福建省莆田市届高三下学期模拟考试 理科数学word版含答案.docx

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福建省莆田市届高三下学期模拟考试理科数学word版含答案

２０２０年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.本试卷共５页.满分１５０

分.考试时间１２０分钟.

注意事项:

１.答题前ꎬ考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

２.考生作答时ꎬ将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答ꎬ超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.

３.选择题答案使用２Ｂ铅笔填涂ꎬ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号ꎻ非选择题答案使用０５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写ꎬ字体工整、笔迹清楚.

４.保持答题卡卡面清洁ꎬ不折叠、不破损.考试结束后ꎬ将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题:

本大题共１２小题ꎬ每小题５分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的.

１已知集合Ａ＝{ｘｙ＝ｌｇ（ｘ＋１）}ꎬＢ＝{ｘｘ２＋ｘ－２<０}ꎬ则Ａ∩Ｂ＝

Ａ{ｘ－１<ｘ<１}Ｂ{ｘ－１<ｘ<２}

Ｃ{ｘ－２<ｘ<－１}Ｄ{ｘ－２<ｘ<１}２若ｉｚ＝１－２ｉꎬ则ｚ＝

Ａ５Ｂ３Ｃ５Ｄ３

ππ４π

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

３若θ∈０ꎬꎬｃｏｓθ＋＝ꎬ则ｓｉｎ２θ＋＝

ç÷

⎝２⎭

２４

Ａ

２５

ç÷

⎝６⎭５

７

Ｂ

２５

ç÷

⎝３⎭

７

Ｃ－

２５

Ｄ－２４

２５

４函数ｆ（ｘ）＝

ｘ－ｘ２ｓｉｎｘ⎡π

在ꎬ

ｘ２＋１⎣２

⎤

⎥⎥的图象大致为

２⎦

ＡＢ

ＣＤ

理科数学试卷第１页（共５页）

５甲、乙、丙、丁四名志愿者去ＡꎬＢꎬＣ三个社区参与服务工作ꎬ要求每个社区至少安排一人ꎬ则不同的安排方式共有

Ａ１８种Ｂ３６种Ｃ７２种Ｄ８１种

６高斯函数[ｘ]表示不超过ｘ的最大整数ꎬ如[２]＝２ꎬ

[－３６]＝－４执行右边的程序框图ꎬ则输出Ｓ的值为

[１９]＝１ꎬ

Ａ５Ｂ４Ｃ３Ｄ２

７函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ａｘ３的图象在点Ｐ（１ꎬｆ（１））处的切线分别交ｘ轴ꎬ

ｙ轴于ＡꎬＢ两点ꎬＯ为坐标原点ꎬ２Ｏ→Ｐ＝Ｏ→Ａ＋Ｏ→Ｂꎬ

则ａ＝

３

Ａ－

２

１

Ｃ

４

１

Ｂ－

４

３

Ｄ

２

８已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）（ω>０ꎬ０<φ<π）的图象关于直线

ｘ＝５π对称ꎬ且ｆ⎛７π⎫＝０.当ω取最小值时ꎬφ＝

ç÷

６

π

Ａ

６

⎝１２⎭

π

Ｂ

３

２π

Ｃ

３

５π

Ｄ

６

９已知抛物线Ｃ:

ｙ２＝４ｘ的焦点为Ｆꎬ过Ｆ的直线ｌ交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬｙ轴被以ＡＢ为直径的圆所截得的弦长为６ꎬ则ＡＢ＝

Ａ５Ｂ７Ｃ１０Ｄ１４

１０已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的四个顶点在球Ｏ的球面上ꎬＰＡ⊥平面ＡＢＣꎬＰＡ＝ＡＢ＝ＢＣ＝２ꎬ

ＰＢ与平面ＰＡＣ所成的角为３０°ꎬ则球Ｏ的表面积为

Ａ６πＢ１２πＣ１６πＤ４８π

ｘ２ｙ２

１１已知双曲线Ｃ:

－＝１（ａ>０ꎬｂ>０）的左、右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ过Ｆ１的直线与

ａ２ｂ２

Ｃ的左支交于ＰꎬＱ两点若ＰＦ２＝Ｆ１Ｆ２ꎬ且３ＰＦ１＝２ＱＦ１ꎬ则Ｃ的离心率为

３

Ａ

２

７

Ｂ

５

５

Ｃ

３

Ｄ２

１２设函数ｆ（ｘ）＝ａｘ－ｘａ（ａ>１）的定义域为（０ꎬ＋∞）ꎬ已知ｆ（ｘ）有且只有一个零点

下列四个结论:

①ａ＝ｅꎻ②ｆ（ｘ）在区间（１ꎬｅ）单调递增ꎻ

③ｘ＝ｅ是ｆ（ｘ）的零点ꎻ④ｘ＝１是ｆ（ｘ）的极大值点ꎬｆ（ｅ）是ｆ（ｘ）的最小值

其中正确的个数是

Ａ１Ｂ２Ｃ３Ｄ４

理科数学试卷第２页（共５页）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第１３~２１题为必考题ꎬ每个试题考生都必须作答.第２２、２３题为选考题ꎬ考生根据要求作答.

１３已知非零向量ａꎬｂ满足ａ＝４ｂꎬ且（ａ－２ｂ）⊥ｂꎬ则ａ与ｂ的夹角为

⎧⎪ｘ－ｙ＋１≥０ꎬ

⎪

１４设ｘꎬｙ满足约束条件⎨ｘ＋ｙ－２≥０ꎬ

⎪⎪

⎩ｘ≤３ꎬ

则ｚ＝

ｙ

ｘ＋２

的最大值为

１５已知函数ｆ（ｘ）＝{

２ꎬｘ≤１ꎬ

ｘ

ｘ２－４ｘ＋５ꎬｘ>１ꎬ

且ｆ（ａ）＝５ꎬ则ｆ（２－ａ）＝

１６△ＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃ已知ｃｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝０ꎬＢＤ是ＡＣ

边上的中线ꎬ且ＢＤ＝１ꎬ则△ＡＢＣ面积的最大值为

三、解答题:

共７０分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第１７~２１题为必考题ꎬ每个试题考生都必须作答.第２２、２３题为选考题ꎬ考生根据要求作答.

（一）必考题:

共６０分

１７（１２分）

设{ａｎ}是公差不为０的等差数列ꎬ其前ｎ项和为Ｓｎ.已知ａ１ꎬａ２ꎬａ５成等比数列ꎬＳ５＝２５.（１）求{ａｎ}的通项公式ꎻ

（２）设ｂｎ＝（－１）

ａｎ＋２

ꎬ数列{ｂｎ}的前ｎ项和为Ｔｎꎬ求Ｔ２ｎ.

１８（１２分）

如图ꎬ四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的底面是菱形ꎬＡＢ＝ＡＣ＝２ꎬP

ＰＡ＝２３ꎬＰＢ＝ＰＤ

（１）证明:

平面ＰＡＣ⊥平面ＡＢＣＤꎻ

（２）若ＰＡ⊥ＡＣꎬ点Ｍ在棱ＰＣ上ꎬ且ＢＭ⊥ＭＤꎬM

求二面角Ｂ－ＡＭ－Ｃ的余弦值

A

D

BC

理科数学试卷第３页（共５页）

１９（１２分）

莆田市是福建省“历史文化名城”之一ꎬ也是旅游资源丰富的城市“九头十八巷”、“二十四景”美如画某文化传媒公司为了解莆田民众对当地风景民俗知识的了解情况ꎬ在全市进行网上问卷（满分１００分）调查ꎬ民众参与度极高.该公司对得分数据Ｘ进行统计拟合ꎬ认为Ｘ服从正态分布Ｎ（６３ꎬ１４４）

（１）从参与调查的民众中随机抽取２００名作为幸运者ꎬ试估算其中得分在７５分以上（含７５分）

的人数（四舍五入精确到１人）ꎻ

（２）在（１）的条件下ꎬ为感谢参与民众ꎬ该公司组织两种活动ꎬ得分在７５分以上（含７５分）的幸运者选择其中一种活动参与.活动如下:

３

活动一参与一次抽奖已知抽中价值２００元的礼品的概率为ꎬ抽中价值４２０元的礼品

４

１

的概率为ꎻ

４

活动二挑战一次闯关游戏规则如下:

游戏共有三关ꎬ闯关成功与否相互独立ꎬ挑战者依次闯关ꎬ第一关闯关失败者没有获得礼品ꎬ第二关起闯关失败者只能获得

１

上一关的礼品ꎬ获得的礼品不累计ꎬ闯关结束已知第一关通过的概率为ꎬ

２

１

可获得价值３００元的礼品ꎻ第二关通过的概率为ꎬ可获得价值８００元的

３

１

礼品ꎻ第三关通过的概率为ꎬ可获得价值１８００元的礼品４

若参与活动的幸运者均选择礼品价值期望值较高的活动ꎬ该公司以该期望值为依据ꎬ需准备多少元的礼品?

附:

若Ｘ~Ｎ（μꎬσ２）ꎬ则Ｐ（μ－σ<Ｘ<μ＋σ）＝０６８２６ꎬ

Ｐ（μ－２σ<Ｘ<μ＋２σ）＝０９５４４ꎬＰ（μ－３σ<Ｘ<μ＋３σ）＝０９９７４

２０（１２分）

已知Ｆ１ꎬＦ２

为椭圆Ｅ:

２ｙ２

＋

ａ２ｂ２

＝１（ａ>ｂ>０）的左、右焦点ꎬ点Ｐ在Ｅ上

有以下三个条件:

①Ｆ１Ｆ２＝２３ꎻ②点Ｐ的坐标为（ꎬ

３

３

）ꎻ③ＰＦ１⊥ＰＦ２且ＰＦ１ＰＦ２＝２

３

（１）从三个条件中任意选择两个ꎬ求Ｅ的方程ꎻ

（２）在（１）的条件下ꎬ过点Ｍ（－４ꎬ０）的直线ｌ与Ｅ交于ＡꎬＢ两点ꎬＢ关于坐标原点的对称点为Ｃꎬ求△ＡＢＣ面积的最大值

理科数学试卷第４页（共５页）

２１（１２分）

ｘ

已知函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＋２ｓｉｎｘꎬｇ（ｘ）＝（ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ）ｅｘ＋ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ

ｅ

（１）求ｆ（ｘ）在区间（０ꎬ２π）的极值点ꎻ

（２）证明:

ｇ（ｘ）在区间[－２πꎬ２π]有且只有３个零点ꎬ且之和为０

（二）选考题:

共１０分请考生在第２２、２３题中任选一题作答.注意:

只能做所选定的题目.如果多做ꎬ则按所做第一个题目计分ꎬ作答时请用２Ｂ铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

２２[选修４－４:

坐标系与参数方程]（１０分）

在直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ已知直线ｌ过点Ｐ（２ꎬ２）.以坐标原点为极点ꎬｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系ꎬ曲线Ｃ的极坐标方程为ρ－ρｃｏｓ２θ－４ｃｏｓθ＝０

（１）求Ｃ的直角坐标方程ꎻ

（２）若ｌ与Ｃ交于ＡꎬＢ两点ꎬ求的最大值

２３[选修４－５:

不等式选讲]（１０分）已知ｆ（ｘ）＝２ｘ－１＋ｘ＋２.（１）求不等式ｆ（ｘ）≤５的解集ꎻ

（２）若ｘ∈[－１ꎬ＋∞）时ꎬｆ（ｘ）≥ｋｘ＋ｋꎬ求ｋ的取值范围

理科数学试卷第５页（共５页）

２０２０年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷

理科数学试题参考解答及评分标准

评分说明:

１.本解答给出了一种或几种解法供参考ꎬ如果考生的解法与本解答不同ꎬ可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

２.对计算题ꎬ当考生的解答在某一步出现错误时ꎬ如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度ꎬ可视影响的程度决定后继部分的给分ꎬ但不得超过该部分正确解答应给分数的一半ꎻ如果后继部分的解答有较严重的错误ꎬ就不再给分.

３.解答右端所注分数ꎬ表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

４.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:

本大题考查基础知识和基本运算每小题５分ꎬ满分６０分

１Ａ

２Ｃ

３Ａ

４Ｄ

５Ｂ

６Ｃ

７Ｂ

８Ｄ

９Ｃ

１０Ｂ

１１Ｂ

１２Ｃ

二、填空题:

本大题考查基础知识和基本运算每小题５分ꎬ满分２０分

π

１３

３

４

１４

５

１

１５

４

２

１６

３

三、解答题:

本大题共６小题ꎬ共７０分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

１７本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识ꎬ考查推理论证能力、运算求解能力ꎬ考查化归与转化思想、函数与方程思想ꎬ考查逻辑推理、数学运算等核心素养ꎬ体现基础性、综合性满分１２分

解:

（１）设{ａｎ}的公差为ｄ（ｄ≠０）ꎬ则ａ２＝ａ１＋ｄꎬａ５＝ａ１＋４ｄ

１分

因为ａꎬａꎬａ成等比数列ꎬ

１２５

所以ａ２＝ａａꎬ２分

又Ｓ５

２

＝５ａ１

１５

＋５×４ｄ＝２５ꎬ

２

３分

１

所以ａ

＝１ꎬｄ＝２

５分

所以{ａｎ}的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１

ｎ

（２）由（１）得ꎬｂｎ＝（－１）（２ｎ－１）＋２

６分

２ｎ－１

Ｔ２ｎ

＝－１＋３－５＋７－＋（４ｎ－１）＋２１＋２３＋＋２４ｎ－１

８分

＝（－１＋３）＋（－５＋７）＋＋[－（４ｎ－３）＋（４ｎ－１）]＋

（２１＋２３＋＋２４ｎ－１）

２ｎ

９分

＝２ｎ＋２×（１－４）

１－４

＝１２４ｎ＋１＋２ｎ－２

１１分

１２分

３３

理科数学试卷答案第１页（共８页）

１８本小题主要考查空间直线与平面的位置关系、空间向量等基础知识ꎬ考查空间想象能

力、推理论证能力、运算求解能力ꎬ考查化归与转化思想、数形结合思想ꎬ考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养ꎬ体现基础性、综合性满分１２分

解:

（１）连接ＢＤꎬ交ＡＣ于点Ｏꎬ连接ＰＯꎬ

在菱形ＡＢＣＤ中ꎬＡＣ⊥ＢＤꎬ

又ＰＢ＝ＰＤꎬＯ是ＢＤ中点ꎬ

１分

所以ＰＯ⊥ＢＤꎬ２分

因为ＡＣ∩ＰＯ＝ＯꎬＡＣ⊂平面ＰＡＣꎬＰＯ⊂平面ＰＡＣꎬ３分

所以ＢＤ⊥平面ＰＡＣꎬ

又ＢＤ⊂平面ＡＢＣＤꎬ

４分

故平面ＰＡＣ⊥平面ＡＢＣＤ（２）由（１）知ＢＤ⊥ＰＡ

５分

又ＰＡ⊥ＡＣꎬＡＣ∩ＢＤ＝Ｏꎬ

所以ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤꎬ

设ＢＣ中点为Ｅꎬ连接ＡＥ由已知ＡＢ＝ＡＣꎬ得ＡＥ⊥ＢＣꎬ又ＢＣ∥ＡＤꎬ

则ＡＥ⊥ＡＤꎬ从而ＡＥꎬＡＤꎬＡＰ两两垂直

６分

以Ａ为坐标原点ꎬＡ→Ｅꎬ

Ａ→Ｄꎬ

Ａ→Ｐ的方向为ｘꎬB

ｙꎬｚ轴正方向如图建立空间直角坐标系ꎬ

则Ｂ（３ꎬ－１ꎬ０）ꎬＣ（３ꎬ１ꎬ０）ꎬＤ（０ꎬ２ꎬ０）ꎬＰ（０ꎬ０ꎬ２３）ꎬ

设Ｃ→Ｍ＝λＣ→Ｐ＝（－３λꎬ－λꎬ２３λ）（０≤λ≤１）ꎬ

则Ａ→Ｍ＝Ａ→Ｃ＋Ｃ→Ｍ＝（３－３λꎬ１－λꎬ２３λ）ꎬＢ→Ｍ＝Ａ→Ｍ－Ａ→Ｂ＝（－３λꎬ２－λꎬ２３λ）ꎬ

７分

Ｄ→Ｍ＝Ａ→Ｍ－Ａ→Ｄ＝（３－３λꎬ－１－λꎬ２３λ）

８分

由ＢＭ⊥ＭＤ得Ｂ→ＭＤ→Ｍ＝３λ２－３λ＋（λ－２）（λ＋１）＋１２λ２＝０ꎬ

１１

即８λ２－２λ－１＝０ꎬ解得λ＝ꎬ或λ＝－（舍去）ꎬ

９分

２４

{ｎＡ→Ｍ＝０ꎬ

设ｎ＝（ｘꎬｙꎬｚ）为平面ＡＢＭ的一个法向量ꎬ则

ｎＡ→Ｂ＝０ꎬ

⎧⎪

⎪

即⎨２

⎪⎪

１

ｘ＋ｙ＋３ｚ＝０ꎬ２

⎩３ｘ－ｙ＝０ꎬ

理科数学试卷答案第２页（共８页）

取ｎ＝（１ꎬ３ꎬ－１）

因为ＢＤ⊥平面ＰＡＣꎬ

１０分

所以Ｂ→Ｄ＝（－３ꎬ３ꎬ０）为平面ＡＣＭ的一个法向量

１１分

因为ｃｏｓ<Ｂ→Ｄ

→

ｎ>＝＝ꎬ且由图知二面角Ｂ－ＡＭ－Ｃ为锐角ꎬ

ꎬ

Ｂ→Ｄｎ５

５

所以二面角Ｂ－ＡＭ－Ｃ的余弦值为

５

１２分

１９本小题主要考查正态分布、随机变量的分布列、数学期望等基础知识ꎬ考查数据处理能力、运算求解能力与应用意识ꎬ考查统计与概率思想、分类与整合思想ꎬ考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养ꎬ体现基础性、综合性与应用性满分１２分.

解:

（１）因为Ｘ~Ｎ（６３ꎬ１４４）ꎬ

所以μ＝６３ꎬσ＝１２ꎬ１分

所以Ｐ（Ｘ≥７５）＝Ｐ（Ｘ≥μ＋σ）

＝１－Ｐ（μ－σ<Ｘ<μ＋σ）２

２分

＝１－０６８２６２

＝０１５８７ꎬ３分

因为０１５８７×２００＝３１７４≈３２ꎬ

所以成绩在７５分以上的人数约有３２人

４分

（２）设选择活动一获得礼品的价值为ξꎬ则ξ的可能取值为２００ꎬ４２０ꎬ

３１

Ｐ（ξ＝２００）＝ꎬＰ（ξ＝４２０）＝ꎬ

５分

４

３

所以Ｅξ＝２００×

４

１

＋４２０×

４

４

＝２５５

６分

设选择活动二获得礼品的价值为ηꎬ则η的可能取值为０ꎬ３００ꎬ８００ꎬ１８００ꎬ

７分

１１

Ｐ（η＝０）＝ꎬＰ（η＝３００）＝

×２

＝１ꎬ

８分

２２３３

１

Ｐ（η＝８００）＝

×１

×３

＝１ꎬＰ（η＝１８００）＝１

×１

×１

＝１ꎬ

２３４８２３４２４

１０分

１

所以Ｅη＝０×

２

１

＋３００×

３

１

＋８００×

８

１

＋１８００×

２４

＝２７５

１１分

因为Ｅη>Ｅξꎬ

所以该公司需准备的礼品价值为２７５×３２＝８８００元

理科数学试卷答案第３页（共８页）

１２分

２０本小题主要考查椭圆的定义和几何性质、直线与和椭圆的位置关系等基础知识ꎬ考查推

理论证能力、运算求解能力ꎬ考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想ꎬ考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养ꎬ体现基础性、综合性与创新性满分１２分

解法一:

（１）若选择①②:

设椭圆的半焦距为ｃ

由ＦＦ

＝２３可知ｃ＝３

１分

把Ｐ（２６ꎬ３）代入椭圆方程ꎬ得８＋１

＝１ꎬ

２分

３３３ａ２３ｂ２

又ａ２＝ｂ２＋３ꎬａ>ｂ>０ꎬ３分

所以ａ＝２ꎬｂ＝１ꎬ

ｘ２

４分

故Ｅ的方程为

４

若选择①③:

＋ｙ２＝１

５分

设椭圆的半焦距为ｃ

由ＦＦ

＝２３可知ｃ＝３

１分

在△ＰＦ１Ｆ２中ꎬ由椭圆定义可知２ａ＝ＰＦ１＋ＰＦ２ꎬ

２分

又ＰＦ

⊥ＰＦ２

且ＰＦ

ＰＦ２

＝２ꎬ

所以ＦＦ

２＝ＰＦ

２＋ＰＦ

２＝（ＰＦ

＋ＰＦ

）２－２ＰＦ

ＰＦ２.

３分

故ＰＦ

＋ＰＦ

＝４ꎬ从而ａ＝２ꎬｂ＝１ꎬ

ｘ２

４分

所以Ｅ的方程为

４

若选择②③:

＋ｙ２＝１

５分

设椭圆的半焦距为ｃ

１

由ＰＦ

⊥ＰＦ２

得ｃ＝ＯＰ＝３.

１分

在△ＰＦ１Ｆ２中ꎬ由椭圆定义可知２ａ＝ＰＦ１＋ＰＦ２ꎬ

２分

又ＰＦ

⊥ＰＦ２

且ＰＦ

ＰＦ２

＝２ꎬ

所以ＦＦ

２＝ＰＦ

２＋ＰＦ

２＝（ＰＦ

＋ＰＦ

）２－２ＰＦ

ＰＦ２ꎬ

３分

故ＰＦ

＋ＰＦ

＝４ꎬ从而ａ＝２ꎬｂ＝１ꎬ

ｘ２

４分

所以Ｅ的方程为

４

＋ｙ２＝１

５分

理科数学试卷答案第４页（共８页）

（２）显然直线ｌ斜率存在且不为０ꎬ故可设其方程为ｙ＝ｋ（ｘ＋４）ꎬ

⎪

⎧ｙ＝ｋ（ｘ＋４）ꎬ

⎪

联立直线与椭圆方程⎨ｘ２

⎪⎪＋ｙ２＝１ꎬ

⎩４

消去ｙ得（１＋４ｋ２）ｘ２＋３２ｋ２ｘ＋６４ｋ２－４＝０ꎬ７分

由Δ>０得（３２ｋ２）２－４（１＋４ｋ２）（６４ｋ２－４）>０ꎬ

１

所以ｋ２<ꎬ１２

设Ａ（ｘ１ꎬｙ１）ꎬＢ（ｘ２ꎬｙ２）ꎬ则Ｃ（－ｘ２ꎬ－ｙ２）ꎬ由韦达定理可得ꎬ

２

＋＝－３２ｋ

１２＋４ｋ２

ꎬｘ１ｘ２＝

６４ｋ２－４

１＋４ｋ２

８分

１

４ｋ

又点Ｏ为ＢＣ的中点ꎬ且Ｏ到直线ｌ的距离ｄ＝ꎬ

９分

１

所以ＳΔＡＢＣ＝２×

２

ＡＢｄ

４ｋ

＝１－２

＝４ｋｘ１－ｘ２

＝４ｋ

＝１６设ｕ＝１＋４ｋ２ꎬ则ＳΔＡＢＣ＝８

ｋ２（１－１２ｋ２）（１＋４ｋ２）２

１０分

＝８

＝８

≤２ꎬ

１１分

１

当且仅当

＝７ꎬ即ｋ２＝１

１

<时ꎬ等号成立ꎬ

ｕ８