离散数学-期末考试试卷答案.doc
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离散数学试题（B卷答案1）
一、证明题（10分）
1）（ØP∧（ØQ∧R））∨（Q∧R）∨（P∧R）ÛR
证明:
左端Û（ØP∧ØQ∧R）∨（（Q∨P）∧R）
Û（（ØP∧ØQ）∧R））∨（（Q∨P）∧R）
Û（Ø（P∨Q）∧R）∨（（Q∨P）∧R）
Û（Ø（P∨Q）∨（Q∨P））∧R
Û（Ø（P∨Q）∨（P∨Q））∧R
ÛT∧R（置换）ÛR
2）$x（A（x）®B（x））Û"xA（x）®$xB（x）
证明：
$x（A（x）®B（x））Û$x（ØA（x）∨B（x））
Û$xØA（x）∨$xB（x）
ÛØ"xA（x）∨$xB（x）
Û"xA（x）®$xB（x）
二、求命题公式（P∨（Q∧R））®（P∧Q∧R）的主析取范式和主合取范式（10分）。
证明：
（P∨（Q∧R））®（P∧Q∧R）ÛØ（P∨（Q∧R））∨（P∧Q∧R））
Û（ØP∧（ØQ∨ØR））∨（P∧Q∧R）
Û（ØP∧ØQ）∨（ØP∧ØR））∨（P∧Q∧R）
Û（ØP∧ØQ∧R）∨（ØP∧ØQ∧ØR）∨（ØP∧Q∧ØR））∨（ØP∧ØQ∧ØR））∨（P∧Q∧R）
Ûm0∨m1∨m2∨m7
ÛM3∨M4∨M5∨M6
三、推理证明题（10分）
1）C∨D，（C∨D）®ØE，ØE®（A∧ØB），（A∧ØB）®（R∨S）ÞR∨S
证明：
（1）（C∨D）®ØE P
（2）ØE®（A∧ØB） P
（3）（C∨D）®（A∧ØB）T
（1）
（2），I
（4）（A∧ØB）®（R∨S） P
（5）（C∨D）®（R∨S） T（3）（4），I
（6）C∨D P
（7）R∨ST（5），I
2）"x（P（x）®Q（y）∧R（x）），$xP（x）ÞQ（y）∧$x（P（x）∧R（x））
证明
（1）$xP（x）P
（2）P（a）T
（1），ES
（3）"x（P（x）®Q（y）∧R（x））P
（4）P（a）®Q（y）∧R（a）T（3），US
（5）Q（y）∧R（a）T
（2）（4），I
（6）Q（y）T（5），I
（7）R（a）T（5），I
（8）P（a）∧R（a）T
（2）（7），I
（9）$x（P（x）∧R（x））T（8），EG
（10）Q（y）∧$x（P（x）∧R（x））T（6）（9），I
四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。
而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数（10分）。
解：
A，B，C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。
则|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2。
先求|A∩B|。
∵6=|（A∪C）∩B|=|（A∩B）∪（B∩C）|=|（A∩B）|+|（B∩C）|-|A∩B∩C|=|（A∩B）|+5-2，∴|（A∩B）|=3。
于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。
不会打这三种球的人数25-20=5。
五、已知A、B、C是三个集合，证明A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）（10分）。
证明：
∵xÎA-（B∪C）ÛxÎA∧xÏ（B∪C）
ÛxÎA∧（xÏB∧xÏC）
Û（xÎA∧xÏB）∧（xÎA∧xÏC）
ÛxÎ（A-B）∧xÎ（A-C）
ÛxÎ（A-B）∩（A-C）
∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）
六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：
R={|x，yÎN∧y=x2}，S={|x，yÎN∧y=x+1}。
求R-1、R*S、S*R、R{1，2}、S[{1，2}]（10分）。
解：
R-1={|x，yÎN∧y=x2}
R*S={|x，yÎN∧y=x2+1}
S*R={|x，yÎN∧y=（x+1）2}，R{1，2}={<1，1>，<2，4>}，S[{1，2}]={1，4}。
七、设R={，，}，求r（R）、s（R）和t（R）（15分）。
解：
r（R）={，，，，，}
s（R）={，，，，，}
R2=R5={，，}
R3={，，}
R4={，，}
t（R）={，，，，，，，，，}
八、证明整数集I上的模m同余关系R={|xºy（modm）}是等价关系。
其中，xºy（modm）的含义是x-y可以被m整除（15分）。
证明：
1）"x∈I，因为（x-x）/m=0，所以xºx（modm），即xRx。
2）"x，y∈I，若xRy，则xºy（modm），即（x-y）/m=k∈I，所以（y-x）/m=-k∈I，所以yºx（modm），即yRx。
3）"x，y，z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v∈I，因此xRz。
九、若f:
A→B和g:
B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。
证明：
因为f、g是双射，所以gf：
A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：
C→A。
同理可推f-1g-1：
C→A是双射。
因为∈f-1g-1Û存在z（∈g-1Ù∈f-1）Û存在z（∈fÙ∈g）Û∈gfÛ∈（gf）-1，所以（gf）-1=f-1g-1。
离散数学试题（B卷答案2）
一、证明题（10分）
1）（（P∨Q）∧Ø（ØP∧（ØQ∨ØR）））∨（ØP∧ØQ）∨（ØP∧ØR）ÛT
证明:
左端Û（（P∨Q）∧（P∨（Q∧R）））∨Ø（（P∨Q）∧（P∨R））（摩根律）
Û（（P∨Q）∧（P∨Q）∧（P∨R））∨Ø（（P∨Q）∧（P∨R））（分配律）
Û（（P∨Q）∧（P∨R））∨Ø（（P∨Q）∧（P∨R））（等幂律）
ÛT （代入）
2）"x"y（P（x）®Q（y））ÛÛ（$xP（x）®"yQ（y））
证明：
"x"y（P（x）®Q（y））Û"x"y（ØP（x）∨Q（y））
Û"x（ØP（x）∨"yQ（y））
Û"xØP（x）∨"yQ（y）
ÛØ$xP（x）∨"yQ（y）
Û（$xP（x）®"yQ（y））
二、求命题公式（ØP®Q）®（P∨ØQ）的主析取范式和主合取范式（10分）
解：
（ØP®Q）®（P∨ØQ）ÛØ（ØP®Q）∨（P∨ØQ）
ÛØ（P∨Q）∨（P∨ØQ）
Û（ØP∧ØQ）∨（P∨ØQ）
Û（ØP∨P∨ØQ）∧（ØQ∨P∨ØQ）
Û（P∨ØQ）
ÛM1
Ûm0∨m2∨m3
三、推理证明题（10分）
1）（P®（Q®S））∧（ØR∨P）∧QÞR®S
证明：
（1）R
（2）ØR∨P
（3）P
（4）P®（Q®S）
（5）Q®S
（6）Q
（7）S
（8）R®S
2）$x（A（x）®"yB（y）），"x（B（x）®$yC（y））"xA（x）®$yC（y）。
证明：
（1）$x（A（x）®"yB（y））P
（2）A（a）®"yB（y）T
（1），ES
（3）"x（B（x）®$yC（y））P
（4）"x（B（x）®C（））T（3），ES
（5）B（）®C（）T（4），US
（6）A（a）®B（）T
（2），US
（7）A（a）®C（）T（5）（6），I
（8）"xA（x）®C（）T（7），UG
（9）"xA（x）®$yC（y）T（8），EG
四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。
所以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。
解设P：
今天天气好，Q：
考试准时进行，A（e）：
e提前进入考场，个体域：
考生的集合，则命题可符号化为：
ØP®$xØA（x），"xA（x）«QQ®P。
（1）ØP®$xØA（x）P
（2）ØP®Ø"xA（x）T
（1），E
（3）"xA（x）®PT
（2），E
（4）"xA（x）«QP
（5）（"xA（x）®Q）∧（Q®"xA（x））T（4），E
（6）Q®"xA（x）T（5），I
（7）Q®PT（6）（3），I
五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）（10分）
证明：
∵xÎA∩（B∪C）ÛxÎA∧xÎ（B∪C）ÛxÎA∧（xÎB∨xÎC）Û（xÎA∧xÎB）∨（xÎA∧xÎC）ÛxÎ（A∩B）∨xÎA∩CÛxÎ（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
六、A={x1,x2,x3}，B={y1,y2}，R={,,}，求其关系矩阵及关系图（10分）。
七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r（R）、s（R）和t（R），并作出它们及R的关系图（15分）。
解：
r（R）={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,
<3,3>,<4,4>,<5,5>}
s（R）={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>}
R2=R5={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}
R3={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>}
R4={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}
t（R）={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}
八、设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠Æ且B≠Æ。
关系R满足：
<，>∈RÛ∈R1且∈R2，证明R是A×B上的等价关系（10分）。
证明对任意的∈A×B，由R1是A上的等价关系可得∈R1，由R2是B上的等价关系可得∈R2。
再由R的定义，有<，>∈R，所以R是自反的。
对任意的、∈A×B，若R，则∈R1且∈R2。
由R1对称得∈R1，由R2对称得∈R2。
再由R的定义，有<，>∈R，即R，所以R是对称的。
对任意的、、∈A×B，若R且R，则∈R1且∈R2，∈R1且∈R2。
由∈R1、∈R1及R1的传递性得∈R1，由∈R2、∈R2及R2的传递性得∈R1。
再由R的定义，有<，>∈R，即R，所以R是传递的。
综上可得，R是A×B上的等价关系。
九、设f：
A®B，g：
B®C，h：
C®A，证明：
如果hogof＝IA，fohog＝IB，gofoh＝IC，则f、g、h均为双射，并求出f－1、g－1和h－1（10分）。
解因IA恒等函数，由hogof＝IA可得f是单射，h是满射；因IB恒等函数，由fohog＝IB可得g是单射，f是满射；因IC恒等函数，由gofoh＝IC可得h是单射，g是满射。
从而f、g、h均为双射。
由hogof＝IA，得f－1＝hog；由fohog＝IB，得g－1＝foh；由gofoh＝IC，得h－1＝gof。
离散数学试题（B卷答案3）
一、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满足式）？
（写过程）
1）P®（P∨Q∨R）2）Ø（（Q®P）∨ØP）∧（P∨R）3）（（ØP∨Q）®R）®（（P∧Q）∨R）
解：
1）重言式；2）矛盾式；3）可满足式
二、（10分）求命题公式（P∨（Q∧R））®（P∨Q∨R）的主析取范式，并求成真赋值。
解：
（P∨（Q∧R））®（P∨Q∨R）ÛØ（P∨（Q∧R））∨P∨Q∨R
ÛØP∧（ØQ∨ØR）∨P∨Q∨R
Û（ØP∧ØQ）∨（ØP∧ØR）∨（P∨Q）∨R
Û（Ø（P∨Q）∨（P∨Q））∨（ØP∧ØR）∨R
Û1∨（（ØP∧ØR）∨R）Û1
Ûm0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7
该式为重言式，全部赋值都是成真赋值。
三、（10分）证明（（P∧Q∧A）®C）∧（A®（P∨Q∨C））Û（A∧（P«Q））®C
证明：
（（P∧Q∧A）®C）∧（A®（P∨Q∨C））Û（Ø（P∧Q∧A）∨C）∧（ØA∨（P∨Q∨C））
Û（（ØP∨ØQ∨ØA）∨C）∧（（ØA∨P∨Q）∨C）
Û（（ØP∨ØQ∨ØA）∧（ØA∨P∨Q））∨C
ÛØ（（ØP∨ØQ∨ØA）∧（ØA∨P∨Q））®C
Û（Ø（ØP∨ØQ∨ØA）∨Ø（ØA∨P∨Q））®C
Û（（P∧Q∧A）∨（A∧ØP∧ØQ））®C
Û（A∧（（P∧Q）∨（ØP∧ØQ）））®C
Û（A∧（（P∨ØQ）∧（ØP∨Q）））®C
Û（A∧（（Q®P）∧（P®Q）））®C
Û（A∧（P«Q））®C
四、（10分）个体域为{1，2}，求"x$y（x+y=4）的真值。
解：
"x$y（x+y=4）Û"x（（x+1=4）∨（x+2=4））
Û（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+2=4））
Û（0∨0）∧（0∨1）Û0∧1Û0
五、（10分）对于任意集合A，B，试证明：
P（A）∩P（B）=P（A∩B）
解：
"xÎP（A）∩P（B），xÎP（A）且xÎP（B），有xÍA且xÍB，从而xÍA∩B，xÎP（A∩B），由于上述过程可逆，故P（A）∩P（B）=P（A∩B）
六、（10分）已知A={1，2，3，4，5}和R={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>}，求r（R）、s（R）和t（R）。
解：
r（R）={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>}
s（R）={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<3，2>，<4，3>，<4，5>}
t（R）={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<1，1>，<1，3>，<2，2>，<2，4>，<1，4>}
七、（10分）设函数f：
R×R®R×R，R为实数集，f定义为：
f（）=。
1）证明f是双射。
解：
1）"，∈R×R，若f（）=f（），即=，则x1+y1=x2+y2且x1-y1=x2-y2得x1=x2，y1=y2从而f是单射。
2）"∈R×R，由f（）=，通过计算可得x=（p+q）/2；y=（p-q）/2；从而的原象存在，f是满射。
八、（10分）是个群，u∈G，定义G中的运算“D”为aDb=a*u-1*b，对任意a，b∈G，求证：
也是个群。
证明：
1）"a，b∈G，aDb=a*u-1*b∈G，运算是封闭的。
2）"a，b，c∈G，（aDb）Dc=（a*u-1*b）*u-1*c=a*u-1*（b*u-1*c）=aD（bDc），运算是可结合的。
3）"a∈G，设E为D的单位元，则aDE=a*u-1*E=a，得E=u，存在单位元u。
4）"a∈G，aDx=a*u-1*x=E，x=u*a-1*u，则xDa=u*a-1*u*u-1*a=u=E，每个元素都有逆元。
所以也是个群。
九、（10分）已知：
D=，V={1，2，3，4，5}，E={<1，2>，<1，4>，<2，3>，<3，4>，<3，5>，<5，1>}，求D的邻接距阵A和可达距阵P。
解：
1）D的邻接距阵A和可达距阵P如下：
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
A=
0
0
0
1
1
P=
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
十、（10分）求叶的权分别为2、4、6、8、10、12、14的最优二叉树及其权。
解：
最优二叉树为
权＝（2+4）×4+6×3+12×2+（8+10）×3+14×2＝148
离散数学试题（B卷答案4）
一、证明题（10分）
1）（（P∨Q）∧Ø（ØP∧（ØQ∨ØR）））∨（ØP∧ØQ）∨（ØP∧ØR）ÛT
证明:
左端Û（（P∨Q）∧（P∨（Q∧R）））∨Ø（（P∨Q）∧（P∨R））（摩根律）Û（（P∨Q）∧（P∨Q）∧（P∨R））∨Ø（（P∨Q）∧（P∨R））（分配律）Û（（P∨Q）∧（P∨R））∨Ø（（P∨Q）∧（P∨R））（等幂律）ÛT （代入）
2）"x（P（x）®Q（x））∧"xP（x）Û"x（P（x）∧Q（x））
证明：
"x（P（x）®Q（x））∧"xP（x）Û"x（（P（x）®Q（x）∧P（x））Û"x（（ØP（x）∨Q（x）∧P（x））Û"x（P（x）∧Q（x））Û"xP（x）∧"xQ（x）Û"x（P（x）∧Q（x））
二、求命题公式（ØP®Q）®（P∨ØQ）的主析取范式和主合取范式（10分）
解：
（ØP®Q）®（P∨ØQ）ÛØ（ØP®Q）∨（P∨ØQ）ÛØ（P∨Q）∨（P∨ØQ）Û（ØP∧ØQ）∨（P∨ØQ）Û（ØP∨P∨ØQ）∧（ØQ∨P∨ØQ）Û（P∨ØQ）ÛM1Ûm0∨m2∨m3
三、推理证明题（10分）
1）（P®（Q®S））∧（ØR∨P）∧QÞR®S
证明：
（1）R附加前提
（2）ØR∨PP
（3）PT
（1）
（2）,I
（4）P®（Q®S）P
（5）Q®ST（3）（4）,I
（6）QP
（7）ST（5）（6）,I
（8）R®SCP
2）"x（P（x）∨Q（x）），"xØP（x）Þ$xQ（x）
证明：
（1）"xØP（x）P
（2）ØP（c）T
（1）,US
（3）"x（P（x）∨Q（x））P
（4）P（c）∨Q（c）T（3）,US
（5）Q（c）T
（2）（4）,I
（6）$xQ（x）T（5）,EG
四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过1/8（10分）。
证明：
把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过小正方形的一半，即1/8。
五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）（10分）
证明：
∵xÎA∩（B∪C）ÛxÎA∧xÎ（B∪C）ÛxÎA∧（xÎB∨xÎC）Û（xÎA∧xÎB）∨（xÎA∧xÎC）ÛxÎ（A∩B）∨xÎA∩CÛxÎ（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
六、p={A1，A2，…，An}是集合A的一个划分，定义R={|a、b∈Ai，I=1，2，…，n}，则R是A上的等价关系（15分）。
证明：
"a∈A必有i使得a∈Ai，由定义知aRa，故R自反。
"a,b∈A，若aRb，则a,b∈Ai，即b,a∈Ai，所以bRa，故R对称。
"a,b,c∈A，若aRb且bRc，则a,b∈Ai及b,c∈Aj。
因为i≠j时Ai∩Aj=F，故i=j，即a,b,c∈Ai，所以aRc，故R传递。
总之R是A上的等价关系。
七、若f:
A→B是双射，则f-1:
B→A是双射（15分）。
证明:
对任意的x∈A，因为f是从A到B的函数，故存在y∈B，使∈f，∈f-1。
所以,f-1是满射。
对任意的x∈A，若存在y1,y2∈B，使得∈f-1且∈f-1,则有∈f且∈f。
因为f是函数，则y1=y2。
所以，f-1是单射。
因此f-1是双射。
八、设是群，和是的子群，证明：
若A∪B＝G，则A＝G或B＝G（10分）。
证明假设A≠G且B≠G，则存在aÎA，aÏB，且存在bÎB，bÏA（否则对任意的aÎA，aÎB，从而AÍB，即A∪B＝B，得B＝G，矛盾。
）
对于元素a*bÎG，若a*bÎA，因A是子群，a-1ÎA，从而a-1*（a*b）＝bÎA，所以矛盾，故a*bÏA。
同理可证a*bÏB，综合有a*bÏA∪B＝G。
综上所述，假设不成立，得证A＝G或B＝G。
九、若无向图G是不连通的，证明G的补图是连通的（10分）。
证明设无向图G是不连通的，其k个连通分支为、、…、。
任取结点、∈G，若和不在图G的同一个连通分支中，则[，]不是图G的边，因而[
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