（0?

+oo）内是单调递减函数，即p二0适合题意：

2当P>0时，h（x）=px2-2x+P,方（兀）min=P，

只需p—no,即pni时力（X）>o,/（%）>o,

・・・/（X）在（0,+oo）内为单调递增函数，故Pn1适合题意.

3当"<0时，h（x）=px2_2x+p,其图像为开口向下的抛物线，对称轴为

X二丄g（0,+oo）,只要A（0）<0,即p<0时，A（x）<0在（0,+oo）恒成立，故"<0适合P

题意.

综上所述，P的取值范围为p>\^p<0・

（3）・.・g（x）=—在［l,e］上是减函数,

・・・X之时,g（x）min=2；x=l时,g（x）n涿=2s即g（x）w［2,2可，

1当pSO吋，由

（2）知/（x）在［l,e］±递减=>/（x）^=/（I）=0<2,不合题意;

2当0VPV1时，由xex-—>0,

又由

（2）知当p=l时,f（x）在［l,e］上是增函数,

f（x）=p（x—）—21n兀5x21nx5w2Inc2<2,不合题意；

xxee

3当phi时,由

（2）知/（兀）在［l,e］±是增函数,/

（1）=0<2,又g（x）在［l,e］上是减

函数，故只需/⑴叭>g（x）min，兀"“］，而f（^）max=f（C）=-2111,

］4c

gdhin",即p（e——）-21ne>2,解得,

e-1

综上，P的取值范围是（-^,+oo）.

e^-1

（1）设两曲线尹=/（x）与尹=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a>09试建立b关于Q的函数关系式，并求b的最大值;

⑵若bG[0,2],h（x）=/（x）+g（x）-（2a一b）x在（0,4）上为单调函数，求。

的取值范围。

解：

（I〉设，二/（X>与，=>0）在公共点（工。

2.）处的切线相同.十《乂〉n壬+2a,g'（_r）=西-・由题意知f°）=»y7（jr0>=g）

焼得a战jcq=—3a（舍去•）6——3aJInaCa>0）.

■Sa—GaZna—#—2a（l—3bta）.

y三二>0网V•<』03V0口｛；三二v0曲7>丿

可-6Ce*）■寺』7分

（H>V（X）■JC十乎一6依a0値成立

1当V（x）<0时•・+弓一bV0ZaX+^Cd

FW［0.2］■只需工+学VQVxG（0.4）•••“不寻在

•"W〔0.2］・只■工+乎鼻ZA3ae>x（2-x）恒成立

⑴当a>0时，判断几对在定义域上的单调性；

⑵欷兀）在［1,可上的最小值为于，求d的值.

解：

⑴由题得Ax）的定义域为（0,十8）,且厂（力=丄+电=兀；°.

Xx~X

•・・a>0,・••厂（x）>0,故/（x）在（0,+°o）上是单调递增函数.

x+a

⑵由⑴可知：

f\x）=―,

1若gM—1,贝iJx+«>0,即厂⑴$0在［1,可上恒成立，此吋心）在［1,可上为增函数,

・・JWmin=/（l）=-G=T，•*•«=—T（舍去）.

2若aW-s贝iJx+aWO,即厂（x）W0在［1,可上恒成立，此时心）在［1,可上为减函数,

a3ez,

.*./Wmin=A^）=l=—，••・G=—三（舍去）.

e22

3若一—1,令厂（x）=0,得兀=—a.

当1

当一avx<0时，广（x）>0,・・・沧）在（一40）上为增函数，

・；/Wmin=./{—Q）=ln（—0）+1=斗。

（I）当£二2时,求曲线尹二f（x）在点（1,/

（1））处的切线方程；

（II）求/⑴的单调区间.

解：

（I）当k=2时,f（x）=ln（l+x）—x+x1,f\x）=l+2x

1+x

3由于/（l）=ln2,=

所以曲线p=/（X）在点（1,/（I））处的切线方程为y-ln2=-（x-l）

所以,在区间（一1,0）上，广（兀）>0；在区间（0,+8）上,

故/（兀）得单调递增区间是（-1,0），单调递减区间是（0,+oo）.

当001+x~k

所以，在区间（-1,0）和（上M，+oo）上，厂⑴>0；在区间（0,字）上，/G）v0kk

i_k\-k

故/（x）得单调递增区问是（-1,0）和（^.+oo）,单调递减区问是（0，k）・

当£=1时，厂⑴=仝二故/（x）得单调递增区间是（―l,+oo）.

当£>i吋，厂（兀）=x（m）=o,得壬=上£丘（_],0）,x=0k

1+兀

I—Cl

⑵因为f（x）=lnx-ox1,

rr,..zx1ta-\ax2-x+\-a、

所以厂（兀）=一一。

+^^=,XG（0,+oQ）,

xxx

令g（x）=ax2-x+\-a.xe（0,4-co）^

（1）当a=0时,g（x）=-x+l,xE（0,+8）,

所以当xW（O,1）时，g（x）>0,此时f（x）<0,函数f（x渾调谨减

②当01>0

xE（O,1）时，g（x）>0,此时f（x）<0.函数f（x）单调谨减xS（Lgl）时，g（x）>0,此时躯）9函数f（xi单调谨减xE（Va-l,+呵时,g（x）>0,此时加9函数心）单调谨减

（2）当3工0时・由f（x）=O>

即ax2-x+l=0,解得Xi=2,x2=]/a-l

①当3二切时，x:

=x:

诈J恒成立，此时f（x）WO,函数g在（0,+«>）上

单调违濮；

6.（是一道设计巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密）

已知函数f（x）=Inx,g（x）=ex.

X+]

⑴若函数（p（x）=f⑴一一，求函数0（对的单调区间；

X-1

⑵设直线/为函数/（兀）的图象上一点A（xOff（xo））处的切线，证明：

在区间（1,+8）上存在唯一的xo,使得直线I与曲线y=g（x）相切.

zTX八\X+lyX+1//\12X+1

解：

（I）（p（x）=J（x）=lnx,0（x）=—+=—z•

x-lx-1x（x-lfx\x-iy

・・・X>0且X工1,・・・0（兀）>0・・・函数0（兀）的单调递增区间为（0,1）和（1,+oo）・

（II）Vff（x）=—‘・：

./©0）=—‘

X如

/.切线/的方程为j^-lnx0=—（x-x0）,即y=—x+lnx0-l,①

兀0兀0

设直线/与曲线y二g（Q相切于点（X,,0"）,

•:

g\x）=ex,/.eX[=—,A=-lnx0,:

rh（I）可知，（p（x）=\nx在区间（i,+oo）上递增.

结合零点存在性定理，说明方程（p（x）=0必在区间叵門上有唯一的根，这个根就是所求的唯一X。

，故结论成立.

7.（2010山东，两边分求，最小值与最大值）

已知函数f（x）=x\nx,g（x）=-x2+ax-3.

⑴求/（x）在"+2］（f>0）上的最小值;

⑵若存在兀w丄疋（幺是常数，0=2.71828…）使不等式2/（x）>g（x）成立，求实数。

的

取值范围；

⑶证明对一切xg（0,+x）,都有lnx>—成立.

eex

解：

（l）/f（x）=lnx+l,当丄］时，八⑴单调递减，

ke）

当0

当!

时,/⑴在［f,f+2］上单调递増/（吮直=/（^）=tint

tint

t>-

（2）由题意知

2xlnx>-x2+ax-3,贝【Ja<2Inx+x+—,

设A（x）=2Z/7x+x+-（x>0）则//（x）=?

当尢w[l,e]时,y（x）>O,A（x）单调递增；

所以方⑴唤=maxp-,方0»,因为存在xw-,e，使2/（x）2g（x）成立,所以,

\/max

113

A（-）=-2+-+3e,h（e）=2+e+-

eee

而/?

（-）>A（e）,故qS丄+3e-2

（III）等价证明X%r>—（XG（O,+8））

由⑴知

/（x）=x/hx（xg（0,+®o））的最小值是-丄