郭硕鸿电动力学习题解答完全版16章.docx
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郭硕鸿电动力学习题解答完全版16章
电动力学习题解答
第一章
电磁现象的普遍规律
1.根据算符∇的微分性与矢量性推导下列公式
∇（Ar⋅Br）=Br×（∇×Ar）+（Br⋅∇）Ar+Ar×（∇×Br）+（Ar⋅∇）Br
Ar×（∇×Ar）=1∇Ar2−（Ar⋅∇）Ar
2
解
1∇（Av⋅Bv）=Bv×（∇×Av）+（Bv⋅∇）Av+Av×（∇×Bv）+（Av⋅∇）Bv
首先算符∇是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题
∇将作用于Av和Bv
又∇是一个矢量算符具有矢量的所有性质
因此利用公式cv×（av×bv）=av⋅（cv⋅bv）−（cv⋅av）bv可得上式其中右边前两项是∇作用于
v
v
A后两项是∇作用于B
v
v
2根据第一个公式令AB可得证
2.设u是空间坐标x
yz的函数证明
∇f（u）=df∇u
du
∇⋅Ar（u）=∇u⋅
dAr
du
r
∇×Ar（u）=∇u×
.
dA
du
证明
1
∇f（u）=∂f（u）erx+∂f（u）ery+∂f（u）erz=
df
du∂x
⋅
ex+
r
df∂uery+df∂ur
⋅
⋅
ez=df∇u
∂u
∂x
∂y
∂z
du∂y
du∂z
du
2
∂Ary（u）
∂y
dAry（u）
du
∂Arx（u）+
∂x
+∂Arzz（u）=dArx（u）⋅∂u+
⋅∂u+dArz（u）⋅∂u
r
∂z=∇u⋅du
∇⋅Ar（u）=
dA
∂z
du
∂x
∂y
dz
3
r
r
r
e
z
∂
e
e
∂Ary）erx+（∂Ar
−
∂z
∂Ar
∂Arx）erz=
∂y
r
r
x
y
∇×Ar（u）=
=（∂
x−∂
）ey+（y−
∂x
∂
∂
A
Ar
z
z
∂x
∂y
Ay（u）Az（u）
∂z
∂y
∂z
∂x
r
r
r
A
x（u）
-1-
电动力学习题解答
第一章
电磁现象的普遍规律
=（dArz∂
dAry∂ur
dArx∂u−dA
r
r
u−dAu
r
dAr
）ey+（dA
u−du∂z）ex+（
∂ur
∂
∂r
x
y
z
du∂xdu∂y）ez=∇u×du
du∂y
du∂zdu∂x
3.设r=（x−x
'
）
2
+（y−y
'
）
2
+（z−z
'
）
2
为源点x
'
到场点x的距离r的方向规定为从
源点指向场点
r∂'+er∂'+er∂
1证明下列结果并体会对源变数求微商（∇
'
=e
∂z'）与对场变数求
z
x∂x
y∂y
微商（∇=erx∂
r∂r∂
+ez
∂z）的关系
∂x+ey∂y
r
r
r
r
r
r
1
r
'1
r
r
r
r
r
∇r=−∇'r=,∇=−∇=−
∇×r
3=0,∇⋅r=−∇'
3=0.（r≠0）
r
r
3
3
r
（最后一式在人r0点不成立见第二章第五节）
2求
∇⋅rr,∇×rr,（ar⋅∇）rr,∇（ar⋅rr）,∇⋅[Er0sin（kr⋅rr）]及∇×[Er0sin（kr⋅rr）],其中ar,kr及Er0均为常矢量
证明∇⋅rr=
∂（x−x
∂x
'）+
∂（y−y
∂y
'
）+∂（z−z
'）=3
∂z
r
r
r
e
e
e
x
y
z
∇×rr=
∂
∂
∂
=0
∂x
x−x
∂y
y−y
∂z
z−z
'
'
'
∂v
（av⋅∇）rr=[（axevx+ayevy+azevz）⋅（ex+∂∂yevy+∂∂zevz）][（x−x'）evx+（y−y'）ery+（z−z'）evz]
∂x
=（ax∂+ay∂+az）[（x−x'）evx+（y−y'）ery+（z−z'）evz]
∂
∂x
∂y
∂z
=axevx+ayevy+azevz=av
∇（av⋅rv）=av×（∇×rv）+（av⋅∇）rv+rr×（∇×av）+（rv⋅∇）⋅av
=（av⋅∇）rv+rv×（∇×av）+（rv⋅ar）⋅av
=av+rv×（∇×av）+（rv⋅∇）⋅av
∇⋅[Er0sin（kr⋅rr）]=[∇（sin（kr⋅rr）]⋅Er0+sin（kr⋅rr）（∇⋅Er0）
-2-
电动力学习题解答
第一章
电磁现象的普遍规律
=[∂∂xsin（kr⋅rr）erx+∂∂ysin（kr⋅rr）ery+∂∂zsin（kr⋅rr）erz]E0
=cos（kr⋅rr）（kxerx+kyery+kzerz）Er0=cos（kr⋅rr）（kr⋅Er）
∇×[Er0sin（kr⋅rr）]=[∇sin（kr⋅rr）]×Er0+sin（kr⋅rr）∇×Er0
4.应用高斯定理证明
dV∇×fr=∫SdSr×fr
∫
V
应用斯托克斯
Stokes定理证明
∫SdSr×∇φ=∫Ldlrφ
证明
1）由高斯定理
dV∇⋅gr=∫SdSr⋅gr
∫
V
∂g
即
（∂
g
∂x
∂g
∫
V
x+
y+
zz）dV=∫gxdSx+gydSy+gzdSz
∂
∂y
S
而∇×frdV=[（fz−∂∂zfy）ir+（fx−∂∂xfz）rj+（fy−∂∂yfx）kr]dV
∂
∂
∂
∫
V
∫
∂y
∂z
∂x
=
∫
[∂∂x（fykr−fzrj）+∂∂y（fzir−fxkr）+∂∂z（fxrj−fyir）]dV
rr
[（fzdSy−fydSz）ir+（fxdSz−fzdSx）rj+（fydSx−fxdSy）kr]
（fykr−fzrj）dSx+（fzir−fxkr）dSy+（fxrj−fyir）dSz
∫
S
dS×f
=
∫
又
S
=
∫
若令Hx=fykr−fzrj,Hy=fzir−fxkr,HZ=fxrj−fyir
则上式就是
∇⋅HrdV=∫SdSr⋅Hr,高斯定理则证毕
∫
V
2）由斯托克斯公式有
fr⋅dlr=∫S∇×fr⋅dSr
∫
l
fr⋅dlr=
l（fxdlx+fydly+fzdlz）
∫
∫
l
∫S∇×fr⋅dSr=∫S
fz−∂fy）dSx+（fx−∂fz）dSy+（fy−∂fx）dSz
∂z∂z∂x∂x∂y
∂
∂
∂
（∂y
而∫dlrφ=
∫
l（φidlx+φjdly+φkdlz）
l
-3-
电动力学习题解答
第一章
电磁现象的普遍规律
∫SdSr×∇φ=∫S
（
dSz）ir+（
dSx）rj+（
∂y
dSy）kr
∂φdS−∂φ
∂φdS−∂φ
∂φdS−
∂φ
∂x
y
z
x
∂z
∂y
∂x
∂z
r
∂φrj）dS+（∂φ
r
i−∂∂φxkr）dSy+（∂∂φxrj−∂φ∂yir）dSz
∂φ
=
∫
（
k−
x
∂y
∂z
∂z
若令fx=φi,fy=φj,fz=φk
则证毕
5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为
Pr（t）=
ρ（x,t）xdV
r'
r'
'
∫
V
利用电荷守恒定律∇⋅Jr+∂ρ
r
∂t=0证明P的变化率为
dPr=
dt
r
r'
J（x,t）dV'
∫
V
∂Pr=∂ρr'
r'
∂txdV
r
∫
V
'
=−
∫
V
∇
'
j
'
xdV
r'
'
证明
∂t
r
∂t）x=−
∂P
r'
∇'rj'x'dV'=−∫[∇'⋅（x'j）−（∇'x'）⋅rj']dV'=
r'
（
∫
V
∫
V
（jx'−∇'⋅（x'j）dV'
=
∫
jxdV
'
−
∫Sxrj⋅dSr
若S→∞,则（）⋅
xjdSr
r
∫
=0,（rjS=0）
r
∂t）y=
r
∂ρ
（∂ρ∂t）z=jdV
（
∫
jdV
y
'
∫
'
同理
即
z
dPr=rr'
∫
jx,t）dV'
（
dt
V
mr×Rr的旋度等于标量ϕ=mr⋅Rr的梯
6.若m是常矢量证明除R0点以外矢量Ar=
r
R
3
R
3
度的负值即
∇×Ar=−∇ϕ
其中R为坐标原点到场点的距离方向由原点指向场点
证明
mv×Rv）
1
r
1
r
1v
r
1
r
∇×Av=∇×（
=−∇×[mv×（∇R1）]=（∇⋅mv）∇+（mv⋅∇）∇−[∇⋅（∇）]m−[（∇）⋅∇]mv
R
3
-4-
电动力学习题解答
第一章
电磁现象的普遍规律
1
=（mv⋅∇）∇,（r≠0）
r
∇ϕ=∇（mv⋅Rv
1
r
1
r
1
r
1
r
）=−∇[mv⋅（∇）]=−mv×[∇×（∇）]−（∇）×（∇×mv）−（mv⋅∇）∇
R
3
−[（∇）⋅∇]mv=−（mv⋅∇）∇
1
r
1
r
∴∇×Av=−∇ϕ
7有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球介质的电容率为ε使介质内均匀带静止自
由电荷ρf求
1空间各点的电场
2极化体电荷和极化面电荷分布
∫
解
1
∫SDr⋅dSr=
ρfdV,
（r2>r>r1）
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