数学专升本考试试题.docx
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数学专升本考试试题
高等数学
（二）命题预测试卷
（二）
、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
在每个小题给出的选
项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
F列函数中，当X-.1时，与无穷小量（1-x）相比是高阶无穷小的是（）
A.In（3-x）
B.x3-2x2x
2.
C.cos（x-l）
D.x2-1
L1
曲线y=3、..x-3在（1,：
：
）内是（）
x
A.处处单调减小
B.处处单调增加
C.具有最大值
D.具有最小值
3.
设f（x）是可导函数，且龙叫
f（x°2h）—f（X0）「，则f（x°）为（）
1
若f（丄）
x
10个空，每空4分，共40分，把答案填在
C.2
A.
一
B.
1-ln2
2
C.
1
D.
ln2
5.设u
二xyz,a等于（
）
ex
A.
z
B.
zJ
zxy
xy
C.
z1
y
D.
z
y
）
4.
、填空题：
本大题共10个小题,
x1
芦，则of（x）dx为
题中横线上。
7.
设f（x）二exlnx，贝Uf（3）二
9.设二重积分的积分区域D是1D
10.Iim（1—丄）=.
x—；：
2x
1
11.函数f（x）二㊁©%e^）的极小值点为
2
12.若lim-岂4=3，则a=XT」x+1
13.曲线y二arctanx在横坐标为1点处的切线方程为
15.
2
1xsinx,
2dx=
cosx
16.
解答题：
本大题共13小题,
90分，解答应写出推理、演算步骤。
（本题满分6分）
x七0
x0的间断点.
17.
（本题满分6分）
计算漿如一1
18.
（本题满分6分）
计算limlnarcsinx（1x）
19.（本题满分6分）
「1
x0，求f（x）.
一1：
：
x込0
设函数f（x）="e7
ln（1+x）
20.（本题满分6分）
求函数y=sin（x•y）的二阶导数.
21.（本题满分6分）
求曲线f（x）=x4-2x3的极值点.
22.（本题满分6分）
3
计算dx.
，x2+1
23.（本题满分6分）
若f（x）的一个原函数为xlnx，求xf（x）dx.
24.（本题满分6分）
已知Jdx^1，求常数k的值.
25.（本题满分6分）
求函数f（x,y）二y‘「x2•6x「12y-5的极值.
26.（本题满分10分）
求ii（x2y）dxdy，其中D是由曲线y=x2与x=y2所围成的平面区域.
D
27.（本题满分10分）
3
2aaa
设f（x）=x-；f（x）dx，且常数a-1，求证：
°f（x）dx=
28.（本题满分10分）
求函数丫一哑的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近
x
线并作出函数的图形.
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.D5.D
、填空题
2
6.2e1
31
7.e-
3
8.1
9.3：
x-1
1
10.e^
11.x=0
12.5
13.y--
2
4
14.sin-
4
15.0
、解答题
、选择题
f（X）在点
16.解
冷（x"）
这是一个分段函数,
x=0的左极限和右极限都存在.
limf（x）
x）0-
Iimf（x）
x）0■
Iimf（x）
x]0-
+1arctan
x2
1兀=Iimarctan-x-0x2
-Iimf（x）
x]0
=lim
x]0-
JI
故当
X—0时，f（x）的极限不存在，点x=0是f（x）的第一类间断点.
1
18.解
设f（x）二arcsinx（1x）x.
由于x=0是初等函数Inf（x）的可去间断点,
limInf（x）二Inlimf（x）LInlim|arcsxn（1x）
x）0x）0x）0
-丄1
=Inlimarcsinx+lim（1+x）x
IxTxT
19.
首先在x=0时，分别求出函数各表达式的导数，即
1
当x0时，f（x）=（xex）=e
1
当「1：
：
x:
:
0时，f（x）二In（x1）1
xT
然后分别求出在X二0处函数的左导数和右导数,
1
f（0）=lim1
一x_p—X+1
丄1
f（0）=limex（1_）=0
7+x
20.
从而f_（0Hf（0），函数在X=0处不可导.
所以f（x）=
1
ex（1-）
x
1
n
y=sinx（y）
y=cos（xy）（1y）
二cos<（y）ycos<（y）①
ysin（xy）（1y
）ycosx（y）yLsirx（y）hy）
-cos（xy）»=sin（xy）（1y）2
sin（xy）（1y）2
1-cos<（y）
cos（xy）
又由①解得y、
1—cos（x+y）
"丄、，丄cos（x+y）co&x+y）」1+
代入②得y二
-1cos（x+y）
1-cos（xy）
sinx（y）
-cos
21.
先出求f（x）的一阶导数:
f（x）二4x3-6x2
4x2（x-3）
2
33
令f（x）=0即4x（x-q）=0解得驻点为=0,x2：
再求出f（x）的二阶导数f“（x）=12x2—12x=：
12x（x—1）.
当X1
3
-0时，f（0）=0,在（-：
：
0）内，f（x）：
：
：
0,在（0,-）内f（x）：
：
：
0
Xi二0不是极值点.
总之
3
曲线5'鸟2只有极小值点r
22.
x3x3x-xx（x21）-xx
xz
2222
x1x1x1x1
3
xdx=（x
x1
x
x21
x
）dx二xdx-rdx
*2+1
23.
24.
2
1d（x1）121.,2
xlnx1）C2x122
由题设知f（x）=（xlnx）=Inxx（lnx）=Inx1
故xf（x）dx二x（lnx1）dx
=xlnxdxxdx
1212=Inx—dxx
22
_2
nxx2-'■x2d（lnx）
12
x
2
2112
dxx
x2
12
1.21Inxxx
22
=lx21nx-1xdxx
222
=^x2lnx_1x2C.
24
010dx=k2dx二klim
1x2ar，a1x
1?
dx
=k-limarctanx
0■:
a=k脱-arcypk?
匚丄Tdx」
一1x2
dx
2
X
a■Io
TT11
故k丄解得k二丄•
22n
25.解二=_2x6，兰=3y2一12
dxcy
2x+6=0
解方程组丿2得驻点Ao（3,2）,Bo（3,_2）
Sy2_12=0
又A=f&--2,B=fxy=°,C=fyy=6y
对于驻点A）:
A=—2,B=0,C=6yx=3=-12，故B2—AC=24>0y=
.驻点Ao不是极值点.
对于驻点Bo:
A=-2,B=0,C=6yx=3=-12
y=^
故B2—AC--24：
：
0,又A--2：
：
0.
函数f（x,y）在B°（3,-2）点取得极大值
f（3,-2）=（-2）3-918245=30
26.
由y=x2与x二y2得两曲线的交点为O（0,0）与A（1,1）
=y2（y一0）的反函数为y-X.
1（x+y）dy=（（xy+?
y）
aaa
0-of（x）dx0dx
3
aaa
）f（x）dxa0f（x）dx=
3
aa3
于是0f（x）d"B
28.解
（1）先求函数的定义域为（0,=）.
（2）求y•和驻点：
y;J一？
x，令y丄0得驻点x=e.
x
（3）由y•的符号确定函数的单调增减区间及极值.
1_inx
当0：
：
：
x：
：
：
e时，y———2—•0,所以y单调增加;x
当xe时，y厶：
0，所以y单调减少.
由极值的第一充分条件可知yx$£为极大值.
（4）求y”并确定y”的符号：
3
2|nX-32
y3,令y=0得x二e2.
x
3
当0■xe2时，y:
:
:
0,曲线y为凸的；
3
当xe2时，y”•0，曲线y为凹的.
33
3■■■
根据拐点的充分条件可知点（e2,-e2）为拐点.
2
这里的y•和y的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。
另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：
x
（0,e）
e
3
（e,e2）
3e?
3
（e2,^）
Fy
+
0
一
一
0
+
就表上所给的y•和y“符号，可得到：
函数y「吨的单调增加区间为（0,e）；
x
Inx
函数y二——的单调减少区间为（e/：
：
）；
x
函数y=吨的极大值为y（e）=1；
xe
|nx-
函数y二巴仝的凸区间为（0,e2）；
x
InxInx一
（5）因为lim0,lim
—乂xt+x
Inx
所以曲线y=吹有
x
水平渐近线y二0铅垂渐近线x二0
（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图.
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