初中数学课程简报 第五期.docx
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初中数学课程简报第五期
专家引领
概率与统计教学研究的背景资料
马复
1．传统课程对概率与统计的关注不够——课程安排中或者没有设置、或者仅仅是一次性的几个课时；教学过程要么或者是法则型或者处方型的计算活动，要么是数学化地引入概率统计。
于是，这个层次上的学生仍然持有他们先前的对随机现象所固有的观念和概念，而很难有机会改进他们的统计直觉。
事实上，对于随机现象（来自于欧洲的说法，包括概率和统计）的认识既有数学上的困难、也有理念和心理上的复杂性。
Garfield认为，影响概率与统计教学研究的主要因素包括：
概率统计在课程结构中的作用；教学与研究之间的连接；数学教师的准备；目前评价学习的方法。
1．哲学方面的影响——唯理论与经验主义
前者如笛卡儿等，认为知识的获得是一种纯粹的推理过程——发现并演绎那些早已存在的绝对真理。
知识就是演绎、就是揭示客观存在的真理，不是建立在感觉基础之上的。
后者如洛克等，认为知识是建立在对事物的感觉、观察后做出的推断的基础上的。
人们不能真正地认识事物，只能了解事物。
即知识从感觉开始、然后归纳、建立理论。
不同的认识论传统，导致了对随机现象的不同研究传统，而这些差异被带入相应的研究与教学之中，就可能产生在观念层面上的不同。
2．概率自身的发展：
什么是可承认的依据？
这一观念的发展对随机研究的影响是很明显的。
“概率”常常被同时理解为“可信的程度”（经验的意义）和“随机事件发生的频率的稳定值”（统计的意义）。
这里就有两种观点：
经典数学的——从某个起点（公理）出发，演绎出全部的结论。
它是以事物的外在原因为依据，遵从“结论应当由一定的原因推导而来”，属于传统科学的“由‘初动因’推导出全部结论”的范畴；
经验的——依据现实数据或样本实验，推出全部结论。
它是以事物的内在原因为依据，即从许多类似的情形中得出归纳的依据，属于“看法”的范围；属于新型科学的“从所获得的信息中归纳出结论”的范畴。
3．几个基本说法：
古典概率——事件发生的每一个结果的可能性是相同的、事件发生的结果总数是有限的（等概率分布的随机模型）；事实上，“事件发生的结果总数是有限的”通常比较容易证明，而“事件发生的每一个结果的可能性是相同的”则难以证明（如无法证明：
抛一枚硬币，落下后其正面或反面朝上的概率是相等的），它根本上就是一种感觉。
“大数定律”（当n越来越大时，白球出现的频率越来越接近它在盒中的比率）是其基础，但“大数定律”是一个经验规律。
频率概率——某一事件可以在相同条件下重复任意次（不要求事件发生具备等可能性，如“掷一枚不均匀的骰子”）。
它是一种实用性定义，虽不确切，但合理。
不同的人在做实验时，虽然可能得到不同的估计值，但那是“偶然性”所致，而非方法本身所致。
主观概率——主体对事件发生可能性大小的数量判断。
通常在各种“一次性事件”中使用较多。
如：
投资、火星上是否有生命、2006年1月1日北京是否会下雨等。
在许多情形下，“古典概率”与“频率概率”有比较一致的结论（掷硬币、掷骰子、转圆盘等），另一些问题，“频率概率”有明显优势（掷瓶盖、掷不均匀骰子等），事实上，模拟实验都依赖于“频率概率”。
4．对有关随机现象的问题，人们是如何思考的、怎样影响人们的思维；人们的错误通常产生于：
对（原始）概念的误解、概率直觉（运用朴素统计观念估计事件发生的可能性）偏差、思维过程中的谬误、推理过程（在不确定情形中）的偏差。
概率直觉——对典型性和有效性的理解。
典型性：
●认为一个样本既反映了总体的特征，又有一定的偶然性（作为一个独立的个体）。
●在一个有着6个孩子的家庭里，孩子性别排列状况中的男、女、女、男、女、男似乎较男、男、男、男、男、男可能性更大。
●忽视样本大小对典型性的影响：
掷3枚硬币出现2枚“币值”朝上的可能性，和掷300枚硬币出现200枚“币值”朝上的可能性相同（事实上，极端情形——全出现“币值”朝上，在小样本时比大样本出现的可能性更大）。
●否定最近的结果（赌徒谬论），理由是保持平衡：
连续掷几次小点数，则下次很可能掷出大点数；
有效性：
当人们估计某些自己认为很容易猜测的事件结果时，常常是运用了有效的直觉判断。
而这一类判断经常由于个人经验的局限性、不同人见解的差异性等因素导致很大的偏差。
一些经典问题：
Monty难题（汽车问题）与下面这个问题很类似：
一只瓶中有2个白球、2个黑球，从中依次取出两个球，且不放回第一只球，那么：
若已知第一只球是白色的，第二只球也是白色的概率是多少（
）？
若已知第二只球是白色的，第一只球也是白色的概率是多少（
）？
（想象：
先摸出的那只球不看，再显示第二只球是白色的，则第一只球是白色的概率就显然了）
一个袋子里有3张卡片，其中一张卡片两面都是绿颜色的，一张卡片两面都是蓝颜色的，第三张卡片的一面是绿颜色、一面是蓝颜色的。
你从中摸出一张，看到一面是蓝颜色的，那么，另一面也是蓝颜色的概率是多少？
（区别：
卡与卡的面）
Monty难题：
当空门被打开后，获奖的可能性就“自动”上升到
，还是
呢？
不换还能够赢的唯一可能就是原先猜到了汽车，而这一可能性就只有
。
所以换了以后获胜的可能性是
。
其他误解：
某地区所有初中毕业生（几万名）的数学中考平均成绩是100分。
随机抽取10个考生的成绩作为样本，而已知第一个考生的成绩是60分，此时，你怎样看待整个样本组的平均分？
⑴平均分还是100——样本反映总体情况，但如此小的样本能够反映总体情况吗？
⑵（9×100+60）÷10=96——权重的影响：
不能简单地将对“把所有样本值相加，再除以样本量”这一算法的熟练使用看作为对平均数学习的理解。
⑶如果是预测余下9个考生的平均成绩，那么应估计其值略高于100分，以补偿那个特别低的60分？
专题五《统计》的研修要点
省课程专家颜峰吕学江毕文卿
初中学段数据随机性与统计过程学习的总体目标：
经历收集、整理、描述与分析数据，作出决策和预测的过程，体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法。
其核心是帮助学生通过活动逐渐建立起统计观念，形成尊重事实、用数据说话的科学态度。
要使学生形成统计观念，最有效的方法是让学生真正投入到统计和试验的全过程，经历收集、整理、描述和分析数据，作出决策或预测的过程，领悟用样本估计总体的思想方法，丰富对有关概念、公式、图表所蕴涵的统计背景的积累。
统计知识相对独立，统计方法与代数运算、几何推理不同，我们实际教学中可能会觉得陌生，存在困惑。
建议老师们从以下角度入手，把握本专题的学习要点：
新课标对统计教学的内容和要求做了哪些调整？
统计观念主要表现在哪些方面？
如何帮助学生正确理解个体、总体、样本、极差、方差、标准差等概念？
中考数学命题指导思想的变化对统计教学有什么启示？
如何对学生进行学习指导？
如何对学生学习效果进行评价？
……
在本专题中，国家课程专家马复教授和他的团队会给我们精辟的讲解，精心的梳理，精细的指导，精彩的课例，精选的素材，请老师们认真观看视频，仔细回味反思，积极与同事交流，你就能释疑解惑，你就会受益匪浅。
热点聚焦
关于四边形性质的探索与证明采取合并教学（边探索、边证明）还是分开教学（全部探索完以后再证明）。
作业之一：
莱州市南十里中学 周玉舟
省课程专家张宝军推荐，推荐理由：
以辩证的方法分析了分开与合并教学的利弊，条理清晰，富有逻辑。
指导教师叶振竹推荐，推荐理由：
通过自己的教学体会，对分与不分非常辩证的谈了自己的观点，值得推荐。
关于四边形性质的探索与证明，采取合并教学还是分开教学各有利弊，我个人觉得合并教学（边探索边证明）应大大好于分开教学（先探索后证明）。
“分开教学”的利：
先探索，再证明，重点地强化了生动活泼的合情推理，着重训练了学生的观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式，更是让学生理解了数学来源于生活，数学知识就在我们生活的身边，……丰富多彩，和我们的生活息息相关，大大地激发和提高了学生学习数学的兴趣，变以前的被动学习为现今的主动参与，把学习和研究变成了学生自己的事！
“分开教学”的弊：
增加了学生对公理化体系的领会和理解，很难让学生形成清晰、严密的公理化体系，使得学生对数学证明显得比较随便，不再像以前那么严谨。
都探索完再去证明，在培养学生的演绎推理能力方面上变得难上加难，学生分不清什么是“已有的事实（定义、公理、定理）”，甚至出现了定理间循环证明的严重问题。
这样使得学生在学习知识上的差距拉得更大。
“合并教学”：
边探索边证明，既保证了“分开教学的利”的一面，强化了学生合情推理能力的培养，又提高了学生的学习兴趣，又从根本上克服了“分开教学的弊”的一面，能让学生在主动参与学习的过程中形成严密的公理化体系，深刻感受数学这门学科的严肃和严谨，真正达到正确理解演绎推理，使合情推理和演绎推理相辅相成的目的，让学生的演绎推理的能力真正形成和提高。
作业之二：
邹城市第五中学 苏长东
专家组成员姜仲平推荐理由：
这里看似针对两种处理方式，实是针对探索与证明的阶段要求之差异，苏老师的观点都有一定的代表性，分别从理论与实践两个层面作了深入的探讨，推荐给大家，供大家参考研讨。
指导教师颜洁推荐理由：
苏老师分析深刻,入木三分.善于总结,文采不错.值得我们学习。
关于四边形性质的探索与证明，我认为采取合并教学（边探索、边证明）的形式较好。
理由如下：
第一，合并教学符合学生学习的认知规律
例如在第一节《平行四边形的性质》中，平行四边形的性质就包括：
对角相等；对边平行且相等；对角线互相平分等，在让学生探索一条性质后接着进行证明，使他们能够及时消化吸收，再通过简单的应用就能够使学生完成“猜想——证明——理解——应用”的这样一个完整的学习四边形性质的过程，学生无疑会易于接受且印象深刻，也利于形成完整的知识结构。
更为重要的是，这样一个认识过程可迁移到其它特殊四边形的性质的学习，会有驾轻就熟的感觉。
第二，合并教学有利于培养学生的学习能力
把四边形的性质分开处理，分别探索，无疑给学生学习提供了更多的自主学习机会与平台，学生能亲自参与到每一条性质的探索活动中去，符合“做数学”的学习理念，因为“听过会忘”，“看能记住”，“做能理解”。
在做数学的过程中了解数学的特征，总结数学的规律，这将有助于学生学习能力的培养与提高。
第三，合并学习有利于提高几何教学的质量
众所周知，原先几何一直被认为是“双刃剑”，使得不少学生望而生畏，合并教学分开处理，小台阶，慢节奏，能使绝大多数学生跟得上，学得通，教学才有意义，才有效果，要知道，学生才是教学的主体呀！
事物都有两面性，合并教学可能会造成学生感到每个性质的“独立性”较好，而“整体性”稍差一些，可以通过阶段总结，归纳梳理知识结构来弥补。
总之，我认为在进行“四边形性质的探索与证明”的教学时，采取合并教学（边探索、边证明）的形式为好。
作业之三：
临淄区遄台中学 黄少华
省课程专家刘家华推荐,推荐理由：
结合自己的教学实践，阐述自己鲜明的观点，做老师就要做您这样有思想的老师，您说的问题大部分老师都碰到过，并且不仅仅体现在四边形一章，但教材设计有它的道理，这种情况下，如何让教材与教学做到更紧密的结合，让教材更好的服务于教学，这不正是你我研究的课题吗？
您说呢！
指导教师杨静霞推荐,推荐理由：
结合实际谈感想，有感而发，观点明确！
我们知道，关于四边形性质的探索是在七年级下册第九章，而四边形性质的证明则是在八年级下册第八章出现，这两部分内容本来是紧密联系的，现在却人为地让它们相距了一整年。
对学生而言，当时在探索性质时，已经感觉到了学习几何的乐趣，推理能力也有了一定的发展，正待进一步想用所学知识解决问题时，却没了下文，真有一种欲言又止、欲罢不能的感觉；再想接触到这部分内容，就只有等到一年后，这时候我们再来讲证明的方法，有的知识已忘了，需要重新复习，并且还要把握复习的“度”，一些当时没有证明的知识点还不能随便说、随便用，得告诉学生有些结论必须等到经过严格证明后才能用，这样多别扭啊；还有，我们在讲证明
（二）、证明（三）的时候，学生都感觉似曾相识而缺少新意，往往会用后面的知识去证前面的结论，明明可以，老师却不能提倡这么做；好学生感到没学头，差学生也不很认真听；按教材讲，两头都难顾，按时间上讲，有点浪费。
因此我认为，四边形性质的探索与证明采取合并教学比较好，让学生对这部分知识有一个整体的认识和把握，学习的过程可以做到“一气呵成”。
当然，对于其中一种四边形的学习，我认为先把性质都探索出来，然后再进行证明，章节的安排紧凑一些，注意时间间隔，这样比较好。
以上仅仅是我个人的一些看法，不当之处敬请各位批评指正。
百家争鸣
关于四边形性质的探索与证明，你认为采取合并教学（边探索、边证明）好，还是分开教学（全部探索完以后再证明）好，为什么？
详细分析利与弊。
观点一：
伯仲难分
——论四边形性质教学采用“合并教学”还是“分开教学”
泰安市迎春学校 戚秀云
省课程专家褚爱华推荐，推荐理由：
这一问题实质上是对教学方法选择的讨论。
戚老师结合研修反思和自己的教学实际，谈了对四边形性质教学的认识，能够透过问题的表面，从本质上进行反思，提出了自己的观点：
第一，关键问题不在于采用哪种法，在于老师如何去设计和引导教学；第二，真正的教学是以学法的渗透为先导，而学法的体现就是各种数学思想方法的渗透。
两种方法，难分伯仲，我认同这种观点。
我认为教师要备好上好一堂课，至少要做好以下四个循序渐进的工作：
了解学情—选择教学内容—确定教学目标—选择教学方法。
看到几天的研修已经帮助老师们从理念到方法都有了提升，我们感到非常高兴，对今后的工作充满了信心。
指导教师张庆杰推荐：
结合教学，真情实感。
看到这个作业题，我想起了以前听过的关于四边形性质探究与证明的优质课、创新课，两种方法讲课的老师都用过，要比孰好孰劣，我看难分伯仲。
有位老师采用合并教学（边探索、边证明）很成功，有位老师采用分开教学（全部探索完后再证明）也很成功，他们都取得了好的教学效果。
所以，我觉得关键问题不在于采用哪种法，在于老师如何去设计和引导教学。
比如同样手中拿着一根棍子，有人只把它看成打人的一种工具，而有人可把它当作拐杖，扁担，甚至孙悟空的金箍棒，发挥的作用可想而知。
所以此次学习的重要性就不言而喻，三个臭皮匠还赛过诸葛亮呢，何况我们有那么多的专家，有经验的老师，毫不吝啬的把他们的智慧宝囊分享给我们，相信每个学员的能力一定会有很大程度的提高。
这是题外话了，言归正传，任何事物都不是绝对的，要非得把两种方法做比较，我是这样看的：
真正的教学是以学法的指导（渗透）为先导，而学法的体现就是各种数学思想方法的渗透。
两种方法都体现了对几何问题的探究方法的渗透，即从直观认知和已有经验去猜想，然后运用已学理论证明加以验证。
合并教学还体现了类比的数学思想方法，类比第一个完整的探究过程来完成其他探究，实际上从中加大了对学生能力的考察，你是简单重复上述探究过程，还是敢于放手？
处理是否得当关乎整节课的成败。
这就要求教师不仅要备好教材，更要备好学生。
知己知彼，方能百战不殆。
……
观点二：
合分因人而异
谈一谈关于四边形性质的探索与证明教学的利与弊分析
莒县中楼镇第二中学 卢绪美
省课程专家张全红推荐，推荐理由：
教无定法，因人而异。
卢老师对比分析了两种教学方式的利弊，呈现给老师们，思路清晰，分析到位，是一篇值得阅读思考的好文章。
指导教师庄乾鹏推荐：
有一定的理论高度。
我的应答:
两种不同的教学方式，没有最好与最差之分。
不同的老师，可以根据自己的教学风格及学生实际，灵活选择。
分与合，利弊各异。
四边形这一章是平行线和三角形的应用和深化。
从教材的处理看，抛弃了陈旧的教学方法，换之以“问题探讨”、“实验探究”、“推理论证”、“动手操作”等符合学生心理特点，尊重学生思维个性等崭新的、富有时代气息的教学方式。
本章内容从呈现方式上遵循了从“一般”到“特殊”的原则；从活动设计上使“动手操作”、“实验探究”与“观察思考”、“讨论交流”相得益彰，通过一个个现实的情景问题和丰富的实践活动，再现了知识的探究过程，发展了学生的合情推理能力、辩证思维能力。
一、采取合并教学（边探索，边证明）
优点：
可以使学生比较系统地去发现知识获取知识，在教学时只需重点研究其中一种图形即平行四边形的有关性质，其他图形就可以类比所学图形找出它们的异同点，从而从边、角、对角线、对称性等几个方面准确的把握各种图形的特征。
这样能够使学生探索出的结论及时得到验证，产生一种成就感、满足感。
因为四边形的性质的都体现在
（1）边、
（2）角、（3）对角线、（4）对称性等几个方面。
在得出性质之后，引导学生对这一性质进行证明，强化了这一性质的合理性，加深了学生的记忆，会让学生对这一种图形的性质有较深入地理解和掌握，是一种水到渠成的认知过程，这是一种由一般到特殊的图形认识过程。
这种让学生先探索、猜测四边形的性质，而后再让学生加以证明，将探索和证明有机地结合了起来。
同时，既培养了学生逻辑思维能力和严谨的学风，又让学生体会到归纳、类比、转化等数学思想方法，从而让学生在掌握共性的基础上认清它们区别于其它图形的独特性质。
缺点：
1.合并教学不利于每种四边形之间的相互比较，整体上显得比较散，不系统，学生对于哪种四边形具有什么性质容易混淆。
2.对于基础较差的学生和中等偏下的学生有利，但尖子生往往存在吃不饱的问题。
二、采取分开教学（全部探索完以后再证明）
优点：
“先猜后证”──这是大多数的发现之道。
利用这种办法可以让学生先对本单元的知识框架一目了然，这样便于尽快系统知识点，这对于优等生和基础较好的学生有利，解决了他们吃的饱的问题。
缺点：
如果是全部探索完以后再证明，由于内容太多，学生反而不好掌握。
有时只是对教师是条理了，系统了，对中下等学生学生反而不清楚了，可对于中等以下和基础较差的学生就很难.
综上所述，“教无定法”，可以根据不同情况适时教学。
我的做法是因材施教，因人而异，根据学生现状灵活选用二者之一。
不当之处，敬请各位专家、老师赐教！
谢谢!
观点三：
合分都不是最佳选择
浅谈合并教学和分开教学的采用策略
——以四边形性质的探索与证明为例
济宁市第十四中学 苏晓虎
省课程专家姜仲平推荐，推荐理由：
这里看似针对两种处理方式，实是针对探索与证明的阶段要求之差异，苏老师的观点有一定的代表性，分别从理论与实践两个层面作了深入的探讨，值得借鉴。
指导教师王建推荐理由：
苏老师在此问题中，分析的非常详细，层次分明，逻辑清晰。
从学生的实际出发，根据具体内容，及时调整教学方法，符合课改的精神，值得我们在教学中应用。
对于四边形性质的探索与证明，简单的选取合并教学（边探索、边证明）或者分开教学（全部探索完以后再证明），都不是最佳选择。
我个人认为，到底选取什么样的教学形式，要根据具体情况具体分析，我简单概括为以下几个原则：
围绕几何研究的基本思想：
几何研究最基本的思路就是在对一个命题进行合情推理后采用演绎推理进行证明，并利用“类比和对比”的思想对其类似现象进行进一步猜想与验证，完善研究体系。
选择教学形式要围绕这个思想。
贴近几何教学的根本方法：
几何图形的性质探索，无一不是围绕着“角与距”、“数量关系和位置关系”来研究的，通俗一点说，就是研究图形的三要素“边、角、对角线”。
选择教学形式要贴近这个方法。
符合学生们的认知规律：
学生们学习几何，总是在获得类似知识的合情推理和演绎推理的经验后，才能独立承担探索和证明任务。
选择教学形式要看学生们获得经验的具体程度。
注重几何知识的内在联系：
我们在初中阶段所认识的四边形，都没离开平行四边形和梯形两大体系，这些特殊图形之间性质或同或类，关系相当密切。
选择教学形式必须要注重知识的内在联系。
关注教法的恰当使用：
师生之间常态的教学方法也是影响四边形性质获得和证明效果的重要因素。
以我们使用的“学——展——思”三部教学法为例，平时的教学就是以学生的自主探索和验证为主，可以较早的完成“探——证”合一。
综上原则，我认为对于四边形性质的探索与证明，教学建议如下：
平行四边形性质——采用分开教学。
菱形性质——分开教学为主，合并教学为辅。
矩形性质——合并教学为辅，分开教学为主。
正方形性质——采用合并教学。
梯形、直角、等腰梯形——合并教学为主。
理由如下：
……
观点四：
分有分的道理
临淄区遄台中学刘义凤
省课程专家云鹏推荐，推荐理由：
短短的4条理由，蕴涵了太多思考。
让批改作业的我再次领悟了后生可敬!
不一样的角度，同样能反映认识问题的深度。
指导教师杨静霞推荐，推荐理由：
观点明确，说理充分，在合与分的问题上，实践出真知！
关于四边形性质的探索与证明，我认为采取分开教学的效果更好一些。
一、四边形的性质较多，采取合并教学的方式（边探索、边证明）使得教学过程很零碎，容易让学生产生倦怠的情绪。
二、在学生已经掌握了测量、平移、对称、旋转这些学习方法之后探索四边形的性质应该比较容易。
没有必要在学生刚探索完一个性质之后就进行证明，有一种被卡住的感觉，不利于培养学生的学习兴趣和逻辑思维能力。
应放手让学生们畅所欲言，充分展示他们的探索结果，极大程度的激发学生的学习热情。
三、四边形性质的证明需要学生有了一定的说理能力之后，才逐步的把合情推理发展为演绎推理（即证明）。
在学习的过程中探索是直观的，相对简单，而证明需要学生具备一定的能力，这两者之间是有着一定的垂直距离的，边探索边证明会让学生有过山车的感觉，不晕都难。
四、在学生学习了三角形的有关知识之后，四边形性质的证明不是很困难，但过早的让学生去证明，就会导致一部分学生吃上“夹生饭”再想改正就难上加难。
智慧分享
我看四边形性质的教学
梁山县大路口乡初级中学张令兵
省级专家孟伯谨推荐理由：
张老师的观点既有从学科本身的考虑，也有从学生方面的考虑，而且，没有为了说明自己的观点是正确的就仅仅列举出自己观点的优点，而是同时指出了自己的观点的缺点，在权衡利弊以后才给出结论，这种严谨的治学态度值得大家学习。
在进行四边形性质的探索与证明这一部分内容时，我个人认为应该采取合并教学的方式（边探索、边证明）比较好。
现分析原因如下。
优点：
一、数学是科学之母。
数学是一门十分严密的学科，数学教学十分强调推理的
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