传感器与传感器技术何道清课后答案终审稿.docx
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传感器与传感器技术何道清课后答案终审稿
PleasureGroupOffice【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
传感器与传感器技术何道清课后答案
《传感器与传感器技术》计算题答案
第1章传感器的一般特性
1—5某传感器给定精度为2%F·S,满度值为50mV,零位值为10mV,求可能出现的最大误差(以mV计)。
当传感器使用在满量程的1/2和1/8时,计算可能产生的测量百分误差。
由你的计算结果能得出什么结论
解:
满量程(FS)为50﹣10=40(mV)
可能出现的最大误差为:
m=402%=(mV)
当使用在
1/2和1/8满量程时,其测量相对误差分别为:
1—6有两个传感器测量系统,其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述,试求这两个系统的时间常数和静态灵敏度K。
(1)
式中,y——输出电压,V;T——输入温度,℃。
(2)
式中,y——输出电压,V;x——输入压力,Pa。
解:
根据题给传感器微分方程,得
(1)τ=30/3=10(s),
K=105/3=105(V/℃);
(2)τ==1/3(s),
K==(V/Pa)。
1—7已知一热电偶的时间常数=10s,如果用它来测量一台炉子的温度,炉内温度在540℃至500℃之间接近正弦曲线波动,周期为80s,静态灵敏度K=1。
试求该热电偶输出的最大值和最小值。
以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。
解:
依题意,炉内温度变化规律可表示为
x(t)=520+20sin(t)℃
由周期T=80s,则温度变化频率f=1/T,其相应的圆频率=2f=2/80=/40;
温度传感器(热电偶)对炉内温度的响应y(t)为
y(t)=520+Bsin(t+)℃
热电偶为一阶传感器,其响应的幅频特性为
因此,热电偶输出信号波动幅值为
B=20
A()=
=15.7℃
由此可得输出温度的最大值和最小值分别为
y(t)|
=520+B=520+=535.7℃
y(t)|
=520﹣B==504.3℃
输出信号的相位差为
(ω)=arctan(ω
)=arctan(2/8010)=
相应的时间滞后为
t=
1—8一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述,即
式中,y——输出电荷量,pC;x——输入加速度,m/s2。
试求其固有振荡频率n和阻尼比。
解:
由题给微分方程可得
1—9某压力传感器的校准数据如下表所示,试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差,并计算迟滞和重复性误差;写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。
校准数据表
压力
(MPa)
输出值(mV)
第一次循环
第二次循环
第三次循环
正行程
反行程
正行程
反行程
正行程
反行程
0
解校验数据处理(求校验平均值):
压力
(MPa)
(设为x)
输出值(mV)
第一次循环
第二次循环
第三次循环
校验平均值
(设为y)
正行程
反行程
正行程
反行程
正行程
反行程
0
(1)端点连线法
设直线方程为
y=a0+kx,
取端点(x1,y1)=(0,)和(x6,y6)=(,)。
则a0由x=0时的y0值确定,即
a0=y0kx=y1=(mV)
k由直线的斜率确定,即
(mV/MPa)
拟合直线方程为
y=+
求非线性误差:
压力
(MPa)
校验平均值
(mV)
直线拟合值
(mV)
非线性误差
(mV)
最大非线性误差
(mV)
0
0
0
所以,压力传感器的非线性误差为
求重复性误差:
压力
(MPa)
输出值(mV)
正行程
反行程
1
2
3
不重复误差
1
2
3
不重复误差
0
最大不重复误差为mV,则重复性误差为
求迟滞误差:
压力
(MPa)
输出值(mV)
第一次循环
第二次循环
第三次循环
正行程
反行程
迟滞
正行程
反行程
迟滞
正行程
反行程
迟滞
0
0
最大迟滞为,所以迟滞误差为
(2)最小二乘法
设直线方程为
y=a0+kx
数据处理如下表所示。
序号
1
2
3
4
5
6
∑
x
0
y
x2
0
xy
0
根据以上处理数据,可得直线方程系数分别为:
所以,最小二乘法线性回归方程为
y=+
求非线性误差:
压力
(MPa)
校验平均值
(mV)
直线拟合值
(mV)
非线性误差
(mV)
最大非线性误差
(mV)
0
所以,压力传感器的非线性误差为
可见,最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小,所以最小二乘法拟合更合理。
重复性误差R和迟滞误差H是一致的。
1—10用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时,如幅值误差限制在5%以内,则其时间常数应取多少若用该系统测试50Hz的正弦信号,问此时的幅值误差和相位差为多
解:
根据题意
(取等号计算)
解出
ωτ=
所以
=
当用该系统测试50Hz的正弦信号时,其幅值误差为
相位差为
=﹣arctan()=﹣arctan(2π×50××103)=﹣°
1—11一只二阶力传感器系统,已知其固有频率f0=800Hz,阻尼比=,现用它作工作频率f=400Hz的正弦变化的外力测试时,其幅值比A()和相位角()各为多少;若该传感器的阻尼比=时,其A()和()又将如何变化
解:
所以,当ξ=时
当ξ=时
1—12用一只时间常数=的一阶传感器去测量周期分别为1s、2s和3s的正弦信号,问幅值相对误差为多少
解:
由一阶传感器的动态误差公式
=
1—13已知某二阶传感器系统的固有频率f0=10kHz,阻尼比=,若要求传感器的输出幅值误差小于3%,试确定该传感器的工作频率范围。
解:
由f0=10kHz,根据二阶传感器误差公式,有
将=代入,整理得
1—14设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理,其固有振荡频率分别为800Hz和,阻尼比均为。
今欲测量频率为400Hz正弦变化的外力,应选用哪一只并计算将产生多少幅度相对误差和相位差。
解:
由题意知
则其动态误差
=%
相位差
=(rad)=°
第2章电阻应变式传感器
2—5一应变片的电阻R0=120Ω,K=,用作应变为800μm/m的传感元件。
(1)求△R与△R/R;
(2)若电源电压Ui=3V,求其惠斯通测量电桥的非平衡输出电压U0。
解:
由K=
,得
则
ΔR=×103×R=×103×120Ω=Ω
其输出电压为
=(mV)
2—6一试件的轴向应变εx=,表示多大的微应变(με)该试件的轴向相对伸长率为百分之几
解:
εx==1500×10-6=1500(ε)
由于
εx=Δl/l
所以
Δl/l=εx==%
2—7某120Ω电阻应变片的额定功耗为40mW,如接人等臂直流电桥中,试确定所用的激励电压。
解:
由电阻应变片R=120
,额定功率P=40mW,则其额定端电压为
U=
当其接入等臂电桥中时,电桥的激励电压为
Ui=2U=2×=≈4V
2—8如果将120Ω的应变片贴在柱形弹性试件上,该试件的截面积S=×10-4m2,材料弹性模量E=2×101lN/m2。
若由5×104N的拉力引起应变片电阻变化为Ω,求该应变片的灵敏系数K。
解:
应变片电阻的相对变化为
柱形弹性试件的应变为
应变片的灵敏系数为
2—10以阻值R=120Ω,灵敏系数K=的电阻应变片与阻值120Ω的固定电阻组成电桥,供桥电压为3V,并假定负载电阻为无穷大,当应变片的应变为2με和2000με时,分别求出单臂、双臂差动电桥的输出电压,并比较两种情况下的灵敏度。
解:
依题意
单臂:
差动:
灵敏度:
可见,差动工作时,传感器及其测量的灵敏度加倍。
2—11在材料为钢的实心圆柱试件上,沿轴线和圆周方向各贴一片电阻为120Ω的金属应变片R1和R2,把这两应变片接人差动电桥(参看习题图2—11)。
若钢的泊松比μ=,应变片的灵敏系数K=2,电桥的电源电压Ui=2V,当试件受轴向拉伸时,测得应变片R1的电阻变化值△R=Ω,试求电桥的输出电压U0;若柱体直径d=10mm,材料的弹性模量E=2×1011N/m2,求其所受拉力大小。
习题图2-11差动电桥电路
解:
由R1/R1=K1,则
2=1==
所以电桥输出电压为
当柱体直径d=10mm时,由
,得
2—12一台采用等强度梁的电子称,在梁的上下两面各贴有两片电阻应变片,做成称重传感器,如习题图2—12所示。
已知l=10mm,b0=llmm,h=3mm,E=×104N/mm2,K=2,接入直流四臂差动电桥,供桥电压6V,求其电压灵敏度(Ku=Uo/F)。
当称重0.5kg时,电桥的输出电压Uo为多大
(a)(b)
习题图2-12悬臂粱式力传感器
解:
等强度梁受力F时的应变为
当上下各贴两片应变片,并接入四臂差动电桥中时,其输出电压:
则其电压灵敏度为
=×10-3(V/N)=(mV/N)
当称重F==×=时,输出电压为
U0=KuF=×=(mV)
2—13现有基长为10mm与20mm的两种丝式应变片,欲测钢构件频率为10kHz的动态应力,若要求应变波幅测量的相对误差小于%,试问应选用哪一种为什么
解:
=v/f=5000/(10103)=(m)
l0=10mm时
l0=20mm时
由此可见,应选用基长l0=10mm的应变片.
2—14有四个性能完全相同的应变片(K=,将其贴在习题图2—14所示的压力传感器圆板形感压膜片上。
已知膜片的半径R=20mm,厚度h=0.3mm,材料的泊松比μ=,弹性模量E=×1011N/m2。
现将四个应变片组成全桥测量电路,供桥电压Ui=6V。
求:
(1)确定应变片在感压膜片上的位置,并画出位置示意图;
(2)画出相应的全桥测量电路图;
(3)当被测压力为时,求各应变片的应变值及测量桥路输出电压U0;
(4)该压力传感器是否具有温度补偿作用为什么
(5)桥路输出电压与被测压力之间是否存在线性关系
习题图2-14膜片式压力传感器
解:
(1)四个应变片中,R2、R3粘贴在圆形感压膜片的中心且沿切向;R1、R4粘贴在圆形感压膜片
之外沿径向,并使其粘贴处的应变εr与中心切向应变εtmax相等。
如下图(a)所示。
(2)测量电桥电路如上图(b)所示。
(a)(b)
题解2-14图
(a)应变片粘贴示意图;(b)测量电桥电路
(3)根据
(1)的粘贴方式,知
ε1=ε4=εtmax=×103
则测量桥路的输出电压为
(4)具有温度补偿作用;
(5)输出电压与被测力之间存在线性关系,因此,由(3)知
2—17线绕电位器式传感器线圈电阻为10KΩ,电刷最大行程4mm,若允许最大消耗功率为40mW,传感器所用激励电压为允许的最大激励电压。
试求当输入位移量为1.2mm时,输出电压是多少
解:
最大激励电压
当线位移x=时,其输出电压
2—18一测量线位移的电位器式传感器,测量范围为0~10mm,分辨力为0.05mm,灵敏度为mm,电位器绕线骨架外径d=5mm,电阻丝材料为铂铱合金,其电阻率为ρ=×10-4Ω·mm。
当负载电阻RL=10kΩ时,求传感器的最大负载误差。
解:
由题知,电位器的导线匝数为
N=10/=200
则导线长度为
l=Nd=200d,(d为骨架外径)
电阻丝直径与其分辨力相当,即d丝=0.05mm
故电阻丝的电阻值
δLm≈15m%=15×%=%
第3章电感式传感器
3—15某差动螺管式电感传感器(参见习题图3-15)的结构参数为单个线圈匝数W=800匝,l=10mm,lc=6mm,r=5mm,rc=1mm,设实际应用中铁芯的相对磁导率μr=3000,试求:
(1)在平衡状态下单个线圈的电感量L0=及其电感灵敏度足KL=
(2)若将其接人变压器电桥,电源频率为1000Hz,电压E=,设电感线圈有效电阻可忽略,求该传感器灵敏度K。
(3)若要控制理论线性度在1%以内,最大量程为多少
解:
(1)根椐螺管式电感传感器电感量计算公式,得
习题图3-15差动螺管式电感传感器
差动工作灵敏度:
(2)当f=1000Hz时,单线圈的感抗为
XL=ωL0=2πfL0=2π×1000×=2890(Ω)
显然XL>线圈电阻R0,则输出电压为
测量电路的电压灵敏度为
而线圈差动时的电感灵敏度为KL=mm,则该螺管式电感传感器及其测量电路的总灵敏度为
=mm
3—16有一只差动电感位移传感器,已知电源电Usr=4V,f=400Hz,传感器线圈铜电阻与电感量分别为R=40Ω,L=30mH,用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥,如习题图3—16所示,试求:
(1)匹配电阻R3和R4的值;
(2)当△Z=10时,分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值;
(3)用相量图表明输出电压
与输入电压
之间的相位差。
习题图3-16
解:
(1)线圈感抗
XL=L=2fL=240030103=()
线圈的阻抗
故其电桥的匹配电阻(见习题图3-16)
R3=R4=Z=()
(2)当ΔZ=10时,电桥的输出电压分别为
单臂工作:
双臂差动工作:
(3)
3—17如习题图3—17所示气隙型电感传感器,衔铁截面积S=4×4mm2,气隙总长度δ=0.8mm,衔铁最大位移△δ=±0.08mm,激励线圈匝数W=2500匝,导线直径d=0.06mm,电阻率ρ=×10-6.cm,当激励电源频率f=4000Hz时,忽略漏磁及铁损,求:
(1)线圈电感值;
(2)电感的最大变化量;
(3)线圈的直流电阻值;
(4)线圈的品质因数;
(5)当线圈存在200pF分布电容与之并联后其等效电感值。
习题图3-17气隙型电感式传感器(变隙式)
解:
(1)线圈电感值
(2)衔铁位移Δδ=+时,其电感值
=×10-1(H)=131mH
衔铁位移Δδ=﹣时,其电感值
=×10-1(H)=196(mH)
故位移=±0.08mm时,电感的最大变化量为
ΔL=L﹣L=196﹣131=65(mH)
(3)线圈的直流电阻
设
为每匝线圈的平均长度,则
(4)线圈的品质因数
(5)当存在分布电容200PF时,其等效电感值
3—18如图3—4(b)所示差动螺管式电感传感器,其结构参数如下:
l=160mm,r=4mm,rc=2.5mm,lc=96mm,导线直径d=0.25mm,电阻率ρ=×10-6Ω·cm,线圈匝数W1=W2=3000匝,铁芯相对磁导率μr=30,激励电源频率f=3000Hz。
要求:
(1)估算单个线圈的电感值L=直流电阻R=品质因数Q=
(2)当铁芯移动±5mm时,线圈的电感的变化量△L=
(3)当采用交流电桥检测时,其桥路电源电压有效值E=6V,要求设计电路具有最大输出电压值,画出相应桥路原理图,并求输出电压值。
解:
(1)单位线圈电感值
电阻值
(lcp=2r,每匝导线长度)
则品质因数
(2)铁芯位移Δlc=±5mm时,单个线圈电感的变化
(3)要使电桥输出最大,须使电桥为等臂电桥,则相邻桥臂阻抗比值a=1;且将电感线圈L和平衡电阻R放置在桥路输出的两侧,则=±(π/2),这时电桥的灵敏度|K|=,差动工作时为其2倍,故其输出电压
=(V)=544mV
其电桥电路如下图所示,其中Z1、Z2为差动螺管式电感传感器、R1、R2为电桥平衡电阻。
题3-18题解图
第4章电容式传感器
4—2试计算习题图4-2所示各电容传感元件的总电容表达式。
(a)(b)(c)
习题图4-2
解:
由习题图4-2可见
(1)图(a)等效为三个平板电容器串联
,
,
总电容量为
故
(2)图(ba)等效为两个平板电容器并联
(3)图(c)等效为两柱形电容器并联,总电容量为
4—3在压力比指示系统中采用差动式变间隙电容传感器和电桥测量电路,如习题4—3图所示。
已知:
δ0=0.25mm;D=38.2mm;R=Ω;Usr=60V(交流),频率f=400Hz。
试求:
(1)该电容传感器的电压灵敏度Ku(V/μm);
(2)当电容传感器的动极板位移△δ=10μm时,输出电压Usc值。
习题图4—3
解:
由传感器结构及其测量电路可知
(1)初始电容
由于
则
从而得
(2)U0=KuΔd=m×10m=
4—4有一台变间隙非接触式电容测微仪,其传感器的极板半径r=4mm,假设与被测工件的初始间隙d0=0.3mm。
试求:
(1)如果传感器与工件的间隙变化量△d=±10μm,电容变化量为多少
(2)如果测量电路的灵敏度足Ku=100mV/pF,则在△d=±1μm时的输出电压为多少
解:
由题意可求
(1)初始电容:
由
,则当Δd=±10um时
如果考虑d1=0.3mm+10μm与d2=0.3mm﹣10μm之间的电容变化量ΔC′,则应为
ΔC′=2|ΔC|=2×=
(2)当Δd=±1μm时
由Ku=100mV/pF=U0/ΔC,则
U0=KuΔC=100mV/pF×(±=±
4—5有一变间隙式差动电容传感器,其结构如习题图4-5所示。
选用变压器交流电桥作测量电路。
差动电容器参数:
r=12mm;d1=d2=d0=0.6mm;空气介质,即ε=ε0=×10-12F/m。
测量电路参数:
usr=u=
=3sinωt(V)。
试求当动极板上输入位移(向上位移)△x=0.05mm时,电桥输出端电压Usc
习题图4-5
解:
由习题图4-5可求
初始电容
C1=C2=C0=S/d=0r2/d0
变压器输出电压
其中Z1,Z2分别为差动电容传感器C1,C2的阻抗.在ΔX<(V)
4—6如习题图4-6所示的一种变面积式差动电容传感器,选用二极管双厂网络测量电路。
差动电容器参数为:
a=40mm,b=20mm,dl=d2=d0=1mm;起始时动极板处于中间位置,Cl=C2=C0,介质为空气,ε=ε0=×10-12F/m。
测量电路参数:
D1、D2为理想二极管;及R1=R2=R=10KΩ;Rf=1MΩ,激励电压Ui=36V,变化频率f=1MHz。
试求当动极板向右位移△x=10mm时,电桥输出端电压Usc
习题图4-6
解:
由习题图4-6可求
传感器初始电容
=×1012(F)=
当动极板向右移Δx=10mm时,单个电容变化量为
(或
)
则C1=C0+ΔC,C2=C0C,由双T二极管网络知其输出电压
USC=2kUifΔC
4—7一只电容位移传感器如习题图4-7所示,由四块置于空气中的平行平板组成。
板A、C和D是固定极板;板B是活动极板,其厚度为t,它与固定极板的间距为d。
B、C和D极板的长度均为a,A板的长度为2a,各板宽度为b。
忽略板C和D的间隙及各板的边缘效应,试推导活动极板刀从中间位置移动x=±a/2时电容CAC和CAD的表达式(x=0时为对称位置)。
习题图4-7
解:
参见习题图4-7知
CAC是CAB与CBC串联,CAD是CAB与CBD串联。
当动极板向左位移a/2时,完全与C极板相对(见题解4-7图),此时
CAB=CBC=ε0ab/d
则
CAC=CAB/2=CBC/2=ε0ab/2d;
CAD=ε0ab/(2d+t)。
题解4-7图
同理,当动极板向右移a/2时,与上相仿(见题解4-7图),有
CAC=ε0ab/(2d+t);CAD=ε0ab/2d
4—8已知平板电容传感器极板间介质为空气,极板面积S=a×a=(22)cm2,间隙d0=0.1mm。
求:
传感器的初始电容值;若由于装配关系,使传感器极板一侧间隙d0,而另一侧间隙为d0+b(b=0.01mm),此时传感器的电容值。
解:
初始电容
当装配不平衡时(见题解4-8图(a)),可取其平均间隙计算(见题解4-8图(b))
=+2=(mm)
则其电容为
=×10-12(F)=
(a)(b)(c)
题解4-8图
或利用积分法计算传感器的电容,(见题解4-8图(c)),在位置x处,取宽度为dx、长度为a的两个狭窄长条之间的微电容为
所以,总电容为
两种计算方法结果接近,但积分法更为严密。
4-14习题图4-14(a)所示差动式同心圆筒柱形电容传感器,其可动内电极圆筒外经d=9.8mm,固定电极外圆筒内经D=10mm,初始平衡时,上、下电容器电极覆盖长度L1=L2=L0=2mm,电极间为空气介质。
试求:
(1)初始状态时电容器C1、C2的值;
(2)当将其接入习题图4-14(b)所示差动变压器电桥电路,供桥电压E=10V(交流),若传感器工作时可动电极筒最大位移x=0.2mm,电桥输出电压的最大变化范围为多少
(a)(b)
习题图4-14
解
(1)初始状态时
(2)当动电极筒位移x=+0.2mm(向上)时,L1=2+=2.2mm,L2=2=1.8mm,则
差动变压器电桥输出为
同理,当动电极筒位移x=0.2mm(向下)时,L1=2=1.8mm,L2=2+=2.2mm,则
差动变压器电桥输出为
因此,当传感器可动电极筒最大位移x=0.2mm,电桥输出电压的最大变化范围为。
第5章压电式传感器
5