(4)P(X≤-2.1)=P(X≥2.1)=1-P(X≤2.1)=1-0.9821=0.0179.
要求随机变量X在某一范围内的概率,只需借助于正态密度曲线的图像性质以及特殊概率的值进行转化求值即可.
4.已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2),若P(X>2)=0.023,求P(-2≤X≤2).
解:
因为随机变量X~N(0,σ2),
所以正态曲线关于直线x=0对称.
又P(X>2)=0.023,
所以P(X<-2)=0.023,
所以P(-2≤X≤2)=1-P(X>2)-P(X<-2)=1-2×0.023=0.954.
5.已知X~N(3,σ2),若P(X≤2)=0.2,求P(X≤4).
解:
由正态分布知识,因为X~N(3,σ2),
所以P(X≤3)=0.5,
P(X≤2)=0.2=P(X>4),
所以P(X≤4)=1-P(X>4)=1-0.2=0.8.
解题高手
妙解题
某厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件,测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?
[尝试]
[巧思] 要判断这批零件是否合格,由假设检验的基本思想可知,关键是看随机抽查的一件零件的外直径是在区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,还是在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外.若该零件的外直径在区间(μ-3σ,μ+3σ)之间,则认为该厂这批零件是合格的,否则,就认为该厂这批零件是不合格的.
[妙解] 由于圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25),
由正态分布的特征可知,正态分布N(4,0.25)在区间
(4-3×0.5,4+3×0.5),
即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.0026,而5.7∉(2.5,5.5).
这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,根据统计中假设检验的基本思想,认为该厂这批零件是不合格的.
1.正态分布密度函数为φμ,σ(x)=e
,x∈(-∞,+∞),则总体的平均数和标准差分别是( )
A.0和8 B.0和4
C.0和2D.0和
解析:
选C 由条件可知μ=0,σ=2.
2.右图是当X取三个不同值X1,X2,X3的三种正态曲线N(0,σ2)的图像,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( )
A.σ1>1>σ2>σ3>0
B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2>1>σ3>0
D.0<σ1<σ2=1<σ3
解析:
选D 当μ=0,σ=1时,正态曲线f(x)=·e
.在x=0时,取最大值,故σ2=1.由正态曲线的性质,当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”;σ越大,曲线越“矮胖”,于是有0<σ1<σ2=1<σ3.
3.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0<X<2)=( )
A.0.6B.0.4
C.0.3D.0.2
解析:
选C 正态曲线关于x=2对称,P(X<4)=0.8,
∴P(X>4)=0.2,而P(X>4)=P(X<0),
又P(X<2)=0.5,
∴P(04.若随机变量x~N(μ,σ2),则P(x≤μ)=________.
解析:
由于随机变量x~N(μ,σ2),其正态密度曲线关于直线x=μ对称,故P(x≤μ)=.
答案:
5.设随机变量X~N(4,σ2),且P(4解析:
∵P(4∴P(X<0)==0.2.
答案:
0.2
6.已知X~N(1,4),求X落在(-∞,3)内的概率.
解:
由题意知μ=1,σ=2,
∴P(-1由正态曲线的对称性,可知
P(X>3)=×(1-0.683)=0.1585,
∴在(-∞,3)内取值的概率为
1-0.1585=0.8415.
一、选择题
1.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>4)=( )
A.0.1588 B.0.1587
C.0.1586D.0.1585
解析:
选B 正态曲线关于μ=3对称,
P(X>4)==0.1587.
2.设随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(X>c)=a,则P(X>4-c)等于( )
A.aB.1-a
C.2aD.1-2a
解析:
选B 因为X服从正态分布N(2,σ2),
所以正态曲线关于直线x=2对称,
所以P(X>4-c)=P(Xc)=1-a.
3.若随机变量X~N(2,100),若X落在区间(-∞,k)和(k,+∞)内的概率是相等的,则k等于( )
A.2B.10
C.D.可以是任意实数
解析:
选A 由于X的取值落在(-∞,k)和(k,+∞)内的概率是相等的,所以正态曲线在直线x=k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等,于是正态曲线关于直线x=k对称,即μ=k,而μ=2,∴k=2.
4.已知某批零件的长度误差(单位:
毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:
若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)
A.4.56%B.13.59%
C.27.18%D.31.74%
解析:
选B 由正态分布的概率公式知
P(-