第四章--空间问题的基本理论.ppt

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第四章空间问题的基本理论,空间问题的数学描述,已知的几何参数和载荷（表面力和体积力），一般都与三个坐标参数x、y、z有关；15个未知函数6个应力分量：

6个应变分量，三个位移分量：

u、v、w，一般都是三个坐标参数x、y、z的函数；基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，维数可相应减少。

分析空间问题时，仍然要从三个方面来考虑：

静力学方面，几何学方面和物理学方面。

第四章空间问题的基本理论,3-1平衡微分方程,在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。

首先，以连接六面体前后两面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程,整理，并略去微量后，得,同样可以得出,第四章空间问题的基本理论,列出x轴方向的力的平衡方程,由其余两个平衡方程和可以得出与之相似的两个方程。

化简，除以dxdydz，得,空间问题的平衡微分方程（纳维叶方程）,第四章空间问题的基本理论,3-2几何方程和连续性方程,在平面问题里，通过研究oxy平面内平行于x、y轴两微元线素的变形得到几何方程，用同样方法研究另外两平面线素的变形可得到类似的方程。

综合起来，得到空间问题的几何方程。

与几何方程等价的是变形连续性方程（也称相容方程或协调方程），在空间问题里表示为,第四章空间问题的基本理论,第一个方程式在平面问题中已作过推导。

类似地可得到第二、第三个方程式。

现在推导第四个方程式。

由空间问题的几何方程式，有,将以上后三式相加，并与第一式比较，便得到连续性方程的第四式。

其余各式可由第一式、第四式轮换字母得到。

第四章空间问题的基本理论,3-3物理方程,各向同性弹性体的物理方程,用应变表示应力的物理方程为,式中D弹性矩阵或应力应变关系转换矩阵,第四章空间问题的基本理论,用应力表示应变的物理方程为,式中,显然，有,第四章空间问题的基本理论,下面推导空间物理方程的另一种表达形式。

将展开，并将其前三式相加，得,或,式中,e体积应变,m平均应力,K体积弹性常数,体积弹性定律,令,则物理方程可写成如下形式,第四章空间问题的基本理论,及,各种弹性常数之间的关系,其中、G拉密常数,第四章空间问题的基本理论,3-4边界条件,位移边界条件,在Su上,应力边界条件,将平面问题应力边界条件推广到空间问题，可得,第四章空间问题的基本理论,如果是用位移法求解，还应把应力边界条件用位移来表示。

将几何关系式代入物理关系式，有,在S上,和平面问题一样，按边界条件也可以把空间问题划分为三类：

位移边界、应力边界和混合边界问题。

第四章空间问题的基本理论,小结,对于空间问题，共有15个未知函数：

6个应力分量；6个应变分量；3个位移分量。

这15个未知函数应当满足15个基本方程：

3个平衡微分方程；6个几何方程；6个物理方程。

第四章空间问题的基本理论,在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边界条件,在应力边界问题中，应力分量在边界上还应当满足应力边界条件。

在混合边界问题中，某些边界条件是位移边界条件，而另一些边界条件是应力边界条件。

在S上,在Su上,第四章空间问题的基本理论,3-5物体内任一点的应力状态,已知物体在任一点P的六个应力分量，试求经过P点的任一斜面上的应力。

令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为,设三角形ABC的面积为S，则三角形BPC、CPA、APB的面积分别为lS、mS、nS。

四面体PABC的体积用V表示。

三角形ABC上的应力在坐标轴方向的分量用XN、YN、ZN代表。

根据四面体的平衡条件，得,第四章空间问题的基本理论,除以S，移项后，得,当斜面ABC趋近于P点时，由于V是比S更高一阶的微量，所以V/S趋于零。

于是得出下式中的第一式。

同样，由平衡条件可以得出其余两式。

设三角形ABC上的正应力为N,则由投影可得,将上式代入，得,第四章空间问题的基本理论,设三角形ABC上的剪应力为N，由于,所以有,在物体的任意一点，如果已知六个应力分量就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。

就是说，六个应力分量完全决定了一点的应力状态。

在特殊情况下，如果ABC是物体的边界面，则XN、YN、ZN成为面力分量，于是得出,即弹性体的应力边界条件。

它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。

第四章空间问题的基本理论,主应力与主方向,设经过任一点P的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P点的一个主应力，该斜面称为在P点的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主方向。

在物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。

在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标系的改变而改变（尽管应力分量随着坐标系改变）。

应力状态不变量,第四章空间问题的基本理论,3-6按位移求解空间问题,将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程。

按位移求解问题，是取位移分量为基本未知函数。

对空间问题来说，要从15个基本方程中消去应力分量和应变分量，得出只包含位移分量的微分方程。

第四章空间问题的基本理论,其中,将弹性方程代入平衡微分方程，采用记号，得到用位移分量表示的平衡方程，也就是按位移求解空间问题时所需的基本微分方程，常被称为拉密方程,第四章空间问题的基本理论,