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概率论习题解答科学出版社
概率论第五章习题解答（科学出版社）
1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布，现
随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h的概率。
解设这16只元件的寿命为X,.,/=1,2,...,16,则X=£x「
r-1
因为“=E（XJ=0=1009a2=D（Xi）=01=10000
"（0,1）
…fX—16001920—1600、^X-1600八心
P{X>1920=P>=P{>0.8
400400400
=1-P{
X-1600
<0.8}=1-①（0.8）==1-0.7881=0.2119.
400
数学期望为280美元,
标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000
美元的概率；
（2）—公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为乙，7=1,2,…,50
（以千美元计）服从韦布尔分布，均值E（Xf）=5,方差D（X,）=6求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。
解
（1）设每个投保人索赔金额为/=1,2,...,10000,则索赔总金额为l（X）00
又E（Xr.）=280,D（X;）=8OO2,所以，
索赔总金额不超过2700000美元的概率
P{X>2700000}=V-P{X<270000}
10000
YX-280x10000
=1-P{<
800x100
2700000-2800000
80000
1000（）
工&-2800000
=1_卩{<--}
g
80000
1（）000
工X厂2800000
=1-P{—*<-1.25）近似的服从"（0,1）
80000
即P{X>2700000}=1-①（一1.25）=①（1.25）=0.8944
（2）P{X>3OO）=1-P{X<3OO）
50
工X,—50x5
1-P{jLL
V6V50
300-250
V300
5（）
YXr-50x5
=1_P{
1V6V50
50
工X厂50x5=l_P{iLL
<2.89}
=1一①（2.89）=1—0.9981=0.0019
3、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立，且在（一，）上服从均匀分布，
（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少
（2）最多可有儿个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概
率不小于
解设每个加数的舍入误差为乙，i=l,2,…,1500,由题设知X,相互独立同
分布，且在（一，）上服从均匀分布，从而
心*。
，心呼洛
⑴、记由独立同分布的中心定理有X二15（）翼=亠近似的幺./BOOK
12
服从N（0,l）,从而P{IXI>15}=1-P{IXI<15}=1-P{-15V125a/125V125
=2（1-0（A））=2（1-0（1.34））=2（1-0.9099）=0.1802。
J5
（2）、记X=》X「要使P{IXlv10}20.90，由独立同分布的中心极限定r-l
理,
近似地有
P{IXI<10）=P{-10=2<1>（-^=）-120・90
>0.95,查表得^>（1.64）=0.95
上==1・64,解得;?
=443o
%2
即最多可有443个数相加，可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小
于。
4、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，
其数学期望为，均方为，问5000只零件的总重量超过2510血的概率是
多少
解设每只零件的重量为Xj,j=l,2,…,5000,由独立同分布的中心极限定
理知
5000
工0.5x5000
jj——近似地服从"（0,1）
75000x0.1
P{X>2510）=l-P{X<2510}
5000
2510-2500
V50
-w1
工X厂0.5x5000
=1_円
75000x0.1
5（XX）
工Xf—0.5x5000
=1-P{
75000x0.1
亠①需yg-=。
5、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m,现从这批木
柱中随机地取100根，求其中至少有30要短于3m的概率。
解把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验，并假定各次试验相
互独立，在100次试验中长度不小于3m的根数记作X,则X是随机变量X,且X~5（100,0.8）,其分布律为
P{X=k}=C爲0.8*x0.2叫，k=0,l,2,...,100
所求的概率为P{Xv70}
由徳莫弗一一拉普拉斯定理可求它的近似值
«1-6、一工人修理一台机器要两个阶段，每一阶段需要时间（小时）服从均值为的指数分布，第二阶段所需要的时间服从均值为的指数分布，且与第一阶段独立。
现有20台机器需要修理，求他在8小时内完成任务的概率。
解设修理第i（/=1,2,...,20）台机器，第一阶段耗时X,,第二阶段为X，则共耗时为Z产乙+齐
已知因为指数分布的数学期望为方差少，即£（Xf）=0.2,
E（K）=0.3,D（X.）=0.22,D（y；）=0.32,又第一阶段和第二阶段是相互独立的，故
E（ZJ=E（X,+乙）=E（X）+E（K）=0.2+0.3=0.5
D（ZJ=D（Xj+0=D（XJ+D（耳）=0.22+O.32=0.13
20台机器需要修理的时间由独立同分布的中心极限定理，20台机器需要维修的时间可认为近似地服从正态分布，即
工Z厂E（工ZJ为Z厂20x0.5
=1-0（1.24）=!
-0.8925=0.1075
ir-1_1-1
即不大可能在8小时内完成任务。
（因为完成任务的可能性不到20%）
7、一家食品店有三种蛋糕出售，由于出售哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、元、元各个值的概率分别为…若售出300只蛋糕,
（1）求收入至少400元的概率。
（2）求售出价格为元的蛋糕多于60只的概率。
解设第j格为为X,（（=1,2,...,300）,其分布律
Xj
1
1.2
1.5
Pi
由此得
E（Xr）=lx0.3+1.2X0.2+1.5X0.5=1.29（即平均收入）
E（X；）=1x0.3+1.44x0.2+2.25x0.5=1.713
D（X/）=E（X2,）-（E（X,.））2=1.713-（1.29尸=0.0489
3（X）
以X表示总收入，即由独立同分布中心极限定理，得
/-I
300300
-300x1.29》Xj_387
[斗=/〜7V（387J4.67）
7300x0.0489714.67
则收入超过400元的概率为
300300
X.>400}=1-X,v400）
/-I/-]
300
=5匸兰
V14?
67V1J67
=1一①（丄丄）=1一①（3.39）
3.83
=1-0.9997=0.0003o
（2）以厂记300只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕数，于是丫~以300,0.2）,£（/）=300x0.2=60（出售这种蛋糕的平均只数）,
£＞（r）=300x0.2x0.8=4.8（二项分布的方差）
售出价格为元的蛋糕多于60只的概率为
p{r>60}=i-P{r<60}
=1一①（0）=1—0.5=0.5
（即有50%的可能售出60只价格为元的蛋糕。
）
8、
（1）一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行过程期间每个部件损坏的概率为，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。
（2）一个复杂系统由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性（即部件正常工作的概率）为，且必须至少有80%的部件正常工作才能使整个系统工作，问n至少为多大时才能使系统的可靠性不低于。
解
（1）设正常工作的部件数为
J1,第i个部件在整个运行期间工作
/=[0,第i个部件在整个运行期间损坏…’
由题设知/（j=0丄2,…,100）相互独立，且P{X/=l}=0.9,
KX）
P（X，=0）=0.1，设X则X〜〃（100,0.9）。
由徳莫弗一一拉普拉斯
r-i
P{X>85）=1-P{X<85）
.…X-100x0.985-100x0.9、
=1_P{厂<'r——一■}
7100x0.9x0.17100x0.9x0.1
=1-（£>（--）=（2）设观察每个部件是否损坏为一次试验，记损坏的部件数为X,
则X是一个随机变量，由于当有20%的部件不工作时系统
就不能工作，因此若设N=0.2“（取整数），则当正常工作的部件数时,
P{X系统就不能正常工作。
根据徳莫弗一一拉普拉斯定理
0・3亦
、0.3丽1枫0.3丽）1°95005
X-nxO.l
>//?
x0.9x0.1
亍N-〃xO・l}
>//zx0.9x0.1
查表得①（1.65）=0.95（由标准正态分布的对称性。
由于N=03（取整数），故可以认为^-0.171=0.1/7,
即当n至少为25时，才能使系统的可靠性不低于
9、已知在某十字路口，一周事故发生数的数学期望为，标准差为
（1）以戸表示一年（以52周计）此十字路口事故发生数的算术平均,
试用中心极限定理求戸的近似分布，并求P{X<2]o
（2）求一年事故数小球100的概率。
解
（1）设该十字路口第i周发生事故次数为X"则X,（心0丄2,…,52）
是相互独立的随机变量，
已知
“=E（X）=2・2,标准差b=jD（X）=L4,
则方差
0-2=1.42=1.96,
于是/服从正态分布W-2J.42）,由中心极限定理,
壬~“（“,呀）=“（2.2,1・％）。
（见教材P122之（）式）。
=0>（-1.03）=1-0（1.03）
=1-0.8485=0.1515o
（2）设X「则
=1一①（1.43）=1-0.9236=0.0764
10、某种汽车氧化氮的排放量的数学期望为km,标准差为km某汽车公司有这汽
车100辆，以戸表示这些汽车氧化氮排放量的算术平均值，问当厶为何值时X>L的概
率不超过。
解设每辆汽车的氧化氮排放量为X,（，=1,2,…,100）,则X,是相互独立的随机变量，且“=£（XJ=0.9,er=75c\）=1.9,ct2=1.92,
由中心极限定理知，X〜N（O.9,1・%0）
于是P{X>L}=\-P{XDfX-0.9L-0.9】i丹厶一09、
=1一P{—<—}=1一①（）
1.9/V1000.19
令1一①（£z22）so.oi,即4>（L~^2）>o.99
0.190.19
查表有①（2.33）=0.9901
令厶_0・9=2.33,得L=1.3427g/km
0.19
11、随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室测量某种化合
物的PH值，各人
测量的结果是随机变量，且相互独立，服从同一分布，数学期望为5,方差为。
以戸,
卩分别表示第一组和第二组所得的结果的算术平均值。
（1）求P{4・9vXv5」}；
（2）求P{-0・lv片-PvO.l}
解因为E（X）=E（Y）=5
（1）由中心极限定理知X近似服从N（5,0.3/80）,于是
5.1-5
—49-5X-5
P{4.9j「<
703/807^3/80
…°・1工0.1
=◎（）_◎（）
0.06120.0612
=20（1.63）-1
=2x0.9484-1=1.8968-1=0.8968。
（2）因为E（X_Y）=E（X）-E（K）=0,D（X-y）=£）（X）+D（y）=0.3/40
由中心极限定理知戸-V近似服从N（0,0.3/40）,故
"5叶话十件
=钊掃乔）_®雋乔）=2①（需）_1
卞（鴿）亠沁⑸
=2x0.8749-1=1.7498-1=0.7498。
12、一公寓有200住户，一户拥有汽车数X的分布分赴为
X
0
1
2
Pk
问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车邻六事鬼概率至少为。
解设需要的车位数为〃，设第/（/=1,2,...,200）户有车辆数为乙，则
E（X,）=0x0」+1x0.6+2x0.3=1.2
E（X；）=0x0.1+1x0.6+4x03=1.8
D（X）=E（X：
）-（E（XJ）2=1.8-1.22=o,36
因为共有200户，各户占有车位相互独立，从而近似地有
200
工乙〜NQ20.36）
j-i
所求概率为
200
P{^X.0.95,
/-]
即円丈X,0.95台7200x0.36V728.49
令^^>1.65,解得«=254
8.49
由此知至少需要254个。
13、某电子器件的寿命（小时）具有数学期望“（未知），方差刃=400。
为了估计“，随机地取n只这种器件，在时刻『=0投入测试（测试是相互独立的）直到失效，测得其寿命x“x”…、以X=-作为“的估计，为使P{IX-//l0.95,问n至少为
多少
解由独立同分布中心极限定理，兰二竺=兰二£近似的服从7V（0J）
20/丽20/n
虫谱）5-务沖尊I
要使P{IX-/zl0.95,即20（^）-1>0.95,亦即①（£“0.975
2020
查表知
①（1.96）=0.975,得—>1.96,亦=39.2,“=1536.64
20
故n至少为1537o
14、某药丿•断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为，医院任意抽查100个服用此药品的病人，若其中多于75人治愈,就接受此种断言。
（1）若实际上药品对这种疾病的治愈率为，问接受这一的概率是
多少
（2）若实际上此药品的治愈率为，问接受这一断言的概率是多少
解
（1）设X表示服用此种药品而治愈的病人数，则X-/X100.0.8）,此
时E（X）=100x0.8=80
£>（%）=100x0.8x0.2=16,JD（X）=4
由徳莫弗一一拉普拉斯中心极限定理，X近似的服从
N（np,np（l-p））=TV（100x0.8,100x.8x0.2）=N（80,16）
若实际上药品对这种疾病的治愈率为，接受接受这一断言，即
{X>75}
P{X>75}=1-P{X<75）
亠皆斗}
十心2吕
4^/T004
=1-^）（1.25）二①（1.25）=0.8944
（2）若实际上此药品的治愈率为，接受这一断言即{X>75},而
E（X）=100x0・7=70
D（X）=100x0・7x0.3=21,
接受这一断言即{X>75}
=1一①（1.09）=1-0.8621=0.1379
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