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我们为什么要学习数学
我们为什么要学习数学
21世纪到来,各国都在进行中小学数学课程标准的研制工作。
在建立数学课程目标时，首
先回答的问题是：
我们为什么要学习数学（然后才是学什么样的数学，怎样学习这些数学）。
站在不同角度，对这个问题有不同的回答，因而给数学课程目标的制订带来困惑与困难，甚至出现种种误解与偏差。
本文从数学与自然的关系，数学对人的发展的影响及数学与人类文化的相互作用三个方面来重新认识这个问题。
通过对数学与科学发展的历史分析，揭示数学与自然，数学与
科学的密切关系。
并阐述这种关系使数学成为人类认识自然、认识现实世界的中介与工具，是
一种高级的认识论与方法论系统。
在人类探索宇宙的规律（这种规律更多的是用数学进行表述的）的过程中，数学这种独特的性质促进了人类智慧的发展，品德的完善，人格的健全，同时促进了人类思维的不断创新。
这种对人类智慧的记录、传递与创造的作用，使得数学成为人类文化的重要组成部分,在人类文化发展中起着不可替代的作用。
从而说明，只有对数学与自然的关系，数学与人的发展,数学与文化的作用等有正确的认识，才能建立合理的中小学数学课程目标。
（一）数学：
人类认识自然的中介
数学与自然的关系十分密切，这里只讨论自然与课程目标关系相密切的两个问题，数学为什么总是有效的，数学仅仅是为了应用吗？
1.数学为什么总是有效的
这个问题一直困扰着哲学家、科学家与数学家，并激励着他们不停地探索自然的真谛，探索数学中隐藏的巨大力量和源泉。
公元前6世纪的古希腊人认为，自然界是被合理地安排好的，一切现象都是按一个精密的不可变的计划进行的。
这个计划就是数学计划，世界是建立在数学原理之上的。
这期间占统治地位的毕达哥拉斯学派认为，数是描述大自然的第一原理，是一种物质，“万物皆数”。
他们创立两种学说:
①自然界是根据数学原则安排的。
②数比是实质，是基础，是唯一本质，是自然界中序列
认识的工具。
这种观点虽然很快就被找出谬误，但它的影响却一直延续到近代。
这是因为它“终究提出了宇宙的本性问题，提出人可以通过对数的研究达到对宇宙的本质认识”B1。
原子论学
派也断言，以现实世界的经常性变化为基础的现实性可以用数学语言来表示,数学定律严格预
定了在这个世界上正在产生的一切。
柏拉图认为，现实世界是建立在数学原则之上的，“现实的，为事物的表示现象所掩盖的，表示事物内部实质的那些东西，就是数学”B2。
亚里士多德学派也支持以整个宇宙为基础的数学计划的说法，认为数学的抽象是从物质世界中吸取的。
中世纪的欧洲哲学家由于无法解释数学与自然的神奇联系，避免与神学的冲突，便认为用数
学原理创造世界的正是上帝。
他们在数学中看到了通往认识的自然之路，世界的和谐就是数学
结构的表现，上帝用严格的数学秩序奠定了世界的基础。
正如数学史家克莱茵所评：
“16—18世
纪,数学家的工作实质就是宗教的寻找，在寻觅数学定律之中举行宗教仪式，揭示神的创造力的光荣与伟大。
”B3他们“深信存在着自然界所有现象的数学定律。
每一次发现自然定律,都又一次证明上帝的英明”B4。
17世纪，“回归自然”口号的提出，欧洲的“科学革命”，数学起了重要的作用。
分析17世纪以后哲学家的思想，我们可以对数学与自然的关系有更深入的认识。
首先是笛卡儿和伽利略把
自然科学与数学有机地结合起来。
笛卡儿认为，“只有研究秩序或度量的那些学科才属于数学领域……”B5,相信自然界是以数学原理为基础的。
“现实世界就是数学定律表现物体在时空中运动的总和，而整个宇宙则是一个以数学定律构成的庞大而协调的机器”B6o
因而认为，正是数学方法为人类开辟了一条获得自然规律的道路。
伽利略认为，自然科学家
在研究自然时应该遵循某个数学模型，“数学符号就是上帝用来书写自然这一伟大著作的统一语言,不了解这些文字就不可能懂得自然的统一语言，只有用数学概念和公式所表达的物理世界的性质才可认识……”B7。
其后是牛顿、莱布尼兹等科学家的进一步扩展。
牛顿“努力使自然现象服从于数学规律”B8,以其著作《自然科学的数学原理》向人类显示出一个新的世界秩序――宇宙的运动可用几条数学定律描述，使古希腊的理念得到确切的证实，摆脱了毕达哥拉斯学派的数学神秘主义。
莱布尼兹认为现实世界与数学世界是协调的，这种科学哲学观奠定了他的宇宙基础数学原理说的基础。
总之，“笛卡儿、伽利略、牛顿、莱布尼兹及其他现代数学的奠基人始终信仰的实质就是：
自然界内部固有着某个隐藏的和谐，它以简单数学定律的形式在我们的意识中反映出来。
由于这一和谐性，结合数学分析的观察能预言自然现象”B9。
随着科学与数学的进一步发展，数学的推演与实际观测的吻合，人们从信仰宗教转到信仰自然，坚信自然规律就是数学规律，一切注意力都集中在探索宇宙的数学规律上。
数学家魏尔的思
想“在自然界中存在着其内部固有的隐藏着的协调，它反映在我头脑中的形式为简单的数学定
律”B10,更是明确指出了自然与数学的密切关系。
巴雷特甚至断言：
“整个数学的历史证明数学理性与自然之间存在着相互联系°”B11因此，数学仿佛是一种人与自然，人们的内在世界与
周围外部世界之间的媒介物。
对近现代科学的重大成就稍作分析就会发现，它们几乎全是数学的成就，甚至完全依赖于数学。
首先,电磁场理论就是最好的例证。
它在理论物理中的重要地位是众所周知的，然而它几乎是纯数学理论。
近代物理的精神就是数学理论。
爱因斯坦认为这种变化是“从牛顿时代以来物
理所经受的最深刻、最富有成效的变化”B12。
其次,原子结构观点对于物理学具有非常重要的
意义,对化学和生物的研究也有极大的促进作用。
然而，原子模型却是数学模型。
“数学在充满混乱的地方展示和建立了秩序”B13o第三,今天的微电子技术，信息网络技术更是由数学编织
而成。
总之，从古希腊至今，人们一直在探索数学与自然的关系。
科学史的大量资料也显示了数学的巨大力量和源泉，在人类的创造中最强大的方法就是数学。
数学使得我们对形形色色的自然现象取得确定的认识，数学是人类认识自然现象必不可少的中介。
它“体现了最有效地使现实世界与感性认识世界联系的环节，长期以来，数学处于人类思维的前沿，它保持先进的位置，至今,它仍是加以百般爱护的人类理性的无价之宝”B14“数学的事业是一桩伟大的探索，探
索宇宙和人类自己最深的奥秘”B15o
2.数学仅仅是为了应用吗
数学与自然的密切关系使数学成为一切科学的基础，因而具有广泛的应用性。
数学在人类生活、生存、科学与文化发展中一直发挥着至关重要的作用。
培根认为“对自然界的许多部分，
如果没有数学的帮助和参与，则既不能以足够的技巧予以制造，也不能以充分的表白予以演示，也不能以足够的灵巧使之适于应用”B16尤其在今天科技发展的时代，“被人如此称颂的高技
术本质是一种数学技术”B17。
由于数学的应用给人类物质方面带来数不尽的巨大成就，导致了对数学本质认识的各种偏
差。
最典型的几种情形是：
①忘记了数学的应用是建立在数学与自然的密切关系基础之上的，
过分片面地强调数学的应用性。
能用的即予保留，暂时用不上的即予放弃；对物质生产直接起作用的即予发展，无直接作用的便不予接纳。
这种现象在东方的数学史中尤为突出。
中国古代数学受经世致用思想的导引，数学只在商业、运输、水利、天文、历法等实践中具体应用。
在早期
阶段,随着农商业迅速发展，数学也迅速发展，许多成果在世界数学史上领先达千年之久。
然而随
着农业社会的缓慢发展，以应用为目的的数学的生存与扩展空间便越来越窄，最终成为无源之流
渐趋枯竭。
②对“无用的”数学加以拒绝，否定，直到看到其“用”才接受，吸纳。
虚数的承认，非欧几何的建立在数学史上都经历波折。
尽管它们解决了数学内部矛盾，但由于在数学之外尚未看到可“用”，因而当初都被拒绝过。
③为了使数学有“用”，许多人曾坚信，辩解，断言，所有数学都是有用的。
非欧几何、数论中的一些定理常被引为例证。
他们声称这种有用可能在若干年后“叫你难以相信，你不可能到达那一步，让你永久地期待”（钟开莱《数学与应用数学》）B18。
这些观点把数学的“用”摆在第一位，“用”是最高目标，可用即为数学，不可用即非数学。
尽管这些观点已受到多次否定，批评，但至今在一些人的意识里仍占着主导地位。
实际上，这是对数学与自然的关系的曲解。
一方面，把数学应用降为工具性侧面，忽视了数学应用是数学与自然的本质的关系的反映。
另一方面，混淆了“数学的应用”与“应用的数学”这两个本质不同的
概念。
实际上，“数学的应用”不仅包括“应用数学”，还包括数学思想方法，“数学化”的过程数学品质等更广阔的内容。
只有从数学与自然的辩证关系认识，把数学视作与自然统一的地位，才能真正体现数学的应用性。
否则，舍弃掉数学是认识自然、征服自然的中介，舍弃其作为认识论、方法论、思维创造乃至文化、艺术于一体的特征，把数学只视作一种工具，视为应用而学习数学的功利主义或实用主义，不仅会降低数学的地位，而且也不利于学生素质的整体发展。
3.启示
随着对数学价值的深入认识，各国在21世纪的数学课程标准中都极为重视数学与自然的关系作用,重视数学的应用，并使数学的应用与应用的数学二者有机地结合起来。
在确立数学作为
认识自然、改造自然的中介地位的基础上，既考虑社会需要，更注重人的整体素质的培养。
在对学生进行基本的数学认识、思维、推理、评价、联系、交流、问题解决教育的同时，尽可能选
择当今社会中应用广泛的数学内容，如微积分、线性代数、概率统计、计算机等作为学习内容。
尽管各国课程有不同的哲学文化背景，有不同的政治经济制度制约，但最终的根仍扎在数学与自然的关系之中，很少有强调以“应用数学”为终极目标的课程。
（二）数学：
人的发展中不可或缺的内容
数学与自然的特殊关系使得数学成为人的发展中不可或缺的主要内容。
首先,在上文中已揭
示,数学不仅给人以应用的数学知识，更为重要的是，数学给人如何运用数学去看待世界、去认识自然的方法。
通过数学，使人掌握宇宙发展的普遍规律。
因此，数学对人的世界观的形成具有特殊作用。
第二，数学是一种思维形式，是思维创造的产物，表现着人类智慧的本质与特征。
数学活动是智力体操与创造发明的活动。
它对人的科学思维与创新意识、创新能力的培养起着重要的作用。
第三，数学与自然的关系揭示了现实世界内在不变的规律，揭示了自然的奥秘、事物之间的相互关系，揭示了物体运动发展的动力与源泉，对形成学生鉴别真、善、美的能力有一定的促进作用。
对形成学生兴趣，培养学生自信、毅力、批判性等良好的个性品质方面也极为有益。
1.数学有利于正确的认识论与世界观的形成
数学对于人的认识论形成的功用上文已有说明。
同时我们还看到，数学对象具有双重性，它
的理论是思维创造的产物，而非客观世界中的真实存在。
客观世界中不存在数学中的点、线、面、三角形、圆，数学中的概念、命题等都是抽象思维的产物。
然而，就其内容而言，数学对象则又具有明确的客观意义，它是人的思维对于客观现实的正确反映。
这里的现实与感性是相对而言、具有层次的。
在同一公理系统内，数学的真理具有绝对性，而对于不同的公理系统，数学真理又具有相对性。
这些思想对人的认识论、方法论、世界观的形成都是非常有益的。
2.数学有助于人的思维能力与创造能力的发展
美籍学者项武义说过：
“基础数学教育的首要目的在于开发脑力，提供解析思维的基本训
练。
而其第二个主要目的才是让学生掌握现代技术工艺上普遍应用的基础数学知识，数学基础当
然十分有用、十分重要，但是,认识问题、解决问题的思维训练实在更加有用，更加重要。
”B19
美国《人人关心数学教育的未来》则认为，“中等教育特别缺乏揭示数学的思维方式，而这都是
提高公民的理解力所需要的”B20。
长久以来,人们已认识到数学对人的思维训练是极为有益的。
首先,数学是思维的工具，通过数学活动可以提高人的思维能力。
第二，数学活动过程是一种再创造、重新发现的过程，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、验证等活动，概括抽象出数学概念,提出数学命题；通过建立数学模型，解决实际问题。
这一系列活动对人的思维能力与创造能力进行了全方位培养。
因此，数学活动对人的思维训练来说，既是素材,又是过程。
（1）数学是思维的工具。
数学是思维创造的结果，也是思维的工具，可以充当思维训练的素材。
第一,数学思维是一种抽象逻辑思维，主要表现在两个方面：
①数学具有抽象思维的能力。
数学是研究思想事物的抽象科学。
尽管数学与现实世界关系密切，但数学内容一经建立，它便脱
离现实，它的对象与结果都是思维的创造。
运用数学解决问题，也是对现实进行抽象，建立其数
学模型的结果。
②数学具有逻辑的严谨性，结论的可靠性。
正如爱因斯坦所言，“为什么数学比其他一切科学受到特殊尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，另一个理由是数
学给予精密自然科学以某种程度的可靠性。
没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的”B21o
第二,数学思维也是形象思维与直觉思维。
尽管其他学科（文学、艺术等）也培养学生形象思维的能力，但其内容与程度远没有数学丰富与深刻。
这是因为数学的形象思维是对现实世界抽象之后的数、形、结构、形式等内容之上的形象加工。
这种形象思维与逻辑思维紧密结合，相互补
充,相互促进。
（2）数学活动是训练思维的最佳途径。
朱梧檟先生对数学活动过程作了深入的分析B22,
并给出图示：
从具体问题或素材出发观察与实验对应与类比
经验归纳推广联想推广建立猜想或形成普遍命题逻辑论证猜想的真实性
他认为前一阶段是创新过程，以形象思维、直觉思维为主，后一阶段是验证过程，以逻辑思维为主。
实际上，在前一阶段中也渗透逻辑思维，在后一阶段也借助于形象思维与直觉思维。
儿童学习数学的活动实质上是再创造过程。
每个人都是在学习过程中，根据自己的体验，用自己的思
维方式，重新创造有关的数学内容。
这种活动除了提供各种定理和理论之外，还提供各种特定的
思维方式，包括抽象化、模型化、最优化、逻辑分析、数据推断、符号运用等。
在数学活动过程中既包括抽象思维训练，又包括形象思维训练。
因而数学活动是训练思维的最佳途径。
3.数学有益于人的心灵净化
数学除了在人的智力发展方面的巨大影响外，对人的心灵净化，良好的个性品质形成，乃至
身心健康也有重要的促进作用。
（1）数学有益于人类对真、善、美的追求。
过去的教育中，数学的德育或者被忽略或者被狭义的爱国主义、民族自尊心替代而流于形式。
实际上，“数学在人们品质形成上有不可替代的作用”。
数学既然是自然的秩序与规则的反映，它有自己的“道”，因而也有自己的“德”。
数学推理的严谨性与结论的精确性，促使进行数学活动的人必须严格遵守相应的规则、体系。
在同一系统内，数学真理具有绝对性，数学追求的目标几乎是一种清晰可达的信仰。
因而，学习与从事数学的活动追求的是一种抽象的“真”，一种心灵上的纯真与虔诚，“首先在工作中,它必须是完全忠实的，这倒不是出于任何优秀的道德品质，而是因为它无法拿着冒牌逍遥法外”B23。
柏拉图在两千年前就把善与数学等同起来，认为数学对于“理想”的探求具有重要意义。
20世纪40年代,怀特海又旧话重提，对数学这一学科的一般性质作了揭示，认为“数学是从模式化的个体和抽象的过程中对模式进行研究”B24。
因为“数学对于理解模式和分析模式之间的关
系是最强有力的技术”B25,所以，模式在人类生活中占有重要地位。
“每一种艺术都奠基于模式的研究，社会组织的结合力也依赖于行为模式的保持，文明的进步也侥幸地依赖于这些行为模式的变更”B26o因此,他指出的关于数学与善的概念的关系便得到清楚地说明。
数学应用于人类生活的一切领域,帮助人们建立自然的秩序与规则，阻碍灾难的发生，为人类的福利与文明不断地作出奉献，数学在人类价值序列中占有不可替代的地位：
这就是数学的善。
追求数学的同时我们也要追求数学之善，促进整个世界的和谐与秩序建立，促进整个世界的科技进步，促进文化艺术的增加，从而使文明不断提升。
数学是一门艺术，数学美是数学发展的动力，这方面的论述已有很多共识。
我们认为，至少包含三种含义。
首先,数学发展的历史表明，应用是数学产生的源泉，而美学标准是数学发展最为关键的动力，“进行数学创造的最主要的驱策力是对数学美的追求”B27。
18世纪,科学与自然向数学提
出众多问题，牛顿与莱布尼兹创立了微积分，但真正使微积分成为数学的还是柯西等人的工作，
是美学的作用。
“美观与高雅对数学概念的评价来说，比是否严格正确，是否可能应用都重要得多”B28o
第二,数学是艺术，是美的化身，但这种美是思维抽象创造的产物，是一种精神。
欣赏数学，鉴赏数学，评价数学活动只有在学习数学与做数学的过程中才可以进行。
只有置身其中，才能分享这种美，才能产生喜悦的感受，感觉到精神上的亢奋，而不是感官的满足。
学习数学是再创造活动,与一般的艺术学习有较大的区别。
临摹与演练不会产生创造时的激动，很难达到心灵与精神上的美的享受。
第三,数学美的追求是人的一种精神动力。
美的需要与生俱有。
物质生活需要永远都是相对
的,而追求美的精神需要几乎是绝对的。
这就可以理解数学的产生有许多方面不仅是为了应用,
数学与艺术为什么会有天然的密切关系等问题。
人有物质需要，更有精神需要、审美需要。
数
学在满足人类物质需要（作为应用工具）的同时,又为其提供了高层次的智力活动与美的享受。
这
是人的生命中不可缺少的一种精神动力。
而数学活动（包括学习数学）实际上是一个探索自然界
潜藏奥秘的过程，这本身就是一个体验美的过程。
经历这个过程“使我们的智力变得精致和洗练”B29,使我们的精神世界不断得到升华。
“我们才在心灵深处感受到了真正的神的形象，
真正的美的本质，真正的艺术的芬芳……这时，我们才从心底感到无比喜悦,并情不自禁地使人类理性得以发扬”B30。
（2）数学有益于良好个性品质形成
由于数学是思维创造的产物，数学活动是思维创造活动，学习数学是思维的再创造过程，因而它有益于形成人的许多良好的个性品质。
首先,数学可以激发人思维的兴趣，激发其探索自然奥秘的好奇心。
数学的实践活动，尤其是解决问题，实际是在失败中进行探索，试图找到一条成功的道路。
通过尝试、失败、挫折的磨练，可以增强人的自信心与学习毅力，可以坚定学生的意志,使学生不畏错误，勇于探索。
在追求数学目标的过程中，通过对自己的方案进行不断地反思，否定，批判，可以培养学生的批判能力，培养其正确的科学态度及独立思考、解决问题的能力。
在学习数学过程中通过对自己的动机、自信、成就等不断地评价，评估，从而可以认识自己的价值，不断对自己的行为进行监控，调整。
这些内容对于学生追求人生目标，实现自我价值等方面也有迁移或示范作用。
4.启示
数学在人的发展中的这种特殊作用愈来愈受到教育的关注。
首先,现代教育普遍重视数学的
思维价值,各国把培养学生的思维能力放在数学课程目标的中心地位。
其中包括逻辑思维能力与
形象思维能力的培养，并通过解决问题来达到训练学生的数学思维。
其次是重视数学对于人的道德与个性品质的作用。
在处理知识与能力，能力与品质等方面进行广泛的研究与探索。
而那种忽视人的整个思维能力的培养，仅以逻辑思维为主的课程已受到多方面挑战，把数学仅作为应用工具的观点也受到广泛的批评，数学课程愈来愈发挥它在促进人的发展方面的全方位功能。
（三）数学：
人类文化的重要组成部分
上文中我们已论述，数学是人类认识自然的中介，是自然科学的工具，是思想方法的体系；数学是思维的工具，数学活动是一种创造与发现活动；数学同时是一种艺术。
因而，数学是人类文化的重要组成部分。
它在创造，保存，传递，交流，发展人类文化中充当着重要角色，发挥着巨大的作用。
数学促进着人类文化不断进步，促进着人类文明不断迈向更高阶段，数学精神是人类文化精神的最高代表。
1.数学是人类文化的有机组成部分
在人类文化的长河中，我们随机取一个片段，都可以发现数学是其中的一个重要组成部分。
古希腊、东方中国至今保存下来的文化遗产中，有很大部分是艺术与数学。
数学在文化保存与传播中发挥着潜在作用，并直接或间接地影响着人的精神的改变。
数学能帮助人们认识生活和世界,是人类从事普遍活动的有效工具，数学帮助并促进人类整个文化目标的实现。
因此，数学应视
作社会文化的一个方面。
从历史角度考察，数学在不同的历史发展时期都扮演着重要的角色，发挥着重要作用。
古希腊的理性,导致希腊文化的兴盛；古罗马的专制，轻视数学，导致文化的衰落。
文艺复兴也缘于恢复古希腊的理性，追根揭底仍与数学有不解之缘。
近代工业技术与数学的互相促进，新技术革
命起源于计算技术的改进都是与数学息息相通的。
数学发展促进了技术发展，技术发展也刺激了数学发展，二者共同促进了人类文化的发展。
这是因为，数学与技术的共同发展使物质得以迅速增长,人们随之而来的对世界与自然的认识，即思想方法发生变革，这些变革促进了艺术等更多领域的变化，因此文化本身向前发展了。
同时,我们也应看到，数学与文化发展有同步速度现象。
“数学还是一棵有生命力的树，她随
着文明的兴衰而容枯”B31。
当数学发展迅速时，正是人类文化发展最繁荣的时代。
古希腊时期、文艺复兴之后的科学时代等等都是例证。
当数学发展缓慢时，也正是科学技术、文化艺术发展最缓慢的时代。
欧洲中世纪长达千年的桎梏，尽管把数学捧作上帝，但上帝并不领情，中国明清数学的僵化，科技文化同样衰落。
这其中是否是数学起主导作用，还有争议，但数学与文化息息相通，
处于整个文化群体之中，这一点是不可否认的。
“数学的生命力正是根植于养育她的文明的社会之中。
事实上,数学一直是文明和文化的重要部分”B32。
“数学作为文化的一个部分，又扮演着不同的角色，发挥着不同作用。
数学在文化方面的反映可以是宗教的、艺术的、实际的、技术的或是为自身而研究的等等，因此,每种文化下都有自己的数学”B33o由于人类发展的地域、种族等不同，物质与文化成分的不同，造成了早期数学发展的差异，因而文化也产生差异。
这种差异形成遗传力量（内部的差异）。
同时,我们又看到，数学作为人们对自然界、宇宙的规则的认识，在人类进化的同一阶段有着共同认识自然的趋势与水
平。
这样，数学发展又有等同水平性。
例如，不同的民族都想到以符号记数，想到数的运算，几何和代数学的初步内容。
正是这种文化上的等同性，才使得在一定阶段，人类具有文化交流的可能
与实现,人类智慧才得以传播与交流，整个人类文化才能获得不断地创新。
“每种文化的数学都具有同等价值，因为一切文化具有同等效力”B34。
数学作为人类文化的组成部分,我们还可以从数学发展的力量来考查‘Wilder较早对此作了分析。
他认为,数学的发展是由其内部力量和外部力量共同决定的。
内部力量指遗传力量（包括
知识成分与观念成分），外部力量指环境力量（包括人类直接需要的物质成分和一般科学对数学
的需要一一文化成分）。
Wilder断言,数学发展的外部力量主要是其他科学,特别是物理科学的需要,而非人类物质生活的直接需要B35。
把数学看成是一个由于起内在力量与外部力量共同作用而处于不断发展和进化之中的文化系统，数学活动就其性质来说是社会性的,数学家是社
会成员，他们研究的是某种潜在的数学文化认为是重要的问题，也即存在某种文化力量而促使
人们去解决的那些问题B36尽管美学和哲学决定性地塑造了数学的特征，并且作出像欧氏几何和非欧氏几何这样不可超越的贡献，
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