四年级奥数讲义精编整理.docx
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四年级奥数讲义精编整理
第一讲数学是聪明孩子喜爱的学科
1、数学是中国聪明孩子喜爱的学科
据说在很多国家，特别是美国，孩子们害怕数学，把数学作为“不受欢迎的学科”。
但在中国，情况很不相同，很多少年儿童喜爱数学，数学成绩也都很好。
的确，数学是中国人擅长的学科，如果在美国的中小学，你见到几个中国学生，那么全班数学的前几名就非他们莫属。
在数（shǔ）数（shù）阶段，中国儿童就显出优势。
中国人能用一只手表示1～10，而很多国家非用两只手不可。
中国人早就有位数的概念，而且采用最方便的十进制（不少国家至今还有12进制，60进制的残余）。
中国文字都是单音节，易于背诵，例如乘法表，学生很快就能掌握，再“傻”的人也都知道“不管三七二十一”．但外国人，一学乘法，头就大了．不信，请你用英语背一下乘法表，真是佶屈聱牙，难以成诵．
圆周率π＝3.14159…．背到小数后五位，中国人花一两分钟就够了．可是俄国人为了背这几个数字，专门写了一首诗，第一句三个单词，第二句一个，……要背π先背诗，我们看来简直自找麻烦，可他们还作为记忆的妙法．
四则运算应用题及其算术解法，也是中国数学的一大特色．从很古的时候开始，中国人就编了很多应用题，或联系实际，或饶有兴趣，解法简洁优雅，机敏而又多种多样，有助于提高学生学习兴趣，启迪学生智慧．例如：
“一百个和尚一百个馒头，大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，问有几个大和尚，几个小和尚?
”
外国人多半只会列方程解．中国却有多种算术解法，如将每个大和尚“变”成9个小和尚，100个馒头表明小和尚是300个，多出200个和尚，是由于每个大和尚变小和尚，多变出8个，从而200÷8＝25即是大和尚人数．小和尚自然是75人。
或将一个大和尚与3个小和尚编成一组，平均每人吃一个馒头．恰好与总体的平均数相等．所以大和尚与小和尚这样编组后不多不少，即大和尚是
100÷（3＋1）＝25人．
中国人善于计算，尤其善于心算．古代还有人会用手指计算（所谓“掐指一算”）．同时，中国很早就有计算的器械，如算筹、算盘．后者可以说是计算机的雏形．
在数学的入门阶段——算术的学习中，我国的优势显然，所以数学往往是我国聪明的孩子喜爱的学科．
几何推理，在我国古代并不发达（但关于几何图形的计算，我国有不少论著），比希腊人稍逊一筹．但是，中国人善于向别人学习．目前我国中学生的几何水平，在世界上遥遥领先．曾有一个外国教育代表团来到我国一个初中班，他们认为所教的几何内容太深，学生不可能接受，但听课之后，不得不承认这些内容中国的学生不但能够理解，而且掌握得很好．
我国数学教育成绩显著．在国际数学竞赛中，我国选手获得众多奖牌，就是最有力的证明．从1986年我国正式派队参加国际数学奥林匹克以来，中国队已经获得了11次团体冠军．成绩骄人．当代著名数学家陈省身先生曾对此特别赞赏．他说“今年一件值得庆祝的事，是中国在国际数学竞赛中获得第一．……去年也是第一名．”（陈省身1990年10月在台湾成功大学的讲演“怎样把中国建为数学大国”）陈省身先生还预言：
“中国将在21世纪成为数学大国．”
成为数学大国，当然不是一件容易的事，不可能一蹴而就，它需要坚持不懈的努力．我们力争进一步普及数学知识，使数学为更多的青少年喜爱，帮助他们取得好的成绩，使喜爱数学的同学得到更好的发展，学到更多的知识和方法．
2、数字磁铁
人们称495是三位数中一个怪数，说它像磁铁：
任意一个数字不全相同的三位数，按照一定的规则减来减去，最多不超过六次运算，都会被它“吸引”过去——变成495！
信不信由你，它真的这么怪。
给定一个三位数，例如784。
把这个数中的各位数字（7、8、4），按照从大到小的顺序重新排列，得到874。
显然，它是用7、8、4组成的所有三位数中最大的一个数。
同样，可以排成最小的：
478。
“最大数”和“最小数”相减，有
继续对差数396作同样运算，又有
再对所得的结果作同样的运算，于是
至此，如果按照上面的规律继续算下去，结果总是495——出现了一个不变的常数495。
这是自然数王国的又一件怪事!
其他多位数中是不是也有这样的怪数呢?
除了495外，四位数中也有类似的怪数6174。
请看下面的例子：
人们将495、6174称为“磁铁数”。
把这个事实称为“磁铁数定理”。
3、数学回文
一提到李白，人们都知道这是我国唐代的大诗人。
如果把“李白”两个字颠倒一下，变成“白李”，这也可以是一个人的名字，此人姓白名李。
像这样，正着念、反着念都有意义的诗词字句都叫做回文。
文学史上，有许多与回文有关的故事。
清代，北京有个酒楼叫“天然居”。
一次，乾隆皇帝触景生情，以酒楼为题写对联，上联是：
客上天然居，居然天上客。
但是，这位博学多才的皇帝苦苦思索，却写不出下联。
因为下联的后五个字，必须是前五个字的颠倒，又要语意通顺，还要平仄协调，的确是很难的事。
直到很久以后，才有位读书人给出了下联：
僧游云隐寺，寺隐云游僧。
与此类似，数学里也有“回文式”。
我们借用上面的对联组成这样一个式子：
僧游×云隐寺＝寺隐云×游僧
现在要问：
不同的汉字用不同的数字（0～9）代替，这个算式能成立吗?
能，而且不止一个：
12×231＝132×21，12×462＝264×21
13×341＝143×3l，13×682＝286×31
……
我们看到，这类等式不仅外形整齐、对称，“内部构造”也很巧妙：
每个等式中两位数的十位数字和三位数的百位数字的乘积，正好等于两位数的个位数字和三位数的个位数字的乘积；等式中三位数的十位数字恰好等于个位数字和百位数字的和。
例如，在12×231＝132×2l中，1×2＝2×1，且3＝2＋1；在12×693＝396×21中，1×6＝2×3，且9＝6＋3等。
掌握了这两个特点，就容易写出这类等式了，并且容易看出，关键是找出满足第一个特点的四个数字，从而三位数的十位数字也就确定了。
例如，3×6＝9×2，这时三位数的十位数字是6＋2＝8，可得等式
39×682＝286×93
当然，也可以由9×2＝3×6，又2＋6＝8，得
93×286＝682×39
这两种形式反映了同样四个数之间的关系，可以看作是一个等式的两种形式。
那么这类等式共有多少个呢?
我们可以从1开始，依次取2，3，…，9进行组合，然后再从2开始，依次取3，4，…，9进行组合，……看能组合成多少不完全相同的4个数字的乘积，并且第2、第4个数字的和不大于9，就能有多少个不同的等式。
1×2＝2×1，又2＋1＝3，于是有
12×231＝132×21；
1×3＝3×1，又3＋1＝4，于是有
13×341＝143×31；
1×4＝4×1，又4＋l＝5，于是有
14×451＝154×41；
1×4＝2×2，又4＋2＝6，于是有
12×462＝264×21；
依次类推，共可得到33个不同等式。
数学里还有“回文数”，其特征是：
从左到右读与从右到左读完全一样，例如，101，32123，9999等等。
两个相同位数的回文数，如果各位相加时能够“就地消化”，不发生进位情况，那么其和仍是一个回文数。
同样，在两个回文数相减时（规定要用大数减小数），如果不需要从上一位“借”，则其差也是一个回文数。
例如：
有趣的是，某些回文数在相加时即使要发生“进位”，但其和数却依然是个回文数。
例如：
这样的回文数的模式是aa…a（共n个a）与bb…b（共n个b），而且a与b应满足关系式a＋b＝1l，以及a＞1，b＜10。
假如你遇到一个不是回文数的普通数，怎样才能使它“变”成回文数呢?
办法很简单，只要把这个数加上它的逆序数就行了，这称为一次“操作”（或“变换”），把这种“操作”反复进行下去，到头来你就可以得出一个回文数。
这就是有名的“回文数猜想”。
它至今仍然是个谜：
说它正确，却无法证明；说它不正确，又找不出一个反例。
可能成为说明“回文数猜想”不成立的反例是196，因为有人用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍然没有出现回文数，但是却没有人能证明这个数永远产生不了回文数。
数学家还对“回文质数”进行了大量研究，发现了另外一些“谜”。
101，131，353，919，这些自然数既是回文数，又是质数，叫做“回文质数”。
第一个谜是：
回文质数有无穷多个吗?
数学家猜想它有无穷多个，但也仅仅是猜想。
181和191，373和383，30103和30203等等，它们都是回文质数，并且每一对中间的数字是连续的，而其他数字都是相同的，这样的两个数叫做“回文质数对”。
第二个谜是：
回文质数对有无穷多个吗?
至今也没有解决。
数学家还发现，在回文数中，平方数是非常多的，例如，
121＝1l2，12321＝11l2，1234321＝111l2，…，1234567898765432l
＝1111111112。
立方数也有类似情况，例如，133l＝113，1367631＝1113
4、奇怪的无穷多
整数有多少个?
无穷个。
偶数有多少个?
无穷个。
这样的问答是正确的。
如果我问你：
整数与偶数，哪一种数多?
恐怕不少同学都会说，当然整数比偶数多了。
进一步，恐怕还会有同学告诉我，“偶数的个数等于整数个数的一半”。
什么道理呢?
那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。
而奇数与偶数是相同排列的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半”。
整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全体大于部分，整数比偶数多，这不是显而易见、再明白不过的事吗?
你认为这样回答有道理吗?
16世纪意大利著名科学家伽利略的看法却与此相反，他曾提出过一个著名的悖论，叫做“伽利略悖论”，悖论的内容是：
“整数和偶数一样多。
”这似乎违背常识。
不过，伽利略所说的，也绝不是没有道理。
首先，我们论述的对象都是无穷个，而不是有限个，对于有限个来说，“全体大于部分”无可争议。
从0到10的整数比从1到10的偶数就是多。
但是，把这个用到无穷上就要重新考虑了。
对于有限来说，说两堆物体数量一样多，只要把各堆物体数一下，看看两堆物体的数量是否相等就可以。
这个办法对“无穷”来说是不适用的，因为“无穷”本身就包括“数不完”的意思在内。
看起来，我们得另想办法。
据说，居住在非洲的有些部族，数数最多不超过3，但是他们却知道自己放牧的牛羊是否有丢失。
办法是，早上开圈放羊时，让羊一只一只往外出。
每出一只羊，牧羊人就拾一块小石头。
显然，羊的个数和小石头的个数一样多。
傍晚，放牧归来，每进圈一只羊，牧羊人从小石头堆中扔掉一块石头。
如果羊全部进了圈，而小石头一个没剩，说明羊一只也没丢。
非洲牧羊人实际上采取了“一对一”的办法，两堆物体只要能建立起这种一对一的关系，就可以说明两堆物体的数量一样多。
这种办法同样可以用在无穷上，看看要比较的两部分之间能否建立起这种一对一的关系。
伽利略在整数和偶数之间建立的对应关系是．
0l234…
↓↓↓↓↓
246810…
按这样的一种关系，给出一个整数，就可以找出一个偶数与之对应，给出的整数不同，与之相对应的偶数也不同；反过来，对于每一个偶数，都可以找到一个自然数与之对应，偶数不同，所对应的整数也不同，由此我们称整数与偶数之间建立了一对一的关系，所以我们说：
“整数与偶数一样多”是正确的。
这告诉我们，“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质，对“无穷”未必都成立。
5、难逃“如来佛的掌心”
《西游记》里的孙悟空是一个神通广大、本领高超的人物，他能七十二变，变虫、变树、变鬼怪；还会腾云驾雾，一个筋斗可翻出十万八千里外。
但不管他怎样变幻，一蹦有多远，总还是落在如来佛的掌心里，难以逃脱。
当然，这只是一个神话故事。
但是数学家发现，这样的现象竟然也会在数学的变幻中出现。
任意取一个自然数，不论这个数有多大，是奇数，还是偶数，它总会跌进一个循环的怪圈“4—2—1”里去，或者说最终总能得到1。
这些数字也像孙悟空的筋斗一样，翻不出如来佛的掌心。
这个特定的规则是什么呢?
其实很简单：
一个自然数，如果是偶数，那么用2去除它；如果是奇数，则将它乘以3并加1，如此反复计算，就会得到上述的结论。
让我们试一试。
比如，3是奇数，乘以3再加1，得10，10是偶数，除以2，得5，5是奇数，乘以3再加1，得16，如此继续计算下去，最后变成1。
÷2
÷2
÷2
÷2
×3+1
÷2
×3+1
3105168421。
再如，从7出发：
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→…→1。
如果从27出发，你会发现，得数忽大忽小，七拐八变，经过一百多步，最后也是回到1，你来试一试，好吗?
有位数学家用计算机对7000亿以下的自然数逐一进行试算，结果无一例外。
三十多年前，日本数学家角谷静试图证明它，但几经挫折，失败了。
后来，又有许多数学家作尝试，也都没能成功，现在，人们只能把它叫做“角谷猜想”。
6、趣谈“反证法”
三个古希腊哲学家，由于争论问题再加上天气炎热都感到十分疲倦，于是在花园里的一棵大树下躺着休息，不一会儿都睡着了。
这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额。
三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来。
因为每个人都以为是其他两人在互相取笑。
隔了一会儿其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的脸也被涂黑了。
他是怎样觉察到的呢?
实际上，发现自己脸被涂黑的人，并没有也不可能直接看到自己的脸。
而是据他观察另外两人的表情进行分析、思考后，从反面说明自己的脸被涂黑了。
为了叙述方便用甲、乙、丙代表这三个哲学家，并假设甲已发觉自己的脸被涂黑了。
那么甲这样想：
我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑。
如果我的脸没给涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样的），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪。
因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的）．丙就没有发笑的理由了。
然而现在的事实是乙对丙发笑并不感到奇怪，可见乙是认为丙在笑我。
由此可知，我的脸也被涂黑了。
像这样，为了说明某一结论是正确的．但不从正面直接说明．而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫“反证法”。
对于某些从正面难以解答的数学题，采用反证法常常能收到出奇制胜的效果。
例题有10只鸽子飞进甲、乙、丙三个洞，那么至少有一个洞要飞进4只鸽子或者更多的鸽子。
这结论正确吗?
解：
假设结论不正确，也就是说，假如一个洞里最多飞进了3只鸽子，那么3个洞里的鸽子总数最多是9只，这与原题的条件“有10只鸽子飞进3个洞里”矛盾。
因此，假设是错的，原题结论“至少有一个洞里飞进4只或更多的鸽子”是正确的。
你看，问题就这样轻松地解决了。
反证法的思路是多么奇妙啊!
难怪英国近代数学家哈代称赞“反证法”是“数学家最有力的一件武器”．“比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法还要高明”。
象棋弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方。
第二讲找规律
知识要点与学法指导：
一、观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：
1.根据每相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数。
根据相隔的每两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数。
2.要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律。
3.数据之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：
1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析。
2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。
3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。
例1先找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1、4、7、10、（）、16、19
【分析与解】
在这列数中,相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：
10＋3＝13或16－3=13
像上面这样按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
在例1这个数列中，因为每相邻两个数的差都相等，所以叫做等差数列。
试一试1
先找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
2，5，8，（），14，17
例2先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
1、2、4、7、（）、16、22
【分析与解】
在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1、2、3。
由此可以推算7比括号里的数少4，括号里应填：
7＋4＝11或：
16－5＝11
试一试2
先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
3，4，6，9，13，（），24
例3先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
23、4、20、6、17、8、（）、（）、11、12
【分析与解】
在这列数中，可以分成两个数列，即第1、3、5、7、9的数排成一列；第2、4、6、8的数排成一列；这样就不难看出它们之间的规律了，分成的两个数列为23、20、17、（）、11；4、6、8、（）12，应填的两个数分别为14、10。
试一试3
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（），21，2，18，4，15，6，（），（）9，10
例4在数列1、1、2、3、5、8、13、（）、34、55……中，括号里应填什么数？
【分析与解】
经仔细观察、分析，不难发现：
从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。
根据这一规律，括号里应填的数为：
8＋13＝21，或34－13＝21
上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。
试一试4
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
3，3，6，9，15，24，（），63，（），165……
例5下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（8、4）、（5、7）、（10、2）、（□、9）
【分析与解】
经仔细观察、分析，不难发现：
每个括号里的两个数相加的和都是12。
根据这一规律，□里所填的数应为：
12－9＝3
试一试5
在□里填上适当的数
（4、10）（3、11）（2、12）（□、9）
例6根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。
12
18
6
8
15
7
4
8
【分析与解】
经仔细观察、分析表格中的数可以发现：
12＋6＝18，8＋7＝15，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。
依此规律，空格中应填的数为：
4＋8＝12。
试一试6
根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。
12
6
6
8
1
7
14
8
例7根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？
【分析与解】
经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：
5606
4808
根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：
824024
括号里应填的数为：
8×30÷10＝24
试一试7
找规律写图形中？
所表示的数。
3
6
？
19
2
8
2
18
7
4
39
5
例8找规律计算。
（1）81－18＝（8－1）×9＝7×9＝63
（2）72－27＝（7－2）×9＝5×9＝45
（3）63－36＝（□－□）×9＝□×9＝□
【分析与解】
经仔细观察、分析可以发现：
一个两位数与交换它的十位、个位位置后得到的两位数相减，只要将十位与个位上两个数字的差乘以9，所得的积就是这两个数的差。
63－36＝（6－3）×9＝3×9＝27
试一试8
（1）54－45＝（）×9＝（）×（）＝（）
（2）52－25＝（3）96－69＝
例9用“格子乘法”计算1357×2468。
【分析与解】
1.格子乘法：
500多年前，意大利的一本算术书中讲述了一种“格子乘法”，后来传入中国，在明朝的《算法统宗》中称为“铺地锦”。
2.例如：
计算1357×2468
先画一个矩形，把它分成4×4个小格，在小格的上方和右方依次写上乘数和被乘数的各个数字，再用对角线把小格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数，把这些乘积从右到左，沿斜线方向相加，满十进一。
最后得出：
1357×2468＝3349076
试一试9
用格子乘法计算46×78357×46
练习二
1.先找出下面各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）3、6、9、12、（）、18、21
（2）33、28、23、（）、13、（）、3
（3）3、6、12、（）、48、（）、192
（4）128、64、32、（）、8、（）、2
2.先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）10、11、13、16、20、（）、31
（2）3、2、5、2、7、2、（）、（）、11、2
（3）81、64、49、36、（）、16、（）、4、1、0
（4）30、2、26、2、22、2、（）、（）、14、2
3.先找出规律，然后在括号里填上适当的数（先把这列数分成两个数列，再找规律）。
（1）13、2、15、4、17、6、（）、（）
（2）3、29、4、28、6、26、9、23、（）、（）、18、14
（3）32、20、29、18、26、16、（）、（）、20、12
（4）2、9、6、10、18、11、54、（）、（）、13、486
4.先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2、2、4、6、10、16、（）、（）
（2）34、21、13、8、5、（）、2、（）
（3）3、7、15、31、63、（）、（）
（4）1、3、6、8、16、18、（）、（）、76、78
5.下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（1）（6、9）、（7、8）、（10、5）、（□、13）
（2）（1、24）、（2、12）、（3、8）、（4、□）
（3）（1、3）、（5、9）、（7、13）、（9、□）
（4）（64、62）、（48、46）、（29、27）、（15、□）
（5）（8、6）、（16、3）、（24、2）、（12、□）
6.找规律，在空格里填上适当的数。
7.根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数。
（3）
（4）
8.利用规律计算。
（1）53－35
（2）82－28（3）92－29
（4）61－16（5）95－59（6）75－57
9.找规律计算
（1）62＋26＝（6＋2）×11＝8×11＝88
（2）87＋78＝（8＋7）×11＝15×11＝165
（3）54＋45＝（□＋□）×11＝□×11＝□
（4）96＋69＝（□＋□）×11＝□×11＝□
（5）74＋47＝（□＋□）×11＝□×11＝□
10.用格子乘法计算下面各题。
52×3869×721346×2731463×3276
75×361253×31820
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