北师大版九年级上册第一章全章导学案.docx

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北师大版九年级上册第一章全章导学案

北师大版九年级上册第一章全章导学案

1.菱形的性质与判定

（1）导学案

一、学习准备：

1、叫做平行四边形

2、平行四边形的对边，对角，邻角，对角线

3、一组对边的四边形是平行四边形，两组对边分别的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是。

两条对角线的四边形是平行四边形。

学习目标：

　　1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．

2．理解并掌握菱形的定义及性质1和性质2

3.会用这些性质进行有关的论证和计算

三、自学提示：

1、自主学习：

叫做菱形。

菱形是的平行四边形。

2、合作探究：

例1：

已知四边形ABCD是菱形，且AB=AD，求证四边相等。

性质1：

例2：

已知四边形ABCD是菱形，求证AC⊥BD。

性质2：

例3：

已知四边形ABCD是菱形，求证AC、BD各平分一组对角。

性质3：

注意，性质4：

菱形具有的一切性质。

思考：

菱形具有而平行四边形不一定具有的性质有哪些？

菱形是图形，对称轴有条，即两条所在的直线。

例1、如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。

四、学习小结：

这节课你有哪些收获和体会？

五、夯实基础：

1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AB=5cm，AD=4cm，求BD的长

2、已知：

如图，在菱形ABCD中，∠BAC=2∠B.求证：

△ABC是等边三角形

3、如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周长.

4、已知：

如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，

求证：

AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC

5、课本第5页，习题1.1第4题

1.菱形的性质与判定

（2）导学案

二、学习准备：

1.菱形的定义?

菱形的性质有哪些？

2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,则只需补充就可以判定它是一个菱形.

3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O并且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为cm.

学习目标：

•1.理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

•2.经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；

•3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高我们的能力。

三、自学提示：

1、根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形?

先想一想,再与同伴交流.

判定1：

2、合作探究：

平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,猜想:

菱形有哪些判定方法？

四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边形是菱形

对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?

已知:

如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.

求证:

□ABCD是菱形

判定2：

数学符号语言：

议一议：

已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?

以下是小刚的作法:

你是怎么做的?

你认为小刚的作法正确吗?

与同伴交流.

合作探究：

四条边相等的四边形是菱形

已知:

如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.

求证:

四边形ABCD是菱形

判定3：

数学符号语言：

四、学习小结：

这节课你有哪些收获和体会？

五、夯实基础：

1.课本P7随堂练习

2.课本P7习题1.2知识技能1、2、3

菱形的性质与判定（3）导学案

三、

学习准备：

1.如图所示：

在菱形ABCD中，AB=6，

（1）三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？

（2）对角线AC与BD有什么位置关系？

（3）若∠ADC=120°，求AC的长。

回忆：

菱形有哪些性质？

2.如图所示：

在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：

•添加方式1：

.

•添加方式2：

.

回忆：

菱形有哪些判定方法？

二、学习目标：

1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。

2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。

3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。

三、自学提示：

1、自主学习：

典型例题：

如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.

求：

（1）对角线AC的长度；

（2）菱形ABCD的面积.

思路启迪：

菱形的对角线有什么特点？

思考：

菱形面积是如何求出的？

变式训练

如图所示，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD=12cm，AC=16cm.

求：

（1）菱形的边长；

（2）求菱形一条边上的高.

思考：

求菱形面积的方法有几种？

重大发现：

菱形的面积等于其对角线乘积的一半

强化巩固：

已知菱形的周长为40，一条对角线长为16，则这个菱形的面积是.

2、合作探究：

（1）.如图，菱形ABCD周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则∠ABC=°，AC=cm.

（2）.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是        cm²．

（3）.已知，如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是（）

A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形

（4）.已知：

如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF，

求证：

（1）△ADE≌CDF；

（2）∠DEF=∠DFE.

3、拓展提高：

（1）.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？

为什么？

（2）.如图你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？

（3）.如图，在Rt△ACB=90°，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE延长线上，且AF=CE,求证：

四边形ACEF是菱形.

（4）.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？

请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

四、学习小结：

这节课你有哪些收获和体会？

1.我学会了哪些知识？

2.我获得了哪些感受？

五、巩固强化

习题1.3知识技能　2、3、4

1.1.3菱形有关计算

（1）菱形的性质：

①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．

③具有平行四边形所有性质．④既是轴对称图形又是中心对称图形。

（2）菱形的计算：

周长C=4×边长，面积S=底×高；

（

是对角线）

（3）有些结论：

如图：

若∠DAB=60°或∠ABC=120°时，则短对角线BD=边长AB

长对角线AC=边长AB的

倍。

长对角线AC=短对角线BD的

倍。

（4）菱形的判定：

①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．

③四条边都相等的四边形是菱形．④对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。

【例题经典】

例1、已知：

菱形ABCD中，对角线AC=16cm，BD=12cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长.

变式练习1：

1．已知菱形的周长为16cm，则菱形的边长为_cm．

2．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是__cm．

3．已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为__cm．

4．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：

BD=4：

3，那么对角线AC=____cm，BD=____cm．

5．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm，则∠ABD的度数为，∠DAB的度数为_；对角线BD=__，AC=；菱形ABCD的面积为．

6．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（）．

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

例3、在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，并问同学，重叠部分是一个什么样的四边形？

同学说：

这是一个平行四边形．乙同学说：

这是一个菱形．请问：

你同意谁的看法要解决此题，需建构数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决，即已知：

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，边CD与边BC上的高相等，试判断四边形ABCD的形状．

四边形ABCD是菱形。

变式练习2：

1、如图，AD是三形ABC的角平分线，DE平行于AC交AB于点E，DF平行于AB交AC于F，试判断四边形AEDF是何图形，并说明理由。

2、如图，平边ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，试说明四边形AFCE是菱形

3、如图，菱形ABCD中，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，请你猜想CE与CF的大小关系？

并说明理由。

4、如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？

5、如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a

证明：

不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。

1.2矩形的性质和判定导学学案

（1）

一、学法指导

1．能运用综合法证明矩形性质定理。

2．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。

二、回顾旧知

1．平行四边形具有哪些性质？

你了解哪些特殊的平行四边形？

2．这些特殊的平行四边形与平行四边形有哪些关系？

3．能用一张图来表示它们之间的关系吗？

三、超前体验

第一环节：

创设情景，导入新课

问题：

利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察：

（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？

（2）在运动过程中四边形不变的是什么？

（3）在运动过程中四边形改变的是什么？

（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？

这时的平行四边形是什么图形?

矩形的定义：

——————————————————————————————————————。

第二环节：

分组讨论，探究新知

问题1：

既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？

性质

边

角

对角线

对称性

矩形

对边平行且相等

对角相等

对角线互相平分

中心对称图形

问题2

（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；

（2）根据测量的结果，猜想结论。

当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？

（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？

结论：

矩形的性质定理1：

矩形的四个角都是直角.

矩形的性质定理2：

矩形的对角线相等.

第三环节：

层层递进，推理论证

已知：

如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。

求证

（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°

（2）AC=BD

第四环节：

乘胜追击，完善性质

问题1：

请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

（1）矩形是不是中心对称图形?

如果是，那么对称中心是什么？

（2）矩形是不是轴对称图形?

如果是，那么对称轴有几条?

结论：

——————————————————————————————————————————————。

问题2：

请你总结一下矩形有哪些性质？

归纳概括矩形的性质：

从边来说，——————————————————————————————

从角来说，——————————————————————————————

从对角线来说，——————————————————————————

从对称性来说，——————————————————————————。

问题3：

矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（    ）

A.对角相等      B.对边相等

C.对角线相等  D.对角线互相平分

第五环节：

建构新知，发展问题

问题1：

（1）矩形的两条对角线可以把矩形分成几个直角三角形？

（2）在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？

（3）你能发现它有什么特殊的性质吗？

（4）你能借助于矩形加以证明吗？

定理：

——————————————————————————————————————。

练一练

已知△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.

（1）若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;

（2）若∠C=30°,AB＝5㎝,则

AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.

第六环节：

合作交流，解决问题

例1：

如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。

第七环节：

反思交流，反馈提高

1.本节课你学到了什么？

（1）矩形定义

（2）矩形的性质

（3）直角三角形的性质

（4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。

因此，矩形的问题可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。

自我检测。

（1）下列说法错误的是（   ）．

A.矩形的对角线互相平分B. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

C.有一个角是直角的四边形是矩形D. 矩形的对角线相等。

（2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的长和宽分别为 _____。

提高练习：

1、一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长

2、一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个矩形较短的边

3、

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论

4、证明：

如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

★矩形的性质：

①矩形的四个角都是_______；②矩形的对角线_________；

★推论：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

矩形的常用判定方法:

1、有______角是直角的四边形是矩形；②、对角线相等的_____________是矩形；

③、对角线相等且互相平分的四边形是矩形

结论：

如果一个三角形一边上的_____等于这边的一半，那么这个三角形是_______________.

★：

如图：

在矩形ABCD中，若∠ABD=60°，则这个矩形的宽AB是对角线AC的一半，长BC是宽AB的

倍

例4：

已知：

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB.求证：

△AOB是等边三角形

变式练习3：

1.已知，在矩形ABCD中，AE⊥BD，E是垂足，∠DAE∶∠EAB=2∶1，求∠CAE的度数。

2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．

3.如图1，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）．

（A）98（B）196（C）280（D）284

（1）

（2）（3）

4.如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．

5.如图3,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD．若矩形ABCD的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______cm2．

6、如图6，在矩形ABCD中，E是BC上一点且AE=AD，又

于点F，证明：

EC=EF.

7、如图7，已知P是矩形ABCD的内的一点.求证：

.

1.2矩形的性质与判定学案

（2）

1、教学目标：

能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；

2、过程与方法：

经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；

3、情感态度与价值观：

通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。

教学重点：

矩行的性质和直角三角形的性质

教学难点：

矩行的性质和直角三角形的性质的应用

教学过程

第一环节：

课前准备（学生完成5分钟）

活动内容：

知识回顾

矩形的定义：

——————————————————————————————————————————

矩形的性质：

边

角

对角线

第二环节：

课题引入，（学生探究10分钟）

活动内容：

情境一

（1）如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？

（2）

请学生交流大体思路；

（3）用规范的数学语言写出证明过程；

（4）同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。

问题

（1）:

随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？

问题

（2）:

当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？

由此你能得到一个怎样的猜想？

猜想：

——————————————————————————————————————————————————————

已知：

四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.

求证：

四边形ABCD是矩形.

矩形判定方法一：

数学符号语言：

情境二：

李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？

为什么

猜想：

你能证明你的结论吗？

矩形判定方法二：

——————————————————————————————

数学符号语言：

第三环节：

教师引导，独立证明（10分钟）

活动内容：

议一议：

1.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？

2.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？

3.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？

第四环节：

实际应用，练习提高（学生独立完成10分钟）

活动内容：

例：

如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.

求□ABCD的面积.

练一练1

已知：

如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC.

求证：

四边形ABCD是矩形.

练一练2

已知：

如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，CM∥BD,DM∥AC.

求证:

四边形OCMD是矩形.

第五环节：

课堂小节，回顾思考（师生共同总结5分钟）

矩形的判定方法:

有一个角是直角的平行四边形是矩形.

对角线相等的平行四边形是矩形.

有三个角是直角的四边形是矩形.

第六环节：

巩固提高

1、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE、CE。

（1）

试判断四边形ABEC的形状

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？

2、如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平分线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D。

试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论。

3、

如图，已知菱形ABCD，画一个矩形，使A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍。

1.2矩形的性质与判定学案（3）

知识与技能：

1、知识目标：

能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；提高实际动手操作能力。

2、能力目标：

经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；

过程与方法：

通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科

学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。

情感态度价值观：

通过课堂的自主探究活动，让学生感受合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，激发学生学习数学的激情，树立学好数学的信心。

教学过程：

本节课设计了六个教学环节：

第一环节：

复习导入；第二环节：

讲授新课；第三环节：

巩固提高；第四环节：

课堂小结；第五环节：

布置作业。

第一环节　复习导入

1.如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2.5cm，则∠DAO=,AC=cm，

_______。

2.如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件，可使它成为矩形。

目的：

通过两道题目复习矩形的性质和判定，复习旧知识为本节课的进行热身。

1、

学生回答解题时使用的方法，进一步为本节课的开展做铺垫。

第二环讲授新课

例3如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.

解：

例4如图1-15，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：

四边形ADCE是矩形.

证明：

第三环节　巩固提高

在例题4中，若连接DE，交AC于点F（如图1-16）

（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.

（2）线段DF与AB有怎样的关系？

请证明你的结论.

练习：

已知：

如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，M、N分别是BC和AD的中点.

求证：

四边形BMDN是矩形.

第四环节　课堂小结:

1、说说你的收获。

2、说说你的困惑。

3、说说你的方法。

第五环节　夯实基础

1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB=30°，BD=4，求矩形ABCD的面积

2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E。

已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO的度数

3、已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：

四边形ADCE是矩形

4、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合。

请在图中画出折痕，并求折痕的长。

5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F。

求PE+PF的值

6、如图，四边形AB