高数教案模板.docx

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高数教案模板

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　　高数级数的教案第7

　　5、76课时：

　　【目标与要求】

　　1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；2．熟练掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；2．掌握几何级数收敛与发散的条件。

　　【教学重点】

　　1、常数项级数收敛、发散的概念及几何级数；

　　2、级数的基本性质及收敛的必要条件。

　　【教学难点】

　　级数的基本性质及收敛的必要条件。

　　§121常数项级数的概念和性质

　　一、常数项级数的概念

　　1．常数项级数的定义

　　给定一个数列

　　u1u2u3un则由这数列构成的表达式u1u2u3un叫做常数项）无穷级数简称常数项）级数记为un即

　　n1

　　n1unu1u2u3un

　　其中第n项un叫做级数的一般项

　　2．级数的部分和作级数un的前n项和snuiu1u2u3un

　　n1i1n称为级数un的部分和

　　n1

　　3．级数敛散性定义如果级数un的部分和数列{sn}有极限s即limsns

　　n1n则称无穷级数un收敛这时极限s叫做这级数的和

　　n1并写成

　　sunu1u2u3un

　　n1如果{sn}没有极限则称无穷级数un发散

　　n1

　　余项当级数un收敛时其部分和sn是级数un的和s的近似值它们之间的差值

　　n1n1

　　rnssnun1un2叫做级数un的余项

　　n1

　　例1讨论等比级数（几何级数）

　　n0aqnaaqaq2aqn的敛散性其中a0q叫做级数的公比

　　解如果q1则部分和

　　snaaqaqaq2n1aaqnaqna

　　1q1q1qaa

　　当|q|1时因为limsn所以此时级数aqn收敛其和为

　　1q1qnn0

　　当|q|>1时因为limsn所以此时级数aqn发散

　　nn0

　　如果|q|1则当q1时snna因此级数aqn发散

　　n0

　　当q1时级数aqn成为

　　n0

　　aaaa

　　当|q|1时因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零

　　所以sn的极限不存在从而这时级数aqn也发散

　　n0a,|q|1综上所述，级数aqn1q

　　n0|q|1提醒学生一定要熟练记住上述结论！

　　例2证明级数

　　123n是发散的

　　证此级数的部分和为

　　sn123nnn（n1）

　　2显然limsn因此所给级数是发散的

　　例3判别无穷级数

　　的收敛性

　　提示un1111

　　122334n（n1）111

　　n（n1）nn

　　1二、收敛级数的基本性质

　　性质1如果级数un收敛于和s则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kun也n1n1收敛且其和为ks

　　性质2如果级数un收敛于和s则级数kun也收敛且其和为ks

　　n1n1

　　性质3如果uns则kunks

　　n1n1

　　性质4如果级数un、vn分别收敛于和s、则级数（unvn）也收敛且其和为n1n1n1s

　　性质5如果uns、vn则（unvn）s

　　n1n1n1

　　性质6

　　在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性

　　比如级数1111是收敛的

　　122334n（n1）级数100001111也是收敛的

　　122334n（n1）级数111也是收敛的

　　3445n（n1）

　　性质7如果级数un收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和n1不变

　　应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛

　　例如级数

　　（11）+（11）+收敛于零但级数1111却是发散的

　　推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散

　　级数收敛的必要条件

　　性质8如果un收敛则它的一般项un趋于零即limun0

　　n1n0

　　应注意的问题级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件

　　例

　　4证明调和级数

　　n1n123n是发散的111

　　1调和级数的敛散性也必须要记熟！

　　证：

假若级数1收敛且其和为ss是它的部分和

　　nnn1nn显然有limsns及lims2ns于是lim（s2nsn）0

　　n

　　但另一方面

　　s2nsn1111111

　　n1n22n2n2n2n21必定发散

　　n1n故lim（s2nsn）0矛盾这矛盾说明级数n小结

　　1.常数项级数及其敛散性的概念；2.常数项级数的性质；

　　教学方式及教学过程中应注意的问题

　　在教学过程中要注意常数项级数的概念以及重要性质，要结合实例，反复讲解，尤其要熟练的记住等比级数与调和级数的敛散性。

　　师生活动设计P255:

3

（2）4

（1）

（2）（3）作业P255:

3（3）；4（4）,（5）

　　第7

　　7、7

　　8、7

　　9、80、8

　　1、82课时：

　　【教学目标与要求】

　　1．熟练掌握正项级数的审敛法（比较判别法、比值判别法、根值判别法和极限判别法），熟练掌握p级数收敛与发散的条件。

2．熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

3．理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，记住绝对收敛与条件收敛的关系。

　　【教学重点】

　　1．正项级数的审敛法（比较判别法、比值判别法、根值判别法和极限判别法），熟练掌握p级数收敛与发散的条件；

　　2．交错级数的莱布尼茨判别法；3.任意项级数绝对收敛与条件收敛【教学难点】

　　1、比较判别法的极限形式；

　　2、任意项级数敛散性的判别。

　　第2高数教案设计教案设计

　　教材：

《高等数学》（第三版）上册，第一章函数与极限，第三节函数

　　的极限。

　　一、计划学时

　　本小节分为两个部分，对于初学者来说有一定的难度，所以也就分为两个学时进行教学。

第一学时：

自变量趋于有限值时函数的极限。

第二学时：

自变量趋于无穷大时函数的极限。

（本次教案主要说明第一学时的内容。

）

　　二、教材处理

　　通过第一节关于函数基本知识的学习，以及高中时已经对函数极限有过一定的学习了解与铺垫，所以就要通过一些基本的示例，来一步步引导学生接触本节的内容，并进一步学习与研究。

来扩展同学们的知识面，并易于接受新内容。

　　教学目标知识和能力目标：

　　1、通过教学过程培养学生的思维能力、运算能力、以及数学创新意识。

让你给同学们积极思考、敢于提出自己的想法。

　　2、让同学们掌握一些本节教学中所涉及的技能技巧。

　　3、通过数学知识为载体，增强学生们的逻辑思维能力，提高学习的兴趣和能力。

传达出数学的人文价值。

　　四、教学难点和重点

　　1、如何让学生较快的接受新的理念与知识，而改掉以前类似的学习中的定势与习惯性思维。

　　2、让学生们熟练的运用书中所涉及的公式与理解一些重要的定理，从而更好的做题。

　　五、教学设计

　　1、总体思路

　　先通过在黑板上写一些以前学过的相关知识的例题，让同学们到黑板上去做。

然后，对题目做一些变形，就成了本小节所学的知识，此时，就要通过一步步的引导，让同学们呢了解步骤的方法技巧。

最后，就是先要学生们自己本节的内容与规律技巧，之后，再告诉同学们本节所需要重点掌握的知识。

　　2、教学过程

（1）先让同学们大致看一下本小节内容，对本节内容有一定的了解。

（4分钟）

　　设计说明：

通过让同学们进行自主学习，对本小节内容有大志的了解，以便于学生更易于接受新知识。

（2）通过小例子让大家熟悉并初步认识一下极限的概念。

如：

问题：

当x无限接近于1的时候，函数f（x）=2x-1的取值。

解析：

问题可转化成|f（x）-1|最小取值，因为|f（x）-1|可以无限变小，也就是无限趋近于0，所以当x无限接近于1的时候，函数f（x）=2x-1的取值就是0.（5分钟）

　　设计说明：

通过引导学生们的思维，带到新的内容，培养学生们的逻辑思维能力以及发撒思维能力。

（3）由上面例子，先让同学们自己总结规律，给出定义：

设函数f（x）在某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，使得对于任意给定的正数M，总存在正数K,只要点x适合不等式0设计说明：

通过对照上面例题再给出定义，就更加便于理解与接受，同时增强同学们的概括能力与创新意识。

　　（4）根据所给的定义，举例子说明并让同学们熟悉做题的步骤。

如：

证明：

当x趋向于2时，函数f（x）=4x-7趋向于1.（步骤略）之后找一些同学到黑板上做题。

如：

证明当x趋向于x时，函数f（x）=x趋向于x.（步骤略）等一些例题。

（13分钟）

　　设计说明：

通过立体让同学们更加熟悉新的知识与步骤，掌握本节的知识技巧技能。

　　（5）给出一个推论：

函数存在极限的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。

并给出例子：

f（x）=x-1（当X0）.证明：

当x趋向于0时，f（x）的极限不存在。

（证明略）（9分钟）

　　设计说明：

既符合课本的教学要求又扩大学生们的知识面。

（6）对本节内容进行总结，提醒同学们本节的重点与难点，以及易错点，并布置相对应的课后习题（4分钟）。

　　设计说明：

使同学们透过练习，一个或多个知识点对应一道练习题，让本节课所学到的理论知识转化为实际计算能力。

　　（7）形成性总结。

课后通过作业的批改，从而发现学生中普遍存在的问题以及主要犯的错误，进行反思与总结，以便在下节课中再次强调一下易错的点以及需要特别注意的问题。

　　设计说明：

目的在于在反馈信息中发现问题，而在后续教学中及时解决，以保证教学效果最优化。

　　六、本节课的设计反思

　　本节课目的在于锻炼学生们的计算能力以及逻辑思维能力，有利于培养学生积极思考、树立创新意识。

符合课程标准的要求。

　　第3高数1.3教案高

　　等

　　数

　　学

　　第三次课

　　教学内容：

函数的极限，无穷小，无穷大教学目的：

（1）正确了解函数极限的概念，了解用（xx0）与X（x）语言验证函数极限的步骤。

（2）了解无穷小概念及其与函数极限的关系

　　（3）了解无穷小与无穷大的关系，函数的左右极限与函数极限的关系教学重点：

函数极限的定义、无穷小的概念教学难点：

函数极限的定义教学关键：

函数极限的定义教学过程：

　　一、由数列极限引入函数极限

　　根据自变量情况的不同，函数的极限分为两类：

　　（x）

（1）自变量趋于无穷大的函数的极限

（2）自变量趋于有限值的函数极限（xx0）

　　二、定义

　　1、自变量趋于有限值的函数极限（xx0）

　　定义：

设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义。

如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论多么小），总存在正数，使得当x满足不等式0|xx0|时，对应的函数值