高考数学复习考点题型专题讲解17-数列递推求通项.pdf

高考数学复习考点题型专题讲解17-数列递推求通项.pdf

《高考数学复习考点题型专题讲解17-数列递推求通项.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习考点题型专题讲解17-数列递推求通项.pdf（42页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1/42高考数学复习考点题型专题讲解高考数学复习考点题型专题讲解高考数学复习考点题型专题讲解高考数学复习考点题型专题讲解第第第第17讲讲讲讲数列递推求通项数列递推求通项数列递推求通项数列递推求通项15类类类类【题型一题型一题型一题型一】通过通过通过通过“累加法累加法累加法累加法”学通项思想学通项思想学通项思想学通项思想1：

基础型基础型基础型基础型【典例分析典例分析典例分析典例分析】已知数列已知数列已知数列已知数列na中中中中，已知已知已知已知12a=，12nnaan+=，则则则则50a等于等于等于等于（）（）（）（）A2451B2452C2449D2450【答案答案答案答案】B【详解】由12nnaan+=得：

（）121nnaan=，（）1222nnaan=，3222aa=，2121aa=，各式相加可得：

（）（）（）112121212nnnaannn=+=，又12a=，（）2212nannnn=+=+，5025005022452a=+=.故选：

B.【变式变式变式变式演练演练演练演练】1.已知数列已知数列已知数列已知数列na满足满足满足满足12a=，12nnnaa+=，则则则则9a=（）（）（）（）A510B512C1022D1024【答案答案答案答案】B【详解】由12a=,12nnnaa+=得212aa=，2322aa=，3432aa-=，112nnnaa=，以上各式相加得，（）21112122122222nnnnaa=+=+?

，所以1222nnnaa=+=，所以991252a=.故选：

B.2.已知数列已知数列已知数列已知数列an满足满足满足满足11a=，111+1nnaann+=+，nN*，求数列的通项公式求数列的通项公式求数列的通项公式求数列的通项公式an.2/42【答案答案答案答案】1nan=；【详解】

（1）111=1+nnaann，213243111111111,

（2）1223341nnaaaaaaaannn=，将以上1n个式子相加，得（）（）（）（）2132431nnaaaaaaaa+11111111+223341nn=+，即（）1112,naannNn=.（）11111112,naannNnnn=+=+=.又当n=1时，11a=也符合上式，1nan=.3.数列数列数列数列?

中中中中，?

=0,?

=?

且且且且?

=9，则则则则?

=_【答案答案答案答案】100【详解】?

=?

=?

+1?

，?

=?

+?

+?

+?

=?

1+?

1?

2+21+0=?

1?

=9，即?

1=9，解得n=100故填：

100【题型题型题型题型二二二二】通过通过通过通过“累加法累加法累加法累加法”学通项思想学通项思想学通项思想学通项思想2：

换元型与同除型换元型与同除型换元型与同除型换元型与同除型【典例分析典例分析典例分析典例分析】已知数列已知数列已知数列已知数列na满足满足满足满足：

113a=，1

（1）21nnnanan+=+，*nN，则下列说法正确的是则下列说法正确的是则下列说法正确的是则下列说法正确的是（）（）（）（）A1nnaa+B1nnaa+C数列数列数列数列na的最小项为的最小项为的最小项为的最小项为3a和和和和4aD数列数列数列数列na的最大项为的最大项为的最大项为的最大项为3a和和和和4a【答案答案答案答案】C3/42【详解】令nnbna=，则121nnbbn+=+，又113a=，所以113b=，213bb=，325bb=，?

，121nnbbn=，所以累加得（）（）213+2113+122nnnbn=，所以2+1212+nnbnannnn=，所以（）（）（）（）+13+41212+1+1+1nnnnaannnnnn=，所以当3n时，+1nnaa3n时，+1nnaa，即12345naaaaaa=?

，所以数列na的最小项为3a和4a，故选：

C.【变式变式变式变式演练演练演练演练】1.在数列在数列在数列在数列na中中中中，12a=，11ln11nnaannn+=，则则则则na=（）（）（）（）A8aB（）21lnnn+C1lnnn+D2lnnnn+【答案答案答案答案】D【详解】由题意得，11ln1nnaannnn+=+，则1ln11nnaannnn=+，121ln122nnaannnn=+，212ln211aa=+，由累加法得，112lnlnln1121naannnnn=+?

，即112ln121nannannn=+?

，则2lnnann=+，所以2lnnannn=+，故选：

D2.已知数列已知数列已知数列已知数列na满足满足满足满足132a=，112nnnnnaan=.

（1）求数列求数列求数列求数列na的通项公式的通项公式的通项公式的通项公式；

（2）设数列设数列设数列设数列na的前的前的前的前n项和为项和为项和为项和为nS，求满足求满足求满足求满足12nS，所以nS是递增数列.因为113122a=+=，225242a=+=，33327328a=+=，44417424a=+=，5555165232a=+，所以132S=，24S=，3598S=，493128S=，于是所有正整数n的取值集合为1,2,3,4.3.已知数列已知数列已知数列已知数列an满足满足满足满足a11，anan+1（）*1

（1）nnaanNnn+，则则则则a10的值是的值是的值是的值是（）A23B12C1019D52【答案答案答案答案】C解：

由11

（1）nnnnaaaann+=+可得：

111111

（1）1nnaannnn+=+，则：

101099821111111111aaaaaaaa=+?

11111191191089210+=?

，5/42则101019a=故选：

C【题型题型题型题型三三三三】通过通过通过通过“累加法累加法累加法累加法”学通项思想学通项思想学通项思想学通项思想3：

复杂复杂复杂复杂“同除换元型同除换元型同除换元型同除换元型”【典例分析典例分析典例分析典例分析】已知数列已知数列已知数列已知数列na满足满足满足满足112a=，（）11

（1）nnnnnnaaaa+=，则数列则数列则数列则数列na的通项公式的通项公式的通项公式的通项公式na=_【答案答案答案答案】（）*1nnNn+【详解】易知0na，由（）11

（1）nnnnnnaaaa+=，得111

（1）nnnnaaaann+=+，111111nnaann+=+，11111

（2）1nnnaann=当2n时，有12111112aa=，23111123aa=，111111nnaann=，将以上1n个等式相加得，111111

（2）nnnaann=又112a=，1112

（2）nnnnann+=，经验证，当1n=时符合上式，）*（1nnanNn=+【变式变式变式变式演练演练演练演练】1.已知数列已知数列已知数列已知数列na满足满足满足满足*13

（1）1（）,2nnnananNa+=，则则则则2021a=_.【答案答案答案答案】2020【详解】因为1

（1）1nnnana+=，所以1

（1）1nnnanann+=+，式子两端除以（）1nn+，整理得：

1111nnaann+=+，即1nan+为常数列.6/42因为32a=，所以31121133naan+=，所以1nan=，所以2021202112020a=.故答案为：

20202.已知数列已知数列已知数列已知数列na中中中中，12a=，（）11nnnnaaa+=+，*Nn，则则则则nan的取值范围是的取值范围是的取值范围是的取值范围是_【答案答案答案答案】）2,3【详解】由题意得，11nnnaaann+=+，即（）111nnnaann+=+，则（）1111nnaannnn+=+，即11111nnaannnn+=+，所以2111122aa=，32113223aa=，34114334aa=，11111nnaannnn=，相加得，1111naann=，故11213nannn=+=，因为函数13yx=在（）0,+?

上单调递增，且当x+时，133x，所以1233n且且且且*nN恒成立恒成立恒成立恒成立；则则则则20202021aa+=_【答案答案答案答案】32解：

由条件11nnnaaa+=及12nnnaaa+=，得1121111nnnnnnnaaaaaaa+=，10/42即211nnaa+=（1n且*nN），则（）*631nnnaanNa+=，从而知6是数列na的一个周期；由121,2aa=，及12nnnaaa+=，得345612,1,2aaaa=；故20202021aa+=4513122aa+=+=故答案为：

32.另解：

由121,2aa=，又11nnnaaa+=即11nnnaaa+=对1n且*nN，可得34567812,1,1,2,2aaaaaa=?

从而知6是数列na的一个周期；故202020214513122aaaa+=+=+=.故答案为：

323.设数列设数列设数列设数列na满足满足满足满足12a=，且对任意正整数且对任意正整数且对任意正整数且对任意正整数n，总有总有总有总有（）（）1112nnnaaa+=成立成立成立成立，则数列则数列则数列则数列na的前的前的前的前2019项的乘积为项的乘积为项的乘积为项的乘积为A12B1C2D.3【答案答案答案答案】D【详解】由题意可得：

1211nnnaaa+=+，故：

12a=，1212131aaa=+=，23221112aaa=+=，34321113aaa=+=，45142121aaaa=+=，据此可得数列na是周期为4T=的周期数列，注意到201943MOD=，且：

12341aaaa=，故数列na的前2019项的乘积为：

（）12332=.故选D.【题型题型题型题型六六六六】构造二阶等比数列型构造二阶等比数列型构造二阶等比数列型构造二阶等比数列型（待定系数型待定系数型待定系数型待定系数型）【典例分析典例分析典例分析典例分析】已知数列已知数列已知数列已知数列na满足满足满足满足：

*121（）nnaannN+=+，13a=.11/42

（1）证明数列证明数列证明数列证明数列*（）nnbannN=是等比数列是等比数列是等比数列是等比数列，并求数列并求数列并求数列并求数列na的通项的通项的通项的通项；

（2）设设设设11nnnnnaacaa+=，数列数列数列数列nc的前的前的前的前n项和为项和为项和为项和为nS，求证求证求证求证：

1nS.【答案答案答案答案】

（1）2nnan=+；

（2）略试题解析：

（1）解：

由nnban=知nnabn=+，代入得：

（）（）1121nnbnbnn+=+，化简得：

12nnbb+=，即nb是等比数列，又111312ba=，则2nnb=，进而有2nnan=+

（2）证明：

由于11111nnnnnnnaacaaaa+=，所以121223111111111111111nnnnnnScccaaaaaaaaa+=+=+=?

【变式变式变式变式演练演练演练演练】1.数列数列数列数列na满足满足满足满足112,21nnaaa+=则则则则6a=A33B32C31D34【答案答案答案答案】A【详解】数列na满足112,21nnaaa+=，112

（1）,1nnnaaa+=是以2为公比的等比数列，首项为1，得到111221.nnnnaa=+633.a=故答案为A2.已知数列已知数列已知数列已知数列na中中中中，11a=，134nnaa=+（nN且且且且2n），），），），则数列则数列则数列则数列na通项公式通项公式通项公式通项公式na为为为为（）（）（）（）A13nB132n+C32nD3n【答案答案答案答案】C【详解】由11a=，134nnaa=+知：

27a=且1232nnaa+=+（2n），而123a+=，229a+=，2na+是首项、公比都为3的等比数列，即32nna=，故选：

C12/42【题型题型题型题型七七七七】分式递推分式递推分式递推分式递推【典例分析典例分析典例分析典例分析】在数列在数列在数列在数列na中中中中，11a=，12（）2nnnaana+=+*N，则则则则22019是这个数列的第是这个数列的第是这个数列的第是这个数列的第_项项项项【答案答案答案答案】2018【分析】同取倒数，得到关于1na是等差数列；进而求得na的通项公式即可求出项数详解】由已知得11112nnaa+=+，所以1na是以111a=为首项，12d=为公差的等差数列，所以（）1111122nnna+=+=，所以21nan=+，令2212019nan=+，解得2018n=【变式变式变式变式演练演练演练演练】1.数列数列数列数列na满足满足满足满足：

113a=，且且且且*1121（,2）nnnannnNnaa+=，则数列则数列则数列则数列na的通项公式是的通项公式是的通项公式是的通项公式是na=_【答案答案答案答案】21nnan=+【详解】原等式可化简为：

112nnnnaa=+，所以数列nna为以3为首项，2公差的等差数列，则（）32121nnnna=+=，所以21nnan=.2.已知在数列已知在数列已知在数列已知在数列na中中中中，11a=，132nnnaaa+=+，则数列则数列则数列则数列na的通项公式为的通项公式为的通项公式为的通项公式为na=_.【答案答案答案答案】11231n13/42【详解】由题意，132nnnaaa+=+，取倒数得132132nnnnaaaa+=+，即111131nnaa+=+，又11120a+=，所以，数列11na+是公比为3的等比数列，故11123nna+=，所以11231nna=.故答案为：

11231n.3.已知数列已知数列已知数列已知数列na满足满足满足满足111221,

（2）311nnnaanaa=

（1）求数列求数列求数列求数列na的通项公式的通项公式的通项公式的通项公式;

（2）设数列设数列设数列设数列na的前的前的前的前n项和为项和为项和为项和为nS,用数学归纳法证明用数学归纳法证明用数学归纳法证明用数学归纳法证明:

13ln22nnSn+，且且且且202020211aa，（）（）20202021110aa，下列结论正确的是下列结论正确的是下列结论正确的是下列结论正确的是（多选题多选题多选题多选题）A20202021SSB2020202210aa，则（）（）（）220192020111aqaqa=（）40391q，又由11a，必有0q，则数列na各项均为正值，若（）（）20202021110aa，202101a，则必有01q，必有20202021SS，A正确；对于B，若202101a，则（）2202020222021110aaa=?

，可知2020T是数列nT中的最大项，C错误；对于D，易得D正确，故选：

ABD.3.已知各项均不为零的数列已知各项均不为零的数列已知各项均不为零的数列已知各项均不为零的数列na的前的前的前的前n项积项积项积项积nT满足满足满足满足111nnnnTaaa+=，则则则则nT=_，数列数列数列数列nnaT的前的前的前的前n项和项和项和项和nS=_【答案答案答案答案】11n+

（1）2nn+【详解】由111nnnnTaaa+=，得111nnnnnTaaaa+=因为10na+，所以1nnTa+=由题意知，当2n时，1nnnTaT=，所以当2n时，11nnnTTT=+，两边同时除以nT，得1111nnTT=因17/42为1111Taa=，所以112a=，11112Ta=，所以数列1nT是首项为2，公差为1的等差数列，所以11nnT=+，11nTn=+，从而11nnnaTn=+，故nnanT=，所以数列nnaT的前n项和为

（1）2nnnS+=故答案为：

11n+；

（1）2nn+.【题型题型题型题型十十十十】特殊通项特殊通项特殊通项特殊通项1：

“和和和和”型求通项型求通项型求通项型求通项【典例分析典例分析典例分析典例分析】已知数列已知数列已知数列已知数列an满足满足满足满足anan112（nN*），a22，Sn是数列是数列是数列是数列an的前的前的前的前n项和项和项和项和，则则则则S21为为为为（）A5B72C92D132【答案答案答案答案】B【解析解析解析解析】因为112nnaa+=，所以1221.2nnnnaaaa+=因此32（）,（）2nnanan=为偶数为奇数，21137=10+（）222S=，选B.【变式变式变式变式演练演练演练演练】1.知数列知数列知数列知数列na满足满足满足满足：

143（*）nnaann+=N，且且且且a1=2，则则则则na=_【答案答案答案答案】2,25,nnnann=为奇数为偶数【详解】数列an满足a1=2，an+1+an=4n-3（nN*），当n=1时，a2+a1=1，解得a2=-118/42当n2时，an+2+an+1=4n+1，an+2an=4，数列an的奇数项构成等差数列，首项为2，公差为4；偶数项构成等差数列，首项为-1，公差为4a2k1=2+4（k1）=4k2，即n为奇数时：

an=2na2k=-1+4（k1）=4k-5，即n为偶数时：

an=2n-5225nnnann=，为奇数，为偶数2.已知数列已知数列已知数列已知数列na的前的前的前的前n项和为项和为项和为项和为nS，若若若若（）2*12nnSSnn+=N，且且且且1028a=，则则则则2a=A5B10C12D16【答案答案答案答案】C【详解】由题意可得：

212nnSSn+=，（）2121nnSSn+=，两式作差可得：

（）122142nnaann+=，进一步有：

（）141246nnaann+=，-可得：

114nnaa+=，故数列的偶数项为等差数列，且公差为4，据此可得：

1024aad=+，即：

22844a=+，解得：

212a=.故选C.3.若数列若数列若数列若数列na满足满足满足满足211nnnnaakaa+=（k为常数为常数为常数为常数），），），），则称数列则称数列则称数列则称数列na为等比和数列为等比和数列为等比和数列为等比和数列，k称为公比和称为公比和称为公比和称为公比和，已知数列已知数列已知数列已知数列na是是是是以以以以3为公比和的等比和数列为公比和的等比和数列为公比和的等比和数列为公比和的等比和数列，其中其中其中其中11a=，22a=，则则则则2019a=_.【答案答案答案答案】10092解：

令1nnnaba+=，则13nnbb+=，123nnbb+=，-得：

20nnbb+=，即2=nnbb+,又2112aba=，所以3221aba=，所以（）1,2*2,21nnkbkNnk=,即（）11,2*2,21nnnkakNnka+=，所以10093201924201911232018=1212121212=2aaaaaaaaaa=iiii?

i?

19/42所以100920192a=.故答案为10092【题型题型题型题型十一十一十一十一】特殊数列特殊数列特殊数列特殊数列2：

正负相间讨论型正负相间讨论型正负相间讨论型正负相间讨论型【典例分析典例分析典例分析典例分析】已知数列已知数列已知数列已知数列na中中中中，11a=，（）*1

（1）nnnaannN+=+，则则则则20a=_.【答案答案答案答案】-9【详解】当n为奇数时，1nnaan+=，当n为偶数时，1nnnaa+=，故（）（）（）202019181721aaaaaaa=+?

（）（）（）19181716321aaaaaaa+?

（19171）（18162）19=+=?

故答案为:

-9【变式变式变式变式演练演练演练演练】1.已知数列已知数列已知数列已知数列na满足满足满足满足（）2*111

（1）2nnnaaannnN=，则则则则100a=_.【答案答案答案答案】5050【分析】【详解】因为（）2*111,

（1）2nnnaaannnN=，所以99981222100992,.100,992aaaaaa=，左右分别相加得：

22222100123499100a=+?

，（）（）222221234（99100）=+?

（12）（12）（34）（34）（99100）（99100）=+?

，123499100=+?

，100（1001）50502+=.故答案为：

50502.数列na满足2

（1）31nnnaan+=，前16项和为540，则1a=.20/42【答案答案答案答案】7【思路分析】在已知数列递推式中，分别取n为奇数与偶数，可得23

（2）1nnaan=与231nnaan+=，利用累加法得到n为奇数时na与1a的关系，求出偶数项的和，然后列式求解1a【解析】：

由2

（1）31nnnaan+=，当n为奇数时，有231nnaan+=，可得23

（2）1nnaan=，31311aa=i，累加可得11313

（2）2nnaan=+11

（2）1

（1）（35）23224nnnnn+=ii；当n为偶数时，231nnaan+=，可得425aa+=，8617aa+=，121029aa+=，161441aa+=可得241692aaa+=1315448aaa+=118（084096176280408560）4484a+=，1856a=，即17a=故答案为：

73.已知数列已知数列已知数列已知数列na满足满足满足满足（）（）11nnnaan+=+，则则则则na的前的前的前的前40项和为项和为项和为项和为_【答案答案答案答案】400【详解】（）（）11nnnaan+=+，当n为奇数时,23456391401,3,5,.,39.aaaaaaaa+=+=+=+=该数列前40项和为（）402019201

（2）4002S=+=【题型题型题型题型十二十二十二十二】特殊数列特殊数列特殊数列特殊数列3：

奇偶讨论型奇偶讨论型奇偶讨论型奇偶讨论型【典例分析典例分析典例分析典例分析】21/42已知数列已知数列已知数列已知数列na的前的前的前的前n项和为项和为项和为项和为nS，且且且且11a=，12nnnSaa+=，则则则则20S=A200B210C400D410【答案答案答案答案】B【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前n项和公式的应用求出结果【详解】由题11a=，12nnnSaa+=，又因为11aS=所以当1n=时，可解的22a=当2n时，112nnnSaa=，与12nnnSaa+=相减得112nnaa+=当n为奇数时，数列na是以1为首相，2为公差的等差数列，21nan=当n为偶数时，数列na是以2为首相，2为公差的等差数列，2nan=所以当n为正整数时，nan=，则2012320210S=+=?

。

故选B.【变式变式变式变式演练演练演练演练】1.已知数列已知数列已知数列已知数列na的首项的首项的首项的首项12a=，且满足且满足且满足且满足（）*12nnnaanN+=，则则则则20a=_【答案答案答案答案】512【分析】利用已知将n换为n+1，再写一个式子，与已知作比，得到数列na的各个偶数项成等比，公比为2，再求得2=1a，最后利用等比数列的通项公式即可得出【详解】anan+1=2n，（*nN）an+1an+2=2n+2（*nN）22nnaa+=,（*nN），数列na的各个奇数项513.aaa，成等比，公比为2，数列na的各个偶数项246.aaa，成等比，公比为2，22/42又anan+1=2n，（*nN），a1a2=2,又12a=，2=1a，可得：

当n为偶数时，1222nnaa=a20129512故答案为5122.在数列在数列在数列在数列na中中中中，（）*1Naaa=，（）*11,?

N22019,?

nnnnnaaanaa+=+若为偶数若为奇数，则下列结论成立的则下列结论成立的则下列结论成立的则下列结论成立的是是是是（）（）（）（）A存在正整数存在正整数存在正整数存在正整数a，使得使得使得使得na为常数列为常数列为常数列为常数列B存在正整数存在正整数存在