九年级数学典型中考压轴题训练二次函数综合大题.docx

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九年级数学典型中考压轴题训练二次函数综合大题

∙2020年九年级数学典型中考压轴题训练：

二次函数综合大题

1．（2020•九江一模）在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c交于A，B（点A在点B的左侧）两点，点C是该抛物线上任意一点，过C点作平行于y轴的直线交AB于D，分别过点A，B作直线CD的垂线，垂足分别为点E，F．

特例感悟：

（1）已知：

a=-2，b=4，c=6．

①如图①，当点C的横坐标为2，直线AB与x轴重合时，CD=，|a|•AE•BF=．

②如图②，当点C的横坐标为1，直线AB∥x轴且过抛物线与y轴的交点时，CD=，|a|•AE•BF=．

③如图③，当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y=x-3时，CD=，|a|•AE•BF=．

猜想论证：

（2）由

（1）中三种情况的结果，请你猜想在一般情况下CD与|a|•AE•BF之间的数量关系，并证明你的猜想．拓展应用．

（3）若a=-1，点A，B的横坐标分别为-4，2，点C在直线AB的上方的抛物线上运动（点C不与点A，B重合），在点C的运动过程中，利用

（2）中的结论求出△ACB的最大面积．

∙

2．（2020•佛山模拟）如图①，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D的坐标为（1，0），点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；

（3）如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

∙

∙

3．（2020•硚口区模拟）抛物线C：

y=ax2+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），且AB=4OC．

（1）直接写出抛物线C的解析式；

（2）如图1，点M在y轴左侧的抛物线C上，将点M先向右平移4个单位长度，再向下平移n（n≥0）个单位长度，得到的对应点N恰好落在抛物线C上．若S△MNC=2，求点M的坐标；

（3）如图2，将抛物线C向上平移2个单位长度得到抛物线C1，一次函数y=kx+b的图象l与抛物线C1只有一个公共点E，与x轴交于点F，探究：

y轴上是否存在定点G满足∠EGF=90°？

若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

∙

∙

4．（2020•梁园区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线l交抛物线于点B，交y轴于点C（0，-4）．点P是抛物线上一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P关于直线OB的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标；

（3）M是线段OB上的一个动点，过点M作直线MN⊥x轴，交抛物线于点N．当以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似时，直接写出点N的坐标．

∙

∙

5．（2020•广州模拟）已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3=0．

（1）求证：

无论a取任何实数时，该方程总有实数根；

（2）若抛物线y=ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；

（3）在

（2）的条件下，直线y=-x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围．

∙

∙

6．（2020•清江浦区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC、BC、DB、DC．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积时，求m的值；

（3）当m=3时，若点M是x轴正半轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

∙

∙

7．（2020•历下区校级模拟）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点．

（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；

（2）如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

（3）如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形为矩形？

若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

∙

∙

8．（2020•海安市一模）已知平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-k+1与抛物线L：

y=ax2-2ax+a（a＞0）相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与抛物线L的对称轴相交于点C，记抛物线L的顶点为D，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．

（1）若AB∥x轴，AB=2，求a的值；

（2）当k=1，抛物线L与y轴交于（0，2）时，设射线AE与直线BD相交于P点，求

的值；

（3）延长AE，BD相交于点F，求证：

四边形ECDF是平行四边形．

∙

∙

9．（2020•青羊区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：

y=ax2+bx-1经过点A（-2，1）和点B（-1，-1），抛物线C2：

y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．

（1）求抛物线C1的表达式；

（2）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；

（3）在

（2）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．

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∙

10．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线交x轴于A（-2，0），B（3，0），交y轴于C（0，4）．

（1）求抛物线解析式；

（2）点D在第一象限的抛物线上，△ACD与△BDO的面积比为2：

3，求点D的坐标；

（3）在

（2）的条件下，在点C与D之间的抛物线上取点E，EF∥AD交AC于F，EH⊥EF交x轴于G、交FB延长线于H，当EF+HG=EG时，求点E的坐标．

二次函数综合大题练习2

11．（2020•浙江自主招生）如图①，抛物线y=-x2+（m-2）x+3与y轴交于点C，与直线y=mx交于A，B两点（点A，B分别在第一，三象限），连结AC．

（1）当AC⊥AB时，求m的值；

（2）如图②，D是y轴负半轴上一点，且满足∠BDO=∠ACO，连结DA，DB，CB，求四边形DACB的面积．

∙

∙

12．（2020•和平区校级模拟）抛物线y=

x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，其中B（4，0），C（0，2），点P为抛物线上一动点，过点P作PQ平行BC交抛物线于Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）①当P、Q两点重合时，PQ所在直线解析式为；

②在①的条件下，取线段BC中点M，连接PM，判断以点P、O、M、B为顶点的四边形是什么四边形，并说明理由？

（3）已知N（0，

），连接BN，K （3，0），KE∥y轴，交BN于E，x轴上有一动点F，∠EFN=60°，OF的长为．

∙

∙

13．（2020春•雨花区校级月考）如图，二次函数y=2mx2+5mx-12m（m为参数，且m＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（-4，0）．

（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．

（2）若m=

，连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．

（3）在

（2）的条件下，设点M为AC上方的抛物线上一动点（与点A，C不重合），以M为圆心的圆与直线AC相切，求⊙M面积的取值范围．

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∙

14．（2020•浙江自主招生）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2．动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒．连结OP并延长交抛物线于点B，连结AO、AB．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）当A，O，B三点构成以OB为斜边的直角三角形时，求t的值；

（3）请你探究：

当4≤t≤5时，在点P运动过程中，△AOB的外接圆圆心M所经过的路线长度是（请在横线上直接写出答案即可）．

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15．（2020•东城区校级模拟）对于平面中给定的一个图形及一点P，若图形上存在两个点A、B，使得△PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是该图形的一个“美好点”．

（1）若将x轴记作直线l，下列函数的图象上存在直线l的“美好点”的是（只填选项）．

A．正比例函数y=x

B．反比例函数y=

C．二次函数y=x2+2

（2）在平面直角坐标系xOy中，若点M（

n，0），N （0，n），其中n＞0，⊙O的半径为r．

①若r=2

，⊙O上恰好存在2个直线MN的“美好点”，求n的取值范围；

②若n=4，线段MN上存在⊙O的“美好点”，直接写出r的取值范围．

∙

∙

16．（2020•浙江自主招生）若二次函数y=x2-（2b+2）x+b2+2b的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y=ax+2（a+1）的图象恒过定点C．

（1）求点C的坐标及|AB|的值；

（2）若△ABC为等腰三角形，求b的值．

∙

∙

17．（2020•福建模拟）已知抛物线C：

y=

与直线l：

y=kx+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P．

（1）当k=0时，求

的值；

（2）点M是抛物线上的动点，过点M作MG⊥直线l于点G，当k=0时，求

的值；

（3）点M是抛物线上的动点，过点M作MG∥y轴交直线l于点G，当k=2时，求证：

不论b为何实数，

的值为定值，并求定值；

（4）若将

（2）的抛物线改为“y=ax2”，其他条件不变，则

的值还为定值吗？

若是，请求出定值；若不是，说明理由．

18．（2020•长春模拟）定义：

如图，若两条抛物线关于直线x=a成轴对称，当x≤a时，取顶点x=a左侧的抛物线的部分；当x≥a时，取顶点在x=a右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x=a的一对伴随抛物线．例如：

抛物线y=（x+1）2（x≤0）与抛物线y=（x-1）2（x≥0）就是关于直线x=0（y轴）的一对伴随抛物线．

（1）求抛物线y=（x+1）2+3（x≤1.5）关于直线x=1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．

（2）设抛物线y=mx2-2m2x+2（m≠0，m≠4）交y轴于点A，交直线x=4于点B．

①求直线AB平行于x轴时的m的值．

②求∠AOB是直角时抛物线y=mx2-2m2x+2关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标．

③已知点C、D的坐标分别为（8，2）、（8，0），直接写出抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．

∙

∙

19．（2020•青山区模拟）抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．

20．

（1）如图1，已知A（-1，0），B（3，0）．

21．①直接写出抛物线的解析式；

22．②点H在x轴上，D（1，0），连接AC，DC，HC，若CD平分∠ACH，求点H的坐标；

23．

（2）如图2，直线y=-1与抛物线y=-x2+bx+c交于点D，点E，D关于x轴对称．

24．①若点D在抛物线对称轴的右侧，求证：

DB⊥AE；

25．②若点D在抛物线对称轴的左侧，请直接判断，BD是否垂直AE？

∙

∙

20．（2020•朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：

将一个函数的图象在y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，两部分组成的函数图象，称为这个函数的变换图象．

（1）点A（-1，4）在函数y=x+m的变换函象上，求m的值；

（2）点B（n，2）在函数y=-x2+4x的变换图象上，求n的值；

（3）将点C（-

，1）向右平移5个单位长度得到点D．当线段CD与函数y=-x2+4x+t的变换图象有两个公共点，直接写出t的取值范围．

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二次函数综合大题练习3

21．（2020•兴化市模拟）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求b，c的值：

（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y=kx-k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：

无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．

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∙

22．（2020春•沈河区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-

x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．

（1）求抛物线y=-

x2+bx+c和直线BC的函数表达式；

（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；

（3）连接点O与

（2）中求出的点P，交直线BC于点D，点N是直线BC上的一个动点，连接ON，作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD=

DF时，请直接写出点N的坐标．

∙

∙

23．（2020春•雨花区校级月考）若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．

（1）判断抛物线C1：

y=

x2-2

x是否为“等边抛物线”？

如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．

（2）若抛物线C2：

y=ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；

（3）对于“等边抛物线”C3：

y=x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y=x图象的下方，求m的最大值．

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∙

24．（2020春•沈河区校级月考）已知抛物线y=x2+bx+c，经过点B（-4，0）和点A（1，0），与y轴交于点C．

（1）确定抛物线的表达式，并求出C点坐标；

（2）如图1，抛物线上存在一点E，使△ACE是以AC为直角边的直角三角形，求出所有满足条件的点E坐标；

（3）如图2，M，N是抛物线上的两动点（点M在点的N左侧），分别过点M，N作PM∥x轴，PN∥y轴，PM，PN交于点P．点M，N运动时，始终保持MN=

不变，当△MNP的两条直角边长成二倍关系时，请直接写出直线MN的表达式．

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∙

25．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，-

）、B（-2，0），其中点A是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．

（1）求二次函数解析式；

（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一动点，若∠PBA=∠BAD，抛物线交x轴于点C．求△BPC的面积；

（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．

∙

26．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，抛物线y=ax2+bx-

经过点A（-2，

），与x轴相交于B，C两点，且B点坐标为（-1，0）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；

（3）抛物线与y轴交于点Q，连接BQ，DQ，在抛物线上有一个动点P，且S△PBD=S△BDQ，求满足条件的点P的横坐标．

∙

27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知抛物线y=ax2-3ax+m与x轴交于A（-1，0）、B（x2，0）两点，与y轴正半轴交于点C，且满足S△ABC=5．

（1）求此抛物线的对称轴和解析式；

（2）点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，在直线BC上找一点Q，使QA+QD最小，求QA+QD的最小值；

（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠PCA+∠ABC=180°？

若存在，请你求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

∙

∙

28．（2020•长春模拟）定义：

在平面直角坐标系中，点（m，n）是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点（m，n）的“孪生函数”．

29．例如：

图①是函数y=x+1的图象，则它关于点（0，1）的“孪生函数”的图象如图②所示，且它的“孪生函数”的解析式为

.

（1）直接写出函数y=x+1关于点（1，2）的“孪生函数”的解析式．

（2）请在图③的平面坐标系（单位长度为1）中画出函数y=

关于点（-1，-3）的“孪生函数”的图象，并求出图象上到x轴距离为6的所有点的坐标．

（3）点M是函数G：

y=-x2+4x-3的图象上的一点，设点M的横坐标为m，G′是函数G关于点M的“孪生函数”．

①当m=1时，若函数值y的范围是-1≤y＜1，求此时自变量x的取值范围；

②直接写出以点A（1，1）、B（-1，1）、C（-1，-1）、D（1，-1）为顶点的正方形ABCD与函数G′的图象只有两个公共点时，m的取值范围．

∙

∙

29．（2020•江岸区校级模拟）如图，已知直线AB：

y=x-3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y=x2-2x-m与y轴交于C点，与线段AB交于D、E两点（D在E左侧）

（1）若D、E重合，求m值；

（2）连接CD、CE，若∠BCD=∠BEC，求m值；

（3）连接OD，若OD=CE，求m值．

∙

∙

30．（2020•福建模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于C，对称轴为直线x=

．

（1）求a、b满足的关系式；

（2）若点D为抛物线的顶点，连接CD，DB，BC，S△BCD=

．

①求抛物线的解析式；

②点M是第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，线段MN上有一点H，若∠HBA+∠MAB=90°，求证：

HN的长为定值．

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二次函数综合大题练习4

31．（2020•武侯区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-x+1相交于点A（0，1）和点B（3，-2），交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标；

（3）如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值．

∙

∙

32．（2020•河南模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．

①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；

②请直接写出使∠PBA=

∠ABC的点P的坐标．

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33．（2020春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+c的图象经过点A（0，-4）．

（1）请直接写出抛物线的对称轴的表达式．

（2）已知点B（1，-4a），点C在直线AB上，且点C的横坐标为4，请直接写出点C的纵坐标（用含a的式子表示）．

（3）在

（2）的条件下，抛物线的图象与线段BC恰有一个公共点，请直接写出a的取值范围．

∙

∙

34．（2020春•沙坪坝区校级月考）阅读下面材料，回答问题

材料一：

若三个非零实数x，y，z满足：

只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”；

材料二：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）两根x1，x2有如下关系：

x1+x2=-

，x1x2=

．

（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？

请说明理由．

（2）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．

①求证：

A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；

②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（

，

）与原点O的距离OP的取值范围．

∙

∙

35．（2020春•武邑县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x=1，与x轴交于点H．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）直线y=kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为

，求点P，Q的坐标；

（3）在

（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？

若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

∙

∙

36．（2020•武汉模拟）已知：

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C．

（1）则点A的坐标为，点B的坐标为．

（2）如图1，过点A的直线y=ax+a交y正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y轴交AD于E，求证：

AF=DE．

（3）如图2，直线DE：

y=kx+b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DF=FE．若a=1，求点F坐标．

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37．（2020•荔城区校级模拟）已知抛物线y=x2-2mx+m2-3（m是常数）

（1）证明：

无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点．

（2）设抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点分别为B、D，点B在点D的右侧，与y轴的交点为 C．

①若点P为△ABD的外心，求点P的坐标（用含m的式子表示）；

②当|m|≤

，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值？

如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由．

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38．（2020•于洪区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−

x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（-3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）用配方法求点D的坐标；

（3）点P是线段OB上的动点．

①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；

②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；

③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ=OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．

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39．（2020•蜀山