数学分析单位时间内的血流量问题研究doc.docx

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数学分析单位时间内的血流量问题研究doc

单位时间内的血流量问题研究

白城师范学院数学与应用数学

姓名：

2013年6月1日星期六

单位时间内的血流量问题研究

摘要

本文研究单位时间内血管内血流量的大小，通过数学模型对其研究求解。

模型的建立利用数学分析上册课程所学习定积分在几何物理方面的应用，所求定积分为最后所需要的单位时间内血管的流量。

在文章之前的假设模型中提到血流量的计算产生误差，产生误差的原因有：

血管温度、血压、血流阻力、血管弯曲程度，血管壁损伤等。

本文仅对血流阻力的定义，形成原因和计算方法进行探究。

血流量是可以通过科学的测量方法进行测量的，方法有：

注入追踪法、容积法、电磁流量计法、超声多普勒法血流测量，核磁共振法血流测量还有激光多普勒血流测量。

本文主要内容是数学分析知识定积分在医学上血流量测量上的应用、分析与探讨，列举了数学模型的应用条件，产生误差的原因、形成特点及计算，通过数据的方式进行分析。

文章中所列举的物理学，生物学测量计算方法，对本文所提的数学建模方法，有实际性的监控作用，由于时间原因文中没有对数据进行实际性的应用和反馈；由于数学模型应用条件的存在，也没有带入实际数据进行计算。

文章涉及范围较广，包含医学等数学方面的理论知识。

文章最后证实数学模型对所求问题有效，误差存在合理，所应用测算方法真实有效。

正文

问题重述

本论文所研究的问题是单位时间内血流量的问题研究，其背景是在将血管堪称一个圆柱形管子，他的圆截面的半径为R（厘米），管中的血流平行于血管的中心轴。

距离中心轴r处血的流速为V=

。

计算单位时间内血管中的血流量Q（立方米/秒）。

符号说明：

我们所设小圆环的半径dr（cm）；单位时间内经过所有小圆环的血流总量Q（立方米/秒）；

模型假设：

在本模型建立之前，一些不可避免的条件对模型会产生影响，例如血管温度、血压、血流阻力、血管弯曲程度、血管壁损伤等对血流速度的影响，导致模型对所求问题的结果产生误差。

理想的数学模型需要在一定的环境下得以应用，例如血管的种类不同，包括毛细血管、静动脉血管、脑血管等。

问题分析：

本论文所讨论的问题是利用数学模型求得血液在理想血管内的单位时间内的血流量，利用数学分析知识：

定积分在几何、物理方面的应用对所提问题进行解答，建立定积分模型。

必要对影响条件，血管环境、血管种类进行分析，利用科学测量法对单位时间内的血流量，再用所得到的结果加以比对，分析误差。

建立模型与求解验证

将血管看成是一个圆柱形管子，他的圆截面半径为R（cm），管中的血流平行于血管的中心轴。

距离中心轴r处血的流速为V=

。

计算单位时间内血管中的血流量Q（立方米/秒）。

法一：

将血管的圆截面分成许多圆环，每个圆环宽度dr，则小圆环面积的近似值为２πｒｄｒ，单位时间内通过该圆环的血流量为dQ=V（r）2πｒｄｒ把单位时间内通过所有同心圆环的血流量相加，即得：

法二：

单位时间内通过半径为R的血管中血流量实际上是曲线V沿血管的中心线旋转而成的旋转体体积。

令

，则

所以

在定积分定义及其应用教学中融入数学建模思想对于理解与掌握定积分定义及其在几何、物理、医学和经济学等方面的应用，关键在于对“微元法”的讲解。

而要掌握这个数学模型，就一定要理解“以不变代变”的思想。

以单位时间内流过血管截面的血流量为例，我们来具体看看这个模型的建立与解决实际问题的整个思想与过程。

假设有一段长为l、半径为R的血管，一端血压为P1，另一端血压为P2（P1＞P2）。

已知血管截面上距离血管中心为γ处的血液流速为

V（r）=P1－P2/4ηｌ（R２－r２）

式中η为血液粘滞系数，求在单位时间内流过该截面的血流量［3,4］（如图1（a）

要解决这个问题，我们采用数学模型：

微元法。

因为血液是有粘性的，当血液在血管内流动时，在血管壁处受到摩擦阻力，故血管中心流速比管壁附近流速大。

为此，将血管截面分成许多圆环来讨论。

建立坐标系，取血管半径γ为积分变量，γ∈［0,R］于是有如下建模过程：

①分割：

在其上取一个小区间［r,r+dr］，则对应一个小圆环。

②以“不变代变”（近似）：

由于dr很小，环面上各点的流速变化不大，可近似看作不变，所以可用半径为r处圆周上流速V（r）来近似代替。

此圆环的面积也可以近似看作以圆环周长2πｒ为长，dr为宽的矩形面积2πｒｄｒ，则该圆环内的血流量可近似为：

ΔＱ≈Ｖ（ｒ）２πｒｄｒ，则血流量微元为：

dQ=V（r）2πｒｄｒ。

③求定积分：

单位时间内流过该截面的血流量为定积分：

Ｑ＝Ｒ０V（r）2πｒｄｒ。

误差分析

成因（部分）：

1.血流阻力（求法）

2.血压（原因）

【1】血流阻力-血流阻力定义

血液在血管内流动时所遇到的阻力，称为血流阻力。

血流阻力的产生，是由于血液流动时因摩擦而消耗能量，一般是表现为热能。

这部分热能不可能再转换成血液的势能或动能，故血液在血管内流动时压力逐渐降低。

在湍流的情况下，血液中各个质点不断变换流动的方向，故消耗的能量较层流时更多，血流阻力就较大。

如何得出

　　血流阻力一般不能直接测量，而需通过计算得出。

血液在血管中的流动与电荷在导体中流动有相似之处。

根据欧姆定律，电流强度与导体两端的电位差成正比，与导体的电阻成反比。

这一关系也适用于血流，即血流量与血管两端的压力差成正比，与血流阻力R成反比，可用下式表示：

　　Q=（P1-P2）/R

　　在一个血管系统中，若测得血管两端的压力差和血流量，就可根据上式计算出血流阻力。

如果比较上式和泊肃叶定律的方程式，则可写出计算血流阻力的方程式，即：

　　R=8ηL/πr4

这一算式表示，血流阻力与血管的长度和血液的粘滞度成正比，与血管半径的4次方成反比。

由于血管的长度变化很小，因此血流阻力主要由血管口径和血液粘滞度决定。

对于一个器官来说，如果血液粘滞度不变，则器官的血流量主要取决于该器官的阻力血管的口径。

阻力血管口径增大时，血流阻力降低，血流量就增多；反之，当阻力血管口径缩小时，器官血流量就减少。

机体对循环功能的调节中，就是通过控制各器官阻力血管和口径来调节各器官之间的血流分配的。

【2】编辑本段血流量血流阻力-计算方法

血流阻力一般不能直接测量，而需通过计算得出。

血液在血管中的流动与电荷在导体中流动有相似之处。

根据欧姆定律，电流强度与导体两端的电位差成正比，与导体的电阻成反比。

这一关系也适用于血流，即血流量与血管两端的压力差成正比，与血流阻力R成反比，可用下式表示：

Q=（P1-P2）/R

在一个血管系统中，若测得血管两端的压力差和血流量，就可根据上式计算出血流阻力。

如果比较上式和泊肃叶定律的方程式，则可写出计算血流阻力的方程式，即

R=8ηL/πr4

这一算式表示，血流阻力与血管的长度和血液的粘滞度成正比，与血管半径的4次方成反比。

由于血管的长度变化很小，因此血流阻力主要由血管口径和血液粘滞度决定。

对于一个器官来说，如果血液粘滞度不变，则器官的血流量主要取决于该器官的阻力血管的口径。

阻力血管口径增大时，血流阻力降低，血流量就增多；反之，当阻力血管口径缩小时，器官血流量就减少。

机体对循环功能的调节中，就是通过控制各器官阻力血管和口径来调节各器官之间的血流分配的。

【3】

（一）血流量与血流速度

　　血流量是单位时间内流过血管某一截面的血量，也称为容积速度，其单位为每分钟的毫升数或升数（ml/min或L/min）。

根据流体力学原理，流体在流动时，流量，压力差和阻力之间的关系和电学中的欧姆定律相同，即血流量Q和血管两端的压力差成正比，和血流量的阻力R成反比，可写成下式：

Q=DP（P1-P2）/R

　　在整个体循环系统，Q相当于心输出量，R相当于总外周阻力，（DP相当于平均主动脉压与右心房压之差。

由于右心房压接近于零，故（DP接近于平均主动脉压。

因此，心输出量Q＝P/R。

而对某一器官来说，Q相当于器官的血流量，（DP相当于灌注该器官的平均动脉压和静脉压之差，R相当于该器官的血流阻力。

血流速度是指血液在血管内流动的直线速度，即单位时间内，一个质点在血管中前进的距离。

各类血管中的血流速度与同类血管的总横截面积成反比，由于毛细血管的总横截面积最大，主动脉的总横截面积最小，因此，血沉速度在毛细血管中最慢，约0.5~1mm/s在主动脉中最快。

除血管横截面积外，动脉的血流速度与心室的舒缩状态有关，在一个心动周期中，心缩期流速较心舒期为快。

此外，在同一血管中，靠近管壁的血流摩擦力较大，故流速较慢，愈近管腔中心，流速越快。

血流主要方式：

层流和湍流

血压

血压是指血管内血液对单位面积血管壁的侧压力。

单位：

kpa。

根据不同的的血管，血压分有动脉血压，静脉血压和毛细血管血压。

【4】测量血流量的方法

传统的血流计量方法有:

（1）注入示踪法:

将某些示踪物质（如荧光物质、染料等）注入血管,然后测其移动的速率,典型方法有费克氏（Fick）方法、快速注入指示剂稀释法等。

（2）容积法:

将某一器官或机体某一部分的静脉回流阻断,则在阻断期间,该器官

组织的容积变化将代表该时间内进入这部分组织的血量。

（3）电磁流量计法:

在血管的垂直方向加磁场,当血管中血流通过时,产生感应电动势,从而求出血流速度。

另外,在生物医学实验或临床中还常

用一些血流量传感器以及机械式的血流量计等。

但由于传统方法的空间分辨率低,而且有些方法操作复杂,需进行有损测量,所以也给快速测量带来了困难。

随着现代科学技术的不断发展,在血流测量方法上出现了许多高分辨率、无损、快速的测量方法。

作为超声波的接收者是运动着的,所以红血球接收，如超声多普勒方法、激光多普勒方法、核磁共振方法等,在生物医学领域发挥着越来越大的作用。

则接收器的频率f与声源发出的f有如下关系:

本文主要介绍了利用超声多普勒方法和激光多普勒方法测量血流速度的基本原理,同时也对核磁共振法测量血流的原理作了简要介绍。

一、超声多普勒法血流测量

随着现代电子学的发展,超声技术在生物医学诊断和测量中的应用日益广泛。

超声多普勒血流测试仪是一种利用超声波的多普勒效应测定血液流量和诊断某些血管变异疾病的仪器,与传统方法相比,它具有无损伤测量的优越性,所以更加受到重视。

当波源和接收器在连续介质中作相对运动时,接收器所接受到的波的频率与波源所发出的波的频率不同的现象称为多普勒效应。

这一现象是奥地利物理学家多普勒（C.Doppler）于1842年首先发现的;实验证明,声波、超声波和电磁波都存在多普勒效应。

设声源的频率为f,波源与接收器相对于介质的速度分别为u和v,波在介质中的传播速度为c

当声源向接收器移动时，u取正值；当接收器移向声源时，v取正值；反之，取负值。

当f、c和一定时,多普勒频移信号f仅与血液中的红血球的流动v有关。

因此,只要测得f就可以求得相应的血流速度。

超声多普勒测速的空间分辨率在毫米级,所以在对微循环进行测量时,精度还不符合要求。

二、激光多普勒血流测量原理

激光多普勒测速技术,是60年代发展起来70年代起,开始将这一技术应用于检测血流信息及生物医学的其他方面。

由于这种技术比较充分地利用了激光相干性好、能量集中的特点,使得这种测速技术具有空间分辨率高、精确、动态响应宽、可做非侵入快速测量等突出优点。

图2所示是一个激光多普勒测速系统。

它包括三大部分:

激光发射系统,激光接收和光电转换系统,信号处理系统。

当入射光射到粒子上（如血液中的红血球）,光子被散射,散射光分布在各个方向上,探测器接收的是与入射光方向成O角的散射光;因散射粒子相对于入射光的运动速度不为零,其散射光就有多普勒频移。

而相对于入射光和接收器运动速度为零的粒子（如血管壁等）所散射的光不会有频移,这两束光照射到接收器光电阴极上进行混频，就会成“拍”，而有光拍低频信号输出。

由此可见,激光测速的理论基础是多普勒效应与激光的相干性。

如图3所示

若血管中随血流运动着的红血球p相对于光源O的速度为v,则散射光频率fp相对于单入射光f有一个频移:

其中c为介质中的光速。

若接收器在接收点S沿接收方向r观测时,由于ps间相对速度也不为零,所以在s处接收到的频率fs相对于fp又有一个频移:

忽略高次项,可得

由上式可知,当入射光的波长为,光路几何安排确定后,则多普勒频移和血流速度v成线性关系,测出f即可得到v。

三、核磁共振法血流测量原理

利用核磁共振原理进行活体血流量测定是20世纪50年代末开始发展起来的,它也是一种非损伤性的测量方法,可以连续地、无损伤地测量和监视血流量,它既可以测量外周动脉和静脉血流,又可测量体内较深部位器官的血流。

测量的可靠性可与电磁血流计媲美,其非损伤性连续监测的优点,不亚于超声探测血流技术。

在力学中,我们知道当作用在振动物体上的外光力的频率与振动体的固有频率相同,而且保持外力和振动方向相同时,则振动系统的振幅最大,这种现象叫做机械共振。

发生共振必须满足频率和相位的条件。

当具有磁矩的原子核放在外磁场B0中,磁场对核磁而矩有一个作用力,使核的自旋轴向与磁场方向成一角度,此时原子核在自身旋转的同时又以B为轴作进动。

如果原子核在进动中吸收外界能量产生一种能级跃迁现象,我们称之为核磁共振。

这里所说的外界能量是一个激励电磁场（射频场）,它的磁矢量方向与B0垂直,而磁场的旋转方向与核磁矩的回转方向相同,当该射频场的频率与核磁矩的进动频率相等时,就会发生核磁共振。

表明核磁共振时能量跃迁只能在相邻两能级之间进行。

也就是说,当激励磁场的能量h!

。

正好等于两能级时,则处于低能级的原子核就有可能吸收能量跃迁到高能级.

（这里自己写一些参考文献老师应该给一些文献资料吧）