牛吃草问题练习及答案.docx

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牛吃草问题练习及答案

牛吃草问题练习及答案

牛吃草问题

 历史起源：

英国数学家牛顿（1642—1727）说过：

“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。

在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。

  主要类型：

  1、求时间  

  2、求头数  

  除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。

  基本思路：

  ①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。

  ②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。

  ③根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数。

  基本公式：

  解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶  

（1）草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；  

（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`  

  （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；  

  （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度  

  第一种：

一般解法  

  “有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。

如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？

并且牧场上的草是不断生长的。

”  

  一般解法：

把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：

（1）27头牛6天所吃的牧草为：

27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。

）  

（2）23头牛9天所吃的牧草为：

23×9＝207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。

）  

  （3）1天新长的草为：

（207－162）÷（9－6）＝15  

  （4）牧场上原有的草为：

27×6－15×6＝72 

  （5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：

72÷（21－15）＝72÷6＝12（天）  

  所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。

  第二种：

公式解法  

  有一片牧场，草每天都匀速生长（草每天增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。

（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？

（2）要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？

  解答：

  1） 草的生长速度：

（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）  

  原有草量：

21×8-12×8=72（份）  

  16头牛可吃：

72÷（16-12）=18（天）  

  2） 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数  

  所以最多只能放12头牛。

例题一一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？

解：

把每天每头牛吃的草量看成“1”。

第6周时总草量为：

6×27＝162

第9周时总草量为：

9×23＝207

3周共增加草量：

207－162＝45

每周新生长草：

45÷（9－6）＝15即每周生长出的草可以供15头牛吃。

原有草量为：

162－6×15＝72

所以可供21头牛吃：

72÷（21－15）＝12（周）

随堂练习：

1、牧场上有一片草地，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？

解：

20天时草地上共有草：

10×20＝200

10天时草地上共有草：

15×10＝150

草生长的速度为：

（200－150）÷（20－10）＝5

即每天生长的草可供5头牛吃。

原草量为：

200－20×5＝100

可供25头牛吃：

100÷（25－5）＝5（天）

2、一片草地，每天都匀速长出青草。

如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天吃完。

那么可供19头牛吃几天？

解：

6天时共有草：

24×6＝144

10天时共有草：

20×10＝200

草每天生长的速度为：

（200－144）÷（10－6）＝14

原有草量：

144－6×14＝60

可供19头牛：

60÷（19－14）＝12（天）

3、一片牧场长满草，每天匀速生长，这片牧场可供5头牛吃8天，可供14头牛吃2天，问可供10头牛吃几天？

解：

8天时草的总量为：

5×8＝40

2天时草的总量为：

14×2＝28

草每天生长的速度为：

（40－28）÷（8－2）＝2

即每天生长的草可供2头牛吃。

草地上原有的草为：

28－2×2＝24

可供10头牛吃：

24÷（10－2）＝3（天）

4、某牧场上的草，若用17人去割，30天可以割尽，若用19人去割，则只要24天便可割尽，问用多少人割，6天可以割尽？

（草匀速生长，每人每天割草量相同）

解：

（17×30－19×24）÷（30－24）＝9

17×30－9×30＝240

240÷6＋9＝49（人）

5、武钢的煤场，可储存全厂45天的用煤量。

当煤场无煤时，如果用2辆卡车去运，则除了供应全厂用煤外，5天可将煤场储满；如果用4辆小卡车去运，那么9天可将煤场储满。

如果用2辆大卡车和4辆小卡车同时去运，只需几天就能将煤厂储满？

（假设全厂每天用煤量相等。

）

解：

（45＋5）÷5＝10（45＋9）÷9＝645÷（10＋6－1）＝3（天）

6、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？

（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】4

解：

（21×12－23×9）÷（12－9）＝15

23×9－15×9＝72

72÷（33－15）＝4（周）

7、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。

问多少头牛5天可以把草吃完？

解：

（10×20－15×10）÷（20－10）＝5

10×20－20×5＝100

100÷5＋5＝25（头）

例题二由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长多，反而以固定的速度在减少，照这样计算，某牧场草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么，可供多少头牛吃10天？

解：

5天时草地上共有草：

5×20＝100

6天时草地上共有草：

6×15＝90

每天草地上的草减少：

（100－90）÷（6－5）＝10

原草量为：

100＋5×10＝150

10天后还剩下的草量：

150－10×10＝50

50÷10＝5（头）

随堂练习：

1、因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少。

已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。

照这样计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？

解：

5天时草地上共有草：

33×5＝165

6天时草地上共有草：

24×6＝144

每天减少：

（165－144）÷（6－5）＝21

原有的草量为：

165＋5×21＝270

10共减少了：

21×10＝210

10天后剩草量为：

270－210＝60

60÷10＝6（头）

2、天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。

经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。

那么可供11头牛吃几天？

解：

5天时共有草：

20×5＝100

6天时共有草：

16×6＝96

草减少的速度为：

（100－96）÷（6－5）＝4

原有的草量为：

100＋4×5＝120

可供11头牛吃：

120÷（11＋4）＝8（天）

3、因为天气日渐寒冷，牧场上的草不但不生长，反而以固定的速度每天在减少。

如果20头牛去吃20天可以吃完；如果30头牛去吃15天可以吃完。

那么，如果10头牛去吃____天可以吃完。

解：

（30×15－20×20）÷（20－15）＝10

20×20＋10×20＝600

600÷（10＋10）＝30（天）

答：

10头牛去吃30天可吃完。

4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。

已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供12头牛吃7天。

照此计算，可供6头牛吃几天？

解：

假设1头牛1天吃1份的草

20头牛5天一共吃了：

20×5=100份的草

12头牛7天一共吃了：

12×7=84份的草

时间相差：

7-5=2（天）

草量减少：

100-84=16份的草

说明，一天减少：

16÷2=8份的草

5天减少了：

8×5=40份的草

原来牧场上有：

100+40=140份的草

这140份的草，可供6头牛吃：

140÷（6+8）=10（天）

例题三自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

问该扶梯共有多少级台阶？

解：

5分钟时男孩共走了：

20×5＝100（台阶）

6分钟时女孩共走了：

15×6＝90（台阶）

自动扶梯的速度为：

（100－90）÷（6－5）＝10（台阶）

自动扶梯共有：

100＋5×10＝150（台阶）

随堂练习：

1、两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在20秒里，男孩可走27级台阶，女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶？

解：

男孩共走了：

2×60÷20×27＝162

女孩共走了：

3×60÷20×24＝216

自动扶梯的速度：

（216－162）÷（3－2）＝54（台阶）

162－54×2＝54

2、自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。

已知小明每分钟走25级台阶，小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用了6分钟分别到达楼上。

该扶梯共有多少级台阶？

解：

5分钟小明共走了：

25×5＝125

6分钟小红共走了：

20×6＝120

自动扶梯的速度为：

（125－120）÷（6－5）＝5

该扶梯的台阶：

125＋5×5＝150（台阶）

3、自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。

已知小明每分钟走20级台阶，小红每分钟走14级台阶，结果小明用4分钟，小红用了5分钟分别到达楼上。

该扶梯共有多少级台阶？

解：

5分钟小明共走了：

20×4＝80

6分钟小红共走了：

14×5＝70

自动扶梯的速度为：

（80－70）÷（6－5）＝10

该扶梯的台阶：

80＋10×4＝120（台阶）

4、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。

结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。

该扶梯共有多少级？

解：

（50×1－60÷3×2）÷（60－50）＝1

50×1＋50×1＝100（级）

例题四一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入舱内，发现漏洞时已经进了一些水，如果用12人舀水，3小时舀完。

如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。

现在要想2小时舀完水，需要多少人？

解：

把每个人每小时的舀水量看成单位‘1’

3个小时后共有水：

12×3＝36

10个小时后共用水：

5×10＝50

每小时的进水量：

（50－36）÷（10－3）＝2

发现时船舱内有水：

36－3×2＝30

原水量舀完共需：

30÷2＝15（人）

共需：

15＋2＝17（人）

随堂练习：

1、一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。

如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

解：

3小时后共有水：

3×10＝30

8小时后共有水：

8×5＝40

进水速度为：

（40－30）÷（8－3）＝2

原有水量为：

30－