《概率论与数理统计》科学出版社课后习题答案doc.docx

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第二章随机变量

2.1

X2

3

45

6

7

8

9

10

11

12

P1/3

1/1

1/1

1/

5/31/

5/3

1/

1/1

1/1

1/3

6

8

2

9

6

6

6

9

2

8

6

co

2.2解：

根据£p（X

k=0

=k）=

cc

i,得疽

k=0

=19

即如

1—i

-I

厂］=1。

故a=e-\

2.3解：

用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B（2,0.7）

用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B（2,0.4）

（1）两人投中的次数相同

P（X=Y}=P{X=O,Y=O}+P{X=1/Y=1）+P{X=2/Y=2}=

（7"0.7°0.32xC：

0.4°06+C；0.7'0"x^'O.4'0.61+（7；O.72O.3ox£?

；0.420.6°=0.3124

（2）甲比乙投中的次数多

P{X>Y}=P{X=1,Y=O}+P（X=2/Y=0}+P（X=2#Y=1）=

C；0.7i0.3'x（7"0.4°0.62+C：

0.72（）.3°x（7"0.4°0.62+C"0.720.3°x。

：

0.4’0.6’=0.5628

2.4解：

（1）P{1^X^3}=P（X=1}+P（X=2}+P{X=3}=-+—+-=-

1515155

（2）P（O.5

11

2.5解：

（1）P{X=2,4,6,…}二兰+^+二+…上二血~~=-

22242622k5.I3

1

4

（2）P（X^3}=l-P{X<3}=l-P{X=l）-P（X=2}=l-|-i=l

2.6解：

设a,表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0,

L2

P{X=0}=p{不瓦兄*}=P（不）P（瓦I君）P（存I不瓦）P（瓦I不瓦砌=

1817161512XXX2019181719

P{X=1}=P{A]瓦瓦瓦}+P{忘否瓦}+P{&瓦&瓦}+尸{不买瓦&}

218171618217161818216181716232

-20191817201918172019181720191817~95

12323

P{X=2}=l-P{X=0}-P{X=l}=i=—

199595

2.7解：

（1）设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B（4,0.4）

P（X23）=P（X=3）+P（X=4）=C：

0.430.6'+C：

0.4,0.6°=0.1792

⑵设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B（5,0.4）

P（X23）=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=+C：

0.4,0.6'+（7^（）.45（）.6°=0.31744

2.8

（1）X〜P0）=P（O.5X3）=P（1.5）

P{X=0}=

1.5°

0!

（2）X〜P（入）=P（0.5X4）=P

（2）

2°21

P{X>2}=l-P{X=0}-P{X=!

}=!

-—e-2-—e-2=l-3e-2

2.9解：

设应配备m名设备维修人员。

又设发生故障的设备数为

X,贝0X~8（180,0.01）。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99,即

P（X0.99,也即

P（X>m+l）<0.01

因为"=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为

2=180x0.01=1.8的泊松分布。

查泊松分布表，得，当m+l=7时上式成立，得m=6o

故应至少配备6名设备维修人员。

2.10解：

一个元件使用1500小时失效的概率为

即）10001000I

P（1000

Jooor2v3

A人1（XX）°

设5个元件使用1500小时失效的元件数为匕则—B（5,|）o

所求的概率为

P（K=2）=C；（!

）2x（：

）3=¥=0.329

2.11解：

（l）P（X<2）=F

（2）=ln2

P（0

P（2

（2）=In2.5一In2=In1.25

2.12M：

得{二。

（2）3=F，（x）七靠

（1）由F（+oo）=1及limF（x）=F（0）,

x->（）

（2）f（x）=F\x）=ixe2xz°0x<0

（3）P（Vln4

In16In4<

=（l-^~）一（1一厂）=—=025

4

2.13

（1）

假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电

量不足的概率为：

P{O.8

+3^4）|'（=0.0272

J0.80.8

（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天

供电量不足的概率为:

P{0.9

‘=0.0037

2.14解:

要使方程，+2Kx+2K+3=0有实根则使

2

△二（2K）—4（2K+3）20

解得K的取值范围为[*,—i]U[4,+oo],又随机变量K~U（.2,4测有实

II

根的概率为

[一1一（一2）+4—3]1

P==—

4-（-2）3

2.15解:

X~P0）=P（佥）

■■■pOO[x-100—-

（1）P{X

（2）

ii_

P{XZ300}=£）赤K火北我匕=广

/~、。

300]

（3）P{100

Jioo200

1]3

x.300————

200=g2—。

2

100

2°

P{X<100J00

2.16解：

设每人每次打电话的时间为X,X~£（0.5）,则一个人打

电话超过10分钟的概率为

P（X>IO）=『O*°W=—eg

+ooc

10

又设282人中打电话超过10分钟的人数为匕则

丫~3（282,/）。

因为"=282较大，p较小，所以丫近似服从参数为/l=282x/a1.9

的泊松分布。

所求的概率为

p（y>2）=1-p（y=o）-p（y=i）

=1-疽9—1.9/9=1_2.9/9=0.56625

2.17解：

（1）P（X<105）="OST10）=中（_（）42）=1-0（0.42）12

=1-0.6628=0.3372

（2）P（100

）=中（"。

）-OX100；110）

=中（0.83）-中（—0.83）=20（0.83）—1=2x0.7967-1=0.5934

2.18解：

设车门的最低高度应为a厘米，X~N（170,62）

P{X>a}=\-P{X

P{X

6

四划=2.33

6

««184厘米

2.19解：

X的可能取值为1,2,3。

广匕zri1

因为P（X=1）=—y=一=0.6;P（X=3）=一-=——=0.1;

Cl10Cf10

P（X=2）=1—0.6—0.1=0.3

所以X的分布律为

X

1

2

3

P

0.6

0.3

0.1

X的分布函数为

00.60.9

x<1

l

2

1x>3

2.20

（1）

P{Y=0}=P{X=^）=0.2

P{丫=4?

}=P{X=0}+F{X=yr}=0.3+0.4=0.7

P{K=4）勺二户京=号}=o.i

Y0/4勿2

P[Y=-l}=P{X=0}+P{X="}=0.3+0.4=0.7jr3/T

P{y=1}=P{X=—}+P{X=T=0.2+0.1=0.3

Y-11

q.0.70.3

2.21

（1）

当-15<1时，F（x）=P{X=-1}=0.3

当I

P{X=l}=0.8-0.3=0.5

当尤Z2时,F（x）=P{X=—l}+P{X=1}+P{X=2}=0.8+P{X=2}=1

P{X=2}=1—0.8=0.2

（2）

P{y=l}=P{X=—l}+P{X=1}=。

.3+0.5=0.8

P{Y=2}=P{X=2}=0.2

qt0.80.2

1史

2.22vXN（0,I）/.fx（x）=-^e2

J2/r

（1）设FY（y）,人（），）分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函

数，则

，工1y+i1x2

、（），）=p{Wy}=P{2X—1Vy}=P{X<212）=jj-^e~eix

（Z±l）22

对弓3）求关于y的导数，得人（），）=孔，一下（岬），=土/^

）y（—00,8）

（2）设FY（y）,n（W分别为随机变量丫的分布函数和概率密度函数，则

当），"时，Fy（），）=P{Y

当y>0时，有

2

FY（y）=P{Y-Iny}=|-=e~dx

项J2勿

对旦3）求关于y的导数，得

y>0

y<0

11（Tny）2I（Iny）2

—e2（_.）：

）'=j——e2

yj27r

0

（3）设FyW）,人（），）分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

当y<0时，FY（y）=P{Y

当y>0时,

FY（y）=P{Y

y>0

2

y<0

对弓3）求关于y的导数，得

|一皿-1一或2

——e2（JyS——ef心）=后N后

0

10

2.23VXU（0,兀）:

.fx⑴=或

0其它

（1）

当21n〃

W

FY（y）=P{Y

当一oovv<21n/r口寸

9

FY（y）=P{Y

对W），）求关于Y的导数，得到"）=：

（'）'=土0

-00

21n/r

（2）

当yZl或y<-邛寸，Fy（y）=P{Y

当-1

，eLrccosyjr

对旦3）求关于y的导数,

得到

——（arccos），）'=——/g（y）=]71小-寸

o

一1

其它

（3）当yZl或y〈O《jf；（y）=P{y〈W=P{sinX《），}=P{0}=O

FY（y）=P{Y

rsiny1—dx+

TC

L

•^r-arcsiny

-dx

71

对弓3）求关于y的导数，得到

I.,1.、，20

—arcsiny（^-arcsiny）=——/.•

人3）=仔.兀.私1_）『

o其它

第三章随机向量

P（KX<23

3.4

12o

X

1

2

2

0

函_3

，

c；5

3

31

C3C2―z

45

Cs0

0

（1）

_1

a=—

9

（3）

P{（X,K）£D}=f玲，「：

（6f-y）dx=H[（6-y）x-|x]|（'77A

3.5解：

（1）

F（x,y）=£[2。

-⑵土）血小=[厂也£2/"血=（―厂'1；）（一/“Q=（1—/'）（[一/，）

（2）

P（Y

=^2e-2x（[-e-x）dx=£（2e~2x-2e~3r）dx=（-^-2x\^=l--=-

3.6解：

P（x24-y2

J］勿（心+）,）4』叮不丹出

•>「7c<

&N1o111|

dOf"（1+厂）=x2ttx|=1=

）力勿（1+广）」712（1+广）°1+6T1+C厂

3.7参见课本后面P227的答案

3.8fx⑴=ff（丛）'曲=f：

勺祐=；工；1：

=：

fy（y）=j：

Q3x=；），2：

F|：

=3），2

刀ZZZu

X0

。

，其它

fy（y）=

3）=0

0其它

3.9解：

X的边缘概率密度函数人⑴为:

①当x>1或r<0时9f（x,y）=0,

人3）=f4.8），（2-尤烬=4.8），[2尤-，叩=4.8）,[i：

_2），+：

）U]

fx（X）=0y>1或y<0

0

fx⑴=f4.8），（2-x）dy=2.4），2（2—x）|：

=2.4x2（2-x）

②当0V尤V1时，fx（x）=£4.8）*2-戒/），=2.4y2（2-a）|^=2.4x?

（2-x）

Y的边缘概率密度函数My）为:

①当y>l或yvO时，f（x,y）=09fY（y）=O

②当0

人3）=[4.8），（2f烬=4.8），[2尤-；有|'=4.8），[1：

-2），+捉2]

=2.4y（3_4y+）」）

3.10

（1）参见课本后面P227的答案

0

0

6x（l~x）

0<%<1其它

M，）=?

矗雾，<1」6（心-），）

0

3.11参见课本后面P228的答案

3.12参见课本后面P228的答案

3.13

（1）

0

D2O

3

其它

其它

A（.y）=

0

1

6

0

其它

其它

对于0时，A（y）＞0,

所以"I』

oxy

3

1

36

0

0

其它

6^+2巧，

2+）'

0

其它

对于05V1时9fx（x）>0

所以第睥=羯

oxyjr+—

3_

c22x

2；r+——

3

0

其它

3x+y

6x+2

0

其它

*

40

0

2

X的边缘分

一

布

1

0.15

0.25

0.35

0.75

3

0.05

0.18

0.02

0.25

Y的边缘分

布

0.2

0.43

0.37

1

由表格可知P（X=l;Y=2}=0.25=#=P（X=l}P{Y=2}=0.3225

故P{X=为；y=y"P{X=弟田Y=y）

所以X与Y不独立

3.15

1

2

3

X的边缘分

布

1

j_6

9

1

18

]_

3

2

£3

a

b

-+a+b3

Y的边缘分布

j_2

a+-

9

b+—

18

1

由独立的条件p{x=x^Y=y}=p{X=xi}p{Y=y}则

P{X=2；r=2}=P{X=2}P{Y=2}

P{X=2;Y=3}=P{X=2}P{Y=3}

£P{X=i}=l

可以列出方程

（-+6Z+Z7）（-+6Z）=6Z39

（U+/，）（：

+Q+/，）二/，1o3

11,f

a+b={

33

aZ0,b>0

解得。

==力==

0

99

3y20

0其它

x

人（）'）=

3.16解

（1）在3.8中/X（x）=2

0

当庭>时，AWA（y）=|^2=/（x,y）

当尤>2或xv0时，当），〉1或），<。

时，fx（x）fY（y）=0=/（x,y）

所以，x与Y之间相互独立。

（2）在3.9中，脸）=&M2—x）甘心

[（）其匕

，―]2.4y（3-4），+），2）0

的'）=[。

其它

当05V1,OVyVl时,

fx（x）fY（y）=2.4x2（2-x）2.4y（3-4y+/）=5.76x2（2-x）X3-4y+y2）

a,w，所以X与Y之间不相互独立。

3.17解:

-X

身力={>,诚=「把'点奸点

f（x）・f（），）=工厂一2

（2）

故X与Y相互独立

3.18参见课本后面P228的答案

第四章数字特征

U!

4.1解：

E（X）=£x,p=1i

E（K）=I>P，=°・9

i

...甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又...

两台机床的总的产量相同

乙机床生产的零件的质量较好。

4.2解:

X的所有可能取值为:

3,4,5

P{X=3}=—^=0.1

C5

r2

P{X=4}=彳=0.3

c\

r2

P{X=5}=彳=0.6

Cs

E（X）==3x0.1+4x0.3+5x0.6=4.5

i

4.3参见课本230页参考答案

4.4M：

P{X=”}=p（1—p）“t,〃=1,2,3……

②n1

E（X）=»p=X叩（1_P）"-‘=「1」|_F=_

in=\[1-（1-p）]~p

4.6参考课本230页参考答案

5（3,0.4）

4.7解：

设途中遇到红灯次数为X,则乂~

E（X）=〃p=4xO.3=1.2

4.8解

+OC

E（X）=\f（x）xdx一8

150023000|

[——―dx+[（尤-3000）尤火

打500忌1500

=500+1000

=1500

4.9参见课本后面230页参考答案

4.10参见课本后面231页参考答案

If

4.11解:

设均值为方差为人，则X~N（s/）根据题意有:

P（x>96）=1—P（X<96）

=I_p（X-£<96-72）

=l-

=2.3%

O（r）=0.997，解得t=2即cr=12

所以成绩在60到84的概率为

P（60

2

（1）■中（-1）

=20

（1）-!

=2x0.8413-1

=0.6826

4.12E（X2）=0x0.4+12x0.3+22x0.2+32x0.1=2

E（5X2+4）=4x0.4+（5xl2+4）x0.3+（5x22+4）x0.2+（5x32+4）x0.1=14

E（y）=E（2X）=£2xe'xdx=xd（-/）=2[f厂'|；+£e"xdx]

=2（-/）|：

=2

£（/）=E（e~2x）=[e~2xe~xdx=J"*=-~e~3x[）=-

设球的直径为X,则：

fM=

b-a0

a

其它

\.71114|"R7122\

X—XI——（，+—）（1}+CI）

〃24

4^-（—）3』[

E（V）=E（号）=贝汗）=帝3国"*一”4

4.15参看课本后面231页答案4.16解:

fW=[，3）'用=f12y新=4f

/（y）=£/（x,y）dy=\\2ydx=\2y-\2y

E（X）=⑴•Xdx={^xdx=|

E（.Y）=£/,（a）-ydy=]12）/-12必=：

E（XY）=jjf（x,y）xydxdy=jjl2xydxdy=J12xj;dydx=—

0

£（y2）=「.广3）•ydy=[\2y2ydy=|

777716

E（x~+r）=RX~）+Ey）=B

4.17解

ye5xdy=（|卅：

）£yd（-^'）

£（xr）=E（x）E（y）=ji

•.•X与Y相互独立，

x2xdx

Z-ICO-）-.00Z

=Tx（-殖L+[产的）=；X[5+（-广'）1.]=；X（5+1）=4

35方353

4.18,4.19,4.20参看课本后面231,232页答案

4.21设