大学数学分析关于无穷小量的研究王杰.docx

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大学数学分析关于无穷小量的研究王杰

大学数学分析-关于无穷小量的研究王杰

学士学位论文

关于无穷小量的研究

1引言....................................................................................................................................1

2无穷小思想的由来............................................................................................................23无穷小量的性质................................................................................................................33.1无穷小量的运算.........................................................................................................3

3.2无穷小量阶的比较.....................................................................................................6

3.2.1高阶无穷小.......................................................................................................6

3.2.2等价无穷小.......................................................................................................7

3.2.3同阶无穷小.......................................................................................................84无穷小量的应用...............................................................................................................94.1极限中的无穷小量.....................................................................................................94.2微分中的无穷小量...................................................................................................114.3积分中的无穷小量...................................................................................................134.4级数中的无穷小量...................................................................................................145结束语..............................................................................................................................18

参考文献..............................................................................................................................19

致谢......................................................................................................................................20

关于无穷小量的研究

关于无穷小量的研究

摘要:

无穷小量在数学分析中占有举足轻重的地位，无穷小量具有很好的

性质，它使得一些复杂的极限问题、微积分问题、级数问题简单化（从无穷

小的思想出发，追述历史发展过程到分析学中的应用（全文主要分为三个部

分:

第一部分是对无穷小量的发展过程进行概述;第二部分给出无穷小量的

相关性质，其中主要对无穷个无穷小量的和与积运算后未必是无穷小量进行

了详细证明;第三部分应用无穷小量的等价性、可加性、可乘性解决函数极

限、微分、积分、级数问题;这些问题的解决对加深无穷小量概念的理解有

很大的帮助（

关键词:

无穷小量;极限;微分;积分;正项级数

ResearchontheInfinitesimal

Infinitesimalinmathematicalanalysisinapivotalposition,the:

Abstract

natureofinfinitesimalsgood,itmakesthelimitsofsomeofthecomplex

problemofcalculusproblems,seriessimplificationoftheproblem.Fromthe

infinitelysmallidea,goesbacktotheanalysisofthehistoricaldevelopmentof

science.Full-textisdividedintothreeparts,thefirstpartoftheinfiniteprocess

ofthedevelopmentofasmalloverview,thesecondpartgivestherelevant

propertiesofinfinitesimals,mainlyontheinfinitelyinfinitesimalandwith

productoperationcarriedoutafterasmallamountmaynotbeinfinitefullproof.

Thethirdpartoftheapplicationoftheequivalenceofinfinitesimal,additive,

multiplicativefunctiontosolvethelimit,differentiation,integration,positive

seriesproblemsthesolutionoftheconceptofdeepeningtheunderstandingof

infinitesimalsofgreathelp.

Keywords:

Infinitesimal;Limit;Differential;Integration;Series

1引言

无穷小思想历史悠久，源远流长，M.克莱因曾说过:

“数学史上最使人惊奇的

实事之一是实数系的逻辑基础竞迟至19世纪后叶才建立起来”（而这明显是由于人

[7]们在理解无穷这个概念上所遇到的巨大困难造成的（二千多年来，人们一直没有放

弃对无穷概念的思考探索，企图明白无穷思想的真谛，然而，诚如希尔伯特所说:

“无

穷是一个永恒的谜”要揭开这个谜底还有待时日（本文试图从无穷小的几个性质及其

作用做一点探索（

本文从无穷小的思想出发，首先给出无穷小数列的相关定义和关于函数为无穷小

量的定义，明确在什么前提下才能谈无穷小量.其次谈无穷小量的性质，无穷小量是

-1-

关于无穷小量的研究

有极限变量中最简单而且是最重要的一类，有其自身特殊的性质，两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量，无穷小量与有界量的乘积为无穷小量，本文重点论证了无穷个无穷小量的和与积不一定是无穷小量（无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢（为此，本文考察两个无穷小量的比，以便对他们的收敛速度作出判断即无穷小量阶的比较（再次，无穷小量在高等数学中有着非常重要的地位，他是解决极限问题的基础，而且技巧性很强，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果（最后本文运用无穷小量性质来解决求极限问题、微积分的证明、求级数的敛散性判别、级数的收敛域问题（

2无穷小思想的由来

无穷小思想最初是在哲学范围内提出的，无论是在古希腊还是在中国都是如此，哲学家们对“无穷小”都进行了一定程度的论述（中国就曾有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，并且我国第一个创造性地将无穷小思想运用到数学中的人是魏晋时期的著名数学家刘徽，他天才地提出了用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道:

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体

7,而无所失矣”（可见刘徽对无穷小的认识已相当深刻（到17世纪六七十年代，牛顿和莱布尼茨以无穷小思想为依据，成功运用无限过程的运算，创立了微积分学，无穷小量才有一席之地（数学不再由几何学独占，而是支撑在几何学与微积分这两根支柱上（

古希腊时期，哲学家，数学家就注意了无穷概念（达哥拉斯学派发现了无理数的存在，引起了古希腊数学的危机（稍后埃利亚学派的芝诺提出了四个悖论:

二分说，阿基里斯追龟说，飞箭静止说，运动场悖论，使危机更加加深（这些悖论显然违背人们的常识，迫使更多哲学家和数学家思考无穷小的问题（亚里士多德考虑过无穷的问题，但他只承认潜无穷（阿基米德发明的“穷竭法”中引进了无穷小，无限分割的思想，他的这种类似今天求极限的方法被公认为微积分计算的鼻祖，正是芝诺提出的悖论使人们对无穷小有了最初的认识（

人们从无穷小思想出发，进而想到无穷小量的问题（首先由无界单调增加数列引入无穷小概念，下面给出几个相关定义.

xy定义1设有数列，如果有一无界单调增加数列使,,,,nn

1x,，nyn

2,x则称是无穷小数列（,,n

xa定义2设有数列，如果有一个实数和一无穷小数列使得a,,,,nn

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关于无穷小量的研究

，xaa,，nn

2,limxa,x则称以为极限，记作（a,,nn,,n

x,,0N定义3设有数列，是常数，若对于任意给定的，总存在一个整数，a,,n

nN,使当一切时，都有

xa,,,，n

[14]limxa,x则称为数列的极限，记为（a,,nn,,n

lim0a,定义4若则称a为无穷小数列（,,nnn,,

与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义（

0fUx定义5设在某内有定义，若，，n

，lim0fx,，，xx,0

ff则称为当时的无穷小量（则称为当时的无穷小量（xx,xx,00

3无穷小量的性质

穷小量是有极限变量