三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质.docx

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三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

知识点总结

1．O是的重心;

若O是的重心，则故;

为的重心.

2．O是的垂心;

若O是（非直角三角形）的垂心，则

故

3．O是的外心（或）

若O是的外心则

故

4．O是内心的充要条件是

引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成　，O是内心的充要条件也可以是。

若O是的内心，则

故　;

是的内心;

向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）；

xx例

（一）将平面向量与三角形内心结合考查

例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

解析：

因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在xx，AP平分，则知选B.

（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2．H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.

由,

同理，.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））

例3.（xx）P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D　）

A．外心　B．内心　C．重心　D．垂心

解析:

由.即

则所以P为的垂心.故选D.

（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4．G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.

证明作图如右，图中

连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.

将代入=0，

得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））

例5．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.

证明

∵G是△ABC的重心∴=0=0，即

由此可得.（反之亦然（证略））

例6若为内一点，，则是的（）

A．内心B．外心C．垂心D．重心

解析：

由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。

（四）将平面向量与三角形外心结合考查

例7若为内一点，，则是的（）

A．内心B．外心C．垂心D．重心

解析：

由向量模的定义知到的三顶点距离相等。

故是的外心 ，选B。

（五）将平面向量与三角形四心结合考查

例8．已知向量，，满足条件++=0，||=||=||=1，

求证△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）

证明由已知+=-，两边平方得·=，

同理·=·=，

∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.

反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||.

即O是△ABC所在平面内一点，

++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心.

例9．在△ABCxx，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证：

Q、G、H三点共线，且QG:

GH=1:

2。

【证明】：

以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。

设A（0,0）、B（x1,0）、C（x2,y2），D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：

由题设可设,

即，故Q、G、H三点共线，且QG：

GH=1：

2

例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证.

证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.

xxBO并延长交外接圆于D，xx结AD，CD.

∴，.又垂心为H，，，

∴AH∥CD，CH∥AD，

∴四边形AHCD为平行四边形，

∴，故.

著名的“xx定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“xx线”；

（2）三角形的重心在“xx线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“xx定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.

例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证

证明按重心定理G是△ABC的重心

按垂心定理由此可得.

补充练习

1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足

=（++2）,则点P一定为三角形ABC的（B）

A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）

C.重心D.AB边的中点

1.B取AB边的xx点M，则，由=（++2）可得3，∴，即点P为三角形xxAB边上的xx线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.

2．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：

＋＝＋＝＋，则Ｏ为的（  D  ）

Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心

2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：

，则P为的（  C  ）

Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心

3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：

，则P的轨迹一定通过△ABC的（  C  ）

Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心

4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：

，则P点为三角形的（  D  ）

Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心

5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：

，则P点为三角形的（ B   ）

Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心

6．在三角形ABCxx，动点P满足：

，则P点轨迹一定通过△ABC的：

（B）

Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心

7.已知非零向量与满足（+）·=0且·=,则△ABC为（）

A.xx均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形

解析：

非零向量与满足（）·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又=，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．

8.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=1

9.点O是所在平面内的一点，满足，则点O是的（B）

（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点

（C）三条中线的交点（D）三条高的交点

10.如图1，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，

，则。

证点G是的重心，知O，

得O，有。

又M，N，G三点共线（A不在直线MNxx），

于是存在，使得，

有=，

得，于是得。

例讲三角形中与向量有关的问题

教学目标：

1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法

2、向量的加法、数量积等性质

3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题

4、数形结合

教学重点：

灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题

教学难点：

针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题

教学过程：

1、课前练习

1.1已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

1.2在△ABCxx，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形，上述命题xx正确的是〔〕

A、①②B、①④C、②③D、②③④

2、知识回顾

2.1三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法

2.2向量的有关性质

2.3上述两者间的xx

3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题

例1、已知△ABCxx，有和,试判断△ABC的形状。

练习1、已知△ABCxx，，，B是△ABCxx的最大角，若，试判断△ABC的形状。

4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题

例2、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足，则O是△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题

例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

例4、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

练习3、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且，求证：

6、小结

处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。

7、作业

1、已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则等于〔〕

A、B、、1D、

3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若，则O是△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足，则P是△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

5、平面上的三个向量、、满足，，求证：

△ABC为正三角形。

6、在△ABCxx，O为xx线AM上的一个动点，若AM＝2，求

三角形四心与向量的典型问题分析

向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。

在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。

在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。

下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。

既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学xx。

一、“重心”的向量风采

【命题1】是所在平面上的一点，若，则是的重心．如图⑴.

【命题2】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心.

【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵.

二、“垂心”的向量风采

【命题3】是所在平面上一点，若，则是的垂心．

【解析】由，得，即，所以．同理可证，．∴是的垂心．如图⑶.

【命题4】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心．

【解析】由题意，由于，

即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图⑷.

三、“内心”的向量风采

【命题5】已知为所在平面上的一点，且，，．若，则是的内心．

【解析】∵，，则由题意得，

∵，

∴．∵与分别为和方向上的单位向量，

∴与平分线共线，即平分．

同理可证：

平分，平分．从而是的内心，如图⑸.

【命题6】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的内心．

【解析】由题意得，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图⑹.

四、“外心”的向量风采

【命题7】已知是所在平面上一点，若，则是的外心．

【解析】若，则，∴，则是的外心，如图⑺。

【命题7】已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，