初中数学一轮复习几何与变换篇第五节多边形和平行四边形导学练.docx

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初中数学一轮复习几何与变换篇第五节多边形和平行四边形导学练

多边形和平行四边形

学习目标：

1.掌握多边形及其正多边形意义

2.把握多边形内角和和外角和公式；

3.熟练把握平行四边形的性质与判定及其运用；

复习反馈：

1.

（1）正多边形的意义：

在平面内，各个角都相等，并且个别也都相等的多边形叫做正多边形；

（2）多边形的内角和与外交和：

六边形的内角和是度，它的外角度数和是度。

2.平行四边形性质：

如图5－1，在ABCD中，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，

则下列各式不正确的是（）

A.AC⊥BDB.AB=CDC.BO=ODD.∠BAD=∠BCD

3.平行四边形的判定：

已知如图5－2，四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O.

有以下几个条件：

AB∥CD；

AB=CD；

BC∥AD；

BC=AD；

AO=CO；

BO=DO；从这些条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法______共有种.

合作探究：

考点1多边形内、外角和定理的应用

（2015•安徽,第8题4分）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（　　）

　A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=∠ADCD．∠ADE=∠ADC

考点：

多边形内角与外角；三角形内角和定理．

分析：

利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C，根据∠A=∠B=∠C，得到∠ADE=∠EDC，因为∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠EDC=∠EDC，所以∠ADC=∠ADC，即可解答．

解答：

解：

如图，

在△AED中，∠AED=60°，

∴∠A=180°﹣∠AED﹣∠ADE=120°﹣∠ADE，

在四边形DEBC中，∠DEB=180°﹣∠AED=180°﹣60°=120°，

∴∠B=∠C=（360°﹣∠DEB﹣∠EDC）÷2=120°﹣∠EDC，

∵∠A=∠B=∠C，

∴120°﹣∠ADE=120°﹣∠EDC，

∴∠ADE=∠EDC，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠EDC=∠EDC，

∴∠ADE=∠ADC，

故选：

D．

点评：

本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是根据利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C．

考点2平行四边形的性质

（2015•本溪，第8题3分）如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（　　）

　A．10cmB．8cmC．6cmD．4cm

考点：

平行四边形的性质．

分析：

根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．

解答：

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAE=∠BAE，

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，

∵▱ABCD的周长为20cm，

∴x+x+2=10，

解得：

x=4，

即AB=4cm，

故选D．

点评：

本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．

考点3平行四边形的判定

（2015•乌鲁木齐,第19题10分）如图，▱ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧），BE∥DF．求证：

四边形BEDF是平行四边形；

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．

分析：

（1）通过全等三角形△BEC≌△DFA的对应边相等推知BE=DF，则结合已知条件证得结论；

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠DAF=∠BCE．

又∵BE∥DF，

∴∠BEC=∠DFA．

在△BEC与△DFA中，

，

∴△BEC≌△DFA（AAS），

∴BE=DF．

又∵BE∥DF，

∴四边形BEDF为平行四边形；

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

考点4平行的性质与判定的综合应用

（2015•桂林）（第21题）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．

（1）求证：

四边形EBFD为平行四边形；

（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：

△ABN≌△CDM．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定．

专题：

证明题．

分析：

（1）根据平行四边形的性质：

平行四边的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；

（2）根据平行四边的性质：

平行四边形的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根据全等三角形的判定，可得答案．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE=DF，

∵BE∥DF，

∴四边形EBFD为平行四边形；

（2）证明：

∵四边形EBFD为平行四边形，

∴DE∥BF，

∴∠CDM=∠CFN．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，

∴∠ABN=∠CDM，

在△ABN与△CDM中，

，

∴△ABN≌△CDM（ASA）．

点评：

本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，根据条件选择适当的判定方法是解题关键．

形成提升：

1.（2015•山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　）

　A．27B．35C．44D．54

2.（2015•怀化，第6题4分）一个多边形的内角和是360°，这个多边形是（　　）

　A．三角形B．四边形C．六边形D．不能确定

3.（2015•营口，第4题3分）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（　　）

　A．61°B．63°C．65°D．67°

4.（2015年四川省广元市中考，18,7分）求证：

平行四边形的对角线互相平分（要求：

根据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）．

5.（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．判断四边形ACGD的形状，并说明理由．

6.（2015•山东泰安,第28题10分）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

7.（2015•毕节市）（第24题）如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE=AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．

（1）求证：

四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的长．

【归纳总结】

【形成提升参考答案】

1.（2015•山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　）

　A．27B．35C．44D．54

考点：

多边形内角与外角．.

分析：

设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法

，即可解答．

解答：

解：

设这个内角度数为x，边数为n，

∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，

180n=1870+x，

∵n为正整数，

∴n=11，

∴

=44，

故选：

C．

点评：

此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．

2.（2015•怀化，第6题4分）一个多边形的内角和是360°，这个多边形是（　　）

　A．三角形B．四边形C．六边形D．不能确定

考点：

多边形内角与外角．

分析：

本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于360°，列出方程，解出即可．

解答：

解：

设这个多边形的边数为n，

则有（n﹣2）180°=360°，

解得：

n=4，

故这个多边形是四边形．

故选：

B．

点评：

本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．

3.（2015•营口，第4题3分）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（　　）

　A．61°B．63°C．65°D．67°

考点：

平行四边形的性质．

分析：

由平行四边形的性质可知：

AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．

解答：

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA=42°，

∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，

故选C．

点评：

本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．

4.（2015年四川省广元市中考，18,7分）求证：

平行四边形的对角线互相平分（要求：

根据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）．

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

首先根据题意画出图形，再写出命题的已知和求证，最后通过证明三角形全等即可证明命题是正确的．

解答：

已知：

平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

求证：

OA=OC，OB=OD

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠1=∠2，

在△AOD和△COB中，

∴△AOD≌△COB（AAS），

∴OA=OC，OB=OD．

点评：

此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟记平行四边形的各种性质以及全等三角形的各种判定的各种方法．

5.（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．判断四边形ACGD的形状，并说明理由．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．.

专题：

证明题．

分析：

（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；

解答：

（1）解：

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AB=

BC，

∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，

∴BD=

=BC

=2BC，

∵G为BD的中点，

∴BG=BD=BC，

∴△CBG为等腰直角三角形，

∴∠CGB=45°，

∵∠ADB=45°，

AD∥CG，

∵∠ABD=45°，∠ABC=45°

∴∠CBD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBD+∠ACB=180°，

∴AC∥BD，

∴四边形ACGD为平行四边形；

点评：

本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．

6.（2015•山东泰安,第28题10分）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

考点：

全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.

专题：

证明题．

分析：

（1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；

（2）设AC与FD交于点O．利用

（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．

证明：

（1）延长DE交AB于点G，连接AD．

∵四边形BCDE是平行四边形，

∴ED∥BC，ED=BC．

∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，

∴AG=BG，DG⊥AB．

∴AD=BD，

∴∠BAD=∠ABD．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．

又BF=BC，

∴BF=DE．

∴在△AED与△DFB中，

，

∴△AED≌△DFB（SAS），

∴AE=DF，即DF=AE；

（2）设AC与FD交于点O．

∵由

（1）知，△AED≌△DFB，、

∴∠AED=∠DFB，、

∴∠DEO=∠DFG．

∵∠DFG+∠FDG=90°，

∴∠DO+∠EDO=90°，

∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．

点评：

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

7.（2015•毕节市）（第24题）如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE=AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．

（1）求证：

四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的长．

考点：

平行四边形的判定与性质．.

分析：

（1）利用平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，进而利用已知得出DE=FC，DE∥FC，进而得出答案；

（2）首先过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长，进而得出答案．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∵DE=AD，F是BC边的中点，

∴DE=FC，DE∥FC，

∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）解：

过点D作DN⊥BC于点N，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，

∴∠BCD=∠A=60°，

∵AB=3，AD=4，

∴FC=2，NC=DC=，DN=

，

∴FN=，则DF=EC=

=

．

点评：

此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．