一次函数反比例函数与几何综合解读.docx
《一次函数反比例函数与几何综合解读.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一次函数反比例函数与几何综合解读.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
一次函数反比例函数与几何综合解读
一次函数与几何综合
反比例函数与几何图形、一次函数知识综合起来应用可解决如下几种问题:
（1已知一次函数和反比例函数的解析式,求它们图象的交点坐标,这类题目可通过列方程组来求解;（2判断含有同一字母系数的一次函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中的位置情况,可先由两者中的某一图象确定出字母系数的取值情况,再与另一图象相对照解决;（3已知含有一次函数或反比例函数的信息,求一次函数或反比例函数的关系式;（4利用反比例函数的几何意义求与面积有关的问题。
解这类问题要注意抓住其中的“定点”或对应的值解题。
两种函数有时还会综合到其他题目中,解决时要注意结合相关知识点。
【例1】
已知:
如图,直线y=+x轴交于点A
与直线y=相交于点P.
（1求点P的坐标.
（2请判断OPA∆的形状并说明理由.（3动点E从原点O出发,以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E与点O、
A重合
过点E分别作EFx⊥轴于F,EBy⊥轴于B.设运动t秒时,矩形EBOF与OPA∆重叠部分的面积为S.求:
①S与t之间的函数关系式.
②当t为何值时,S最大,并求S的最大值.
【例2】如图,直线6ykx=+与x轴y轴分别相交于点EF、.点E的坐标为8,0-（,点A的坐标为（60-,
.点,Pxy（是第二象限内的直线上的一个动点。
（1求k值;
（2当点P运动过程中,试写出OPA∆的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;（3探究:
当P运动到什么位置（求P的坐标时,OPA∆的面积为
27
8
并说明理由
【例3】在平面直角坐标系中,直线1
62
yx=-+与x轴、y轴分别交于B、C两点,
⑴直接写出B、C两点的坐标;
⑵直线yx=与直线1
62
yx=-+交于点A,动点P从点O沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,设运
动时间为t秒（即OPt=过点P作PQx∥轴交直线BC于点Q,①若点P在线段OA上运动时（如图,过P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为N、M,设矩形PQMN的面积为S,写出S和t之间的函数关系式,并求出S的最大值;②若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当运动时间t为何值时,过P、Q、O三点的圆与x轴相切.
【例4】如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知直线AC的解析式为y=
交y轴于点A.
（1若一个等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合,求直角顶点B的坐标;
（2若（1中的等腰直角三角板绕着点O顺时针旋转,旋转角度为（
0180
αα
︒<<︒,当点B落在直线AC上的点'B处时,求
α的值;
（3在（2的条件下,判断点'B是否在过点B的抛物线23
ymxx
=+上,并说明理由.
图2
【例5】在平面直角坐标系中,直线
1
6
2
yx
=-+与x轴、y轴分别交于B、C两点,
⑴直接写出B、C两点的坐标;
⑵直线yx
=与直线
1
6
2
yx
=-+交于点A,动点P从点O沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,设运动时间为t秒（即OPt=过点P作PQx
∥轴交直线BC于点Q,①若点P在线段OA上运动时（如图,过P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为N、M,设矩形PQMN的面积为S,写出S和t之
间的函数关系式,并求出S的最大值;②若点P经过点
A后继续按原方向、原速度运动,当运动时间t为何值时,过P、Q、O三点的圆与x轴相切.
补充:
求|x+y|+|x-y|=5图像围成的面积
反比例函数与几何综合
【例1】如图所示,（（111222PxyPxy,,
,……,（nnnPxy,在函数（9
0yxx
=>的图象上,11OPA∆,212PAA∆,323PAA∆,…,1nnnPAA-∆,…都是等腰直角三角形,斜边1121nnOAAAAA-,,…,都在x轴上,则12nyyy+++=…______________.
【例2】如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,点B在函数
k
yx
=
（0k>,0x>的图像上,点P（m,n为其双曲线上的任一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F,并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.
⑴求B点的坐标和k的值;
⑵当9
2
S=
时,求P点坐标;⑶写出S关于m的函数关系式.
【例3】两个反比例函数1kyx=
和（2120k
ykkx
=>>在第一象限内的图象如图所示,动点P在1kyx=的图象上,PCx⊥轴于点C,交2kyx=的图象于点A,PDy⊥轴于点D,交2k
yx=的图象于
点B.
⑴求证:
四边形PAOB的面积是定值;⑵当
23PAPC=时,求
DB
BP
的值;⑶若点P的坐标为（52,,OABABP∆∆,
的面积分别记为OABS∆、ABPS∆,设ABPOABSSS∆∆-=.①求1k的值;
②当2k为何值时,S有最大值,最大值为多少?
k2x
【例4】如图,点A、B在反比例函数k
yx
=
（0k>的图象上,且点A、B的横坐标分别为a和2a（0a>ACx⊥轴,垂足为C,AOC∆的面积为2.（1求反比例函数的解析式;
（2若点（a-,1y,（2a-,2y也在反比例函数的图象上,试比较1y与2y的大小;（3求AOB∆的面积.
【例5】已知:
在矩形AOBC中,4OB=,3OA=.分别以OBOA,所在直线为x轴和y轴,建立如图
所示的平面直角坐标系.F是边BC上的一个动点（不与BC,重合,过F点的反比例函数（0
k
ykx
=>的图象与AC边交于点E.
（1求证:
AOE△与BOF△的面积相等;
（2记OEFECFSSS=-△△,求当k为何值时,S有最大值,最大值为多少?
（3请探索:
是否存在这样的点F,使得将CEF△沿EF对折后,C点恰好落在OB上?
若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【例6】如图,点（1Amm+,,（31Bmm+-,都在反比例函数k
yx
=
的图象上.（1求mk,
的值;（2如果M为x轴上一点,N为y轴上一点,以点ABMN,
,为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN的函数表达式.
【例7】如图,已知反比例函数12
yx
=
的图象和一次函数7ykx=-的图象都经过点（2Pm,
.①求这个一次函数的解析式;②如果等腰梯形ABCD的顶点AB,
在这个一次函数图象上,顶点CD,在这个反比例函数图象上,两底AD,BC与y轴平行,且A和B的横坐标分别为a和2a+,求a的值。
【例8】反比例函数2k
yx
=
和一次函数21yx=-,其中一次函数图像经过（ab,,（1abk++,两点.（1求反比例函数的解析式;
（2求出两函数的交点A的坐标.在x轴上是否存在点P,使AOP∆为等腰三角形?
若存在,把符合
条件的点P的坐标都求出来;若不存在,请说明理由.
【例9】如图,已知反比例函数12k
yx
=的图象与一次函数2ykxb=+的图象交于AB,
两点,（1122AnB⎛⎫
--⎪⎝⎭
,,.
（1求反比例函数和一次函数的解析式;
（2在x轴上是否存在点P,使AOP∆为等腰三角形?
若存在,请你直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【例10】将直线yx=向左平移1个单位长度后得到直线a,如图,直线a与反比例函数（1
0yxx
=
>的图象相交于A,与x轴相交于B,则22OAOB-=_____________.
【例11】如图,直线ykxb=+与反比例函数（0kyxx
=
<′
的图象相交于点A、点B,与x轴交于点C,其中点A的坐标为（24-,
点B的横坐标为4-.（1试确定反比例函数的关系式;
（2求AOC∆的面积.
【例12】如图甲,点（1,2在函数k
yx
=
（0x>的图象上,矩形ABCD的边BC在x轴上,点E是对角线BD的中点,函数k
yx
=
（0x>的图象又经过点A、E,点E的横坐标为m。
（1求k的值;
（2用含m的代数式表示B、D两点的坐标;
（3当45ABD∠=时,求直线BD的解析式;
（4在（3的条件下,延长DA交y轴于点F,连接FC。
若在AB与CD之间的这段双曲线上有一动点P,过点P作PGy⊥轴于点G,交线段FC于点M,过点P作PHx⊥轴于点H,交线段FC于点N（如图乙,问
CMFN⋅是否为定值?
若是,请求出该定值;若不是请说明理由。
（图甲（图乙
【例13】已知函数kyx
=
的图象上有一点（,Pmn,且,mn是关于x的方程22
44680xaxaa-+--=的两个实数根,其中a是使方程有实数根的最小整数,求函数k
yx
=的解析式。
【例14】心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上
课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知,学生的注意力指标数y随时间x（分钟的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段,CD为双曲线的一部分:
（1开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?
（2一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?
【例15】下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图:
将给定的锐角∠AOB置于直角坐
标系中,边OB在x轴上,边OA与函数x
y1
=
的图象交于点P,以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两直线相交于点M,连接OM得到∠MOB,则∠MOB=3
1
∠AOB.
（1帕普斯的方法究竟是如何证明的呢?
请写出证明过程（2你能三等分一个钝角吗?
（用文字简要说明
【例16】如图,已知RtABC∆的顶点A是一次函数yxm=+与反比例函数m
yx
=
的图像在第一象限内的交点,且3AOBS∆=.
（1该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定?
如能确定,请写出它们的解析式;如不能确定,请说明理由.（2如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点,过D作DEx⊥轴于E,那么ODE∆的面积与AOB∆的面积的大小关系能否确定?
（3请判断AOD∆为何特殊三角形,并证明你的结论.
【例17】如图所示,设反比例函数1
yx
=
的两支为12CC,,正三角形PQR三个顶点位于此反比例函数的图象上.
（1求证:
PQR,
不能都在反比例函数的同一支上.（2设（1P-,
-1在2C上,QR、在1C上,求顶点QR,的坐标.
y
习题
已知直线3yx=+的图象与xy、轴交于AB、两点,直线l经过原点,与线段AB交于点C,把AOB∆的面积分为2:
1的两部分,求直线l的解析式。
如图,在x轴上有五个点,它们的横坐标依次为12345,
,,.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线yax=,（1yax=+,（2yax=+相交,其中0a>,则图中阴影部分的面积是_________.
x
x
如图,在直角梯形ABCD中,45C∠=︒,上底3AD=,下底5BC=,P是CD边形ABPD的面积用y表示.
（1求y与x之间的函数关系式;
（2当四边形ABPD的面积是梯形ABCD面积的一半时,求点P的位置.
P
D
C
B
A
如图,P是函数1
2yx
=
（0x>图象上一点,直线1yx=-+交x轴于点A,交y轴于点B,PMOx⊥轴于M,交AB于E,PNOy⊥轴于N,交AB于F.求AFBE⋅的值.
已知直线1l经过点10A-（,与点23B（,,另一条直线2l经过点B,且与x轴交于点（0Pm,
.（1求直线1l的解析式。
（2若APB∆的面积为3,求m的值。
在平面直角坐标系中,CAx⊥轴于点10A（,,BDx⊥轴于点（30B,,直线CD与x轴、y轴分别交于点FE,,且解析式3ykx=+,4ABCDS=四边形,求直线CD的解析式。
如图,在平面直角坐标系中,点（,Pxy是第一象限直线6yx=-+上的点,点（5,0A,O是坐标原点,PAO∆的面积为s,求s与x的函数关系式
.
正比例函数ykx=（0k>与反比例函数1
yx
=的图象相交于A、C两点,过A作ABx⊥轴于B,连结BC,若ABC
∆的面积为S,求S.
已知:
等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图,点A
的坐标为（
3-,,点B的坐标为（60-,.
（1若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形OAB'',请直接写出A、B的对称点A'、B'的坐标;（2若将三角形OAB沿x轴向右平移a个单位,此时点A
恰好落在反比例函数y=的图像上,求a的值;
（3若三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转α度（090α<<.当α=30时点B恰好落在反比例函数
k
yx=的图像上,求k的值.
升级会员 