破题切入点
（1）利用函数的解析式，化简f（1－x）即可求证．
（2）注意利用
（1）中的结论，构造倒序求和．
（3）由已知条件求出Tn的最小值，将不等式转化为最值问题求解．
（1）证明 因为f（x）＝，
所以f（1－x）＝＝＝.
所以f（x）＋f（1－x）＝＋
＝＝.
（2）解 由
（1），知f（x）＋f（1－x）＝，
所以f（）＋f（1－）＝（1≤k≤m－1，k∈N*），
即f（）＋f（）＝.
所以ak＋am－k＝，am＝f（）＝f
（1）＝.
又Sm＝a1＋a2＋…＋am－1＋am，①
Sm＝am－1＋am－2＋…＋a1＋am，②
由①＋②，得2Sm＝（m－1）×＋2am＝－，
即Sm＝－（m∈N*）．
（3）解 由b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn（bn＋1），
显然对任意n∈N*，bn>0，
则＝＝－，
即＝－，
所以Tn＝（－）＋（－）＋…＋（－）
＝－＝3－.
因为bn＋1－bn＝b>0，
所以bn＋1>bn，
即数列{bn}是单调递增数列．
所以Tn关于n递增，所以当n∈N*时，Tn≥T1.
因为b1＝，b2＝（）2＋＝，
所以Tn≥T1＝3－＝.
由题意，知Sm<，即－<，解得m<，
所以正整数m的最大值为3.
题型四 裂项相消法求和
例4 在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．
（1）已知数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝－，求数列{an}的公差．
破题切入点
（1）列方程组（两个条件）确定an.
（2）可以采用裂项相消法求得含有公差的表达式，再和已知Tn＝－对比求得公差．
解 设数列{an}的公差为d，
由a1，a4，a8成等比数列可得
a＝a1·a8，即（a1＋3d）2＝a1（a1＋7d），
∴a＋6a1d＋9d2＝a＋7a1d，而d≠0，∴a1＝9d.
（1）由数列{an}的前10项和为45可得
S10＝10a1＋d＝45，
即90d＋45d＝45，故d＝，a1＝3，
故数列{an}的通项公式为an＝3＋（n－1）·
＝（n＋8）．
（2）bn＝＝，
则数列{bn}的前n项和为
Tn＝[＋＋…＋]
＝
＝
＝
＝－.
所以＝1，d＝±1.
故数列{an}的公差d＝1或－1.
总结提高 数列求和的主要方法有：
（1）分组求和法：
一个数列既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并，或对字母n分类讨论后再求和．
（2）错位相减法：
这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求{an·bn}的前n项和，其中{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）倒序相加法：
这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
（4）裂项相消法：
把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为的前n项和，其中{an}若为等差数列，则＝·（－）．
其余还有公式法求和等．
1．若数列{an}的通项公式为an＝，则其前n项和Sn为（ ）
A．1－B.－－
C.－－D.－－
答案 D
解析 方法一 因为an＝＝－，
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝1－＋－＋－＋…＋－＋－
＝1＋－－
＝－－.
故选D.
方法二 因为a1＝，a2＝，
所以S1＝a1＝.
令n＝1，选项B中，－1－＝0，
选项C中，－1－＝，故排除B，C.
又S2＝＋＝，
选项A中，令n＝2，则1－＝，故排除A，应选D.
2．已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为（ ）
A．n2＋1－B．n2＋2－
C．n2＋1－D．n2＋2－
答案 A
解析 因为an＝2n－1＋，
则Sn＝n＋＝n2＋1－.
3．（20xx·课标全国Ⅰ）设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案 C
解析 am＝2，am＋1＝3，故d＝1，
因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，
故a1＝－，
因为am＋am＋1＝5，
故am＋am＋1＝2a1＋（2m－1）d＝－（m－1）＋2m－1＝5，
即m＝5.
4．在数列{an}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足an＋T＝an，则称{an}是周期数列，T叫作它的周期．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝a（a≤1），xn＋2＝|xn＋1－xn|，当数列{xn}的周期为3时，则{xn}的前2013项和S2013等于（ ）
A．1340B．1342C．1344D．1346
答案 B
解析 由xn＋2＝|xn＋1－xn|，
得x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a，
x4＝|x3－x2|＝|1－2a|，
因为数列{xn}的周期为3，所以x4＝x1，
即|1－2a|＝1，解得a＝0或a＝1.
当a＝0时，数列{xn}为1,0,1,1,0,1，…，
所以S2013＝2×671＝1342.
当a＝1时，数列{xn}为1,1,0,1,1,0，…，
所以S2013＝2×671＝1342.
综上，S2013＝1342.
5．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于（ ）
A．2008B．2010C．1D．0
答案 B
解析 由已知得an＝an－1＋an＋1（n≥2），
∴an＋1＝an－an－1.
故数列的前8项依次为2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009.
由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.
∵2014＝6×335＋4，
∴S2014＝S4＝2008＋2009＋1＋（－2008）＝2010.
6．数列{an}满足an＋1＋（－1）nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．
答案 1830
解析 ∵an＋1＋（－1）nan＝2n－1，
∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，
∴a1＋a2＋…＋a60＝（a1＋a2＋a3＋a4）＋（a5＋a6＋a7＋a8）＋…＋（a57＋a58＋a59＋a60）＝10＋26＋42＋…＋234
＝＝1830.
7．在等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.
答案
解析 设等比数列{an}的公比为q，
则＝q3＝27，解得q＝3.
所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，
故bn＝log3an＝n，
所以＝＝－.
则数列的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.
8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1.{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
答案 2n＋1－n－2
解析 因为an＋1－an＝2n，
应用累加法可得an＝2n－1，
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝2＋22＋23＋…＋2n－n
＝－n
＝2n＋1－n－2.
9．定义：
若数列{An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点（an，an＋1）在函数f（x）＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：
数列{2an＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2an＋1）}为等比数列；
（2）设
（1）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn＝（2a1＋1）·（2a2＋1）·…·（2an＋1），求数列{an}的通项公式及Tn关于n的表达式．
（1）证明 由题意得an＋1＝2a＋2an，
得2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝（2an＋1）2.
所以数列{2an＋1}是“平方递推数列”．
令cn＝2an＋1，所以lgcn＋1＝2lgcn.
因为lg（2a1＋1）＝lg5≠0，
所以＝2.
所以数列{lg（2an＋1）}为等比数列．
（2）解 因为lg（2a1＋1）＝lg5，
所以lg（2an＋1）＝2n－1·lg5，
所以2an＋1＝52n－1，
即an＝（52n－1－1）．
因为lgTn＝lg（2a1＋1）＋lg（2a2＋1）＋…＋lg（2an＋1）
＝＝（2n－1）lg5.
所以Tn＝52n－1.
10．（20xx·湖南）已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝2an＋（－1）nan，求数列{bn}的前2n项和．
解
（1）当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
故数列{an}的通项公式为an＝n.
（2）由
（1）知an＝n，故bn＝2n＋（－1）nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，则
T2n＝（21＋22＋…＋22n）＋（－1＋2－3＋4－…＋2n）．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2.
B＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋[－（2n－1）＋2n]＝n，
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
11．（20xx·课标全国Ⅱ）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
（1）证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）证明＋＋…＋<.
证明
（1）由an＋1＝3an＋1
得an＋1＋＝3（an＋）．
又a1＋＝，
所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．
an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.
（2）由
（1）知＝.
因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，
所以≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋
＝（1－）<.
所以＋＋…＋<.
12．（20xx·山东）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝（－1）n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解
（1）因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，
S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，
由题意得（2a1＋2）2＝a1（4a1＋12），解得a1＝1，
所以an＝2n－1.
（2）bn＝（－1）n－1＝（－1）n－1
＝（－1）n－1（＋）．
当n为偶数时，
Tn＝（1＋）－（＋）＋…＋（＋）－（＋）＝1－＝.
当n为奇数时，
Tn＝（1＋）－（＋）＋…－（＋）＋（＋）＝1＋＝.
所以Tn＝
（或Tn＝）
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