江苏省盐城市九年级中考备战策略20《等腰三角形》专题强化提优.docx
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江苏省盐城市九年级中考备战策略20《等腰三角形》专题强化提优
江苏盐城2021年中考备战策略（20）《等腰三角形》专题强化提优
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考点一，等腰三角形概念
1．概念及分类
有_________的三角形叫等腰三角形；有____________的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为_____________的等腰三角形和___________________的等腰三角形．
2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角_________；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相_________，简称“三线合一”；
（3）等腰（非等边）三角形是轴对称图形，它有一条对称轴．
3．等腰三角形的判定
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2）有两角相等的三角形是等腰三角形．
1．性质：
①等边三角形的内角都相等，且等于60°；②等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴．
2．判定：
三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
1．概念：
垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．
2．性质：
线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等．
3．判定：
到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
经典例题
例1
（1）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则第三条边的长是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
（2）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．100°C．40°或100° D．70°或50°
（3）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连结BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° B．70°C．60° D．50°
例1（3）题
例1（4）题
（4）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
例2.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC.
上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形？
（用序号写出各种情形）
例3.在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB、AC交于点E、F，连结EF，当∠EPF绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）△PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由．
《当堂过关检测》
1．等腰△ABC的两边长分别为2和5，则第三边的长为5.
2．某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）
A．9cm B．12cmC．15cm D．12cm或15cm
3．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
5．下面给出的几种三角形：
（1）有两个角为60°的三角形；
（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是（ ）
A．100° B．80°C．70° D．50°
7．如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE.
（1）求△ABC的面积S；
（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．
8.一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式：
①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE.
要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：
求证：
△AED是等腰三角形．
证明：
《课后强化提优》
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝3cm，则线段PB的长为（ ）
A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm
第1题图第2题图第3题图第5题图
2．在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．把两个都有一个锐角为30°的一样大小的直角三角形拼成如图所示的图形，两条直角边在同一直线上．则图中等腰三角形有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则△ABC是（ ）
A．等边三角形B．腰底不等的等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
5.．如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，请你再确定格点D，使点A，B，C，D组成一个轴对称图形，那么所有符合条件的点D的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．在三角形的内部，到三边距离相等的点是三角形的三条（ ）
A．中线的交点B．角平分线的交点C．高的交点D．以上都不对
7.若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（）
A．OP1⊥OP2B．OP1=OP2C．OP1≠OP2D．OP1⊥OP2且OP1=OP2
第7题图第8题图第9题图第10题图第11题图
8．如图，在一张纸上写了21038平放在桌子上，同时有两面镜子直立于桌面上，这时在两面镜子上都出现“21038”的像，把在正面放置的镜子里出现的像和侧面镜里出现的像分别叫做“正面像”和“侧面像”则（ ）
A．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较大
B．“正面像”和“侧面像”都是五位数，两者相等
C．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较小
D．“正面像”和“侧面像”中，只有一个五位数
9.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．100°C．40°或100° D．70°或50°
17.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连结BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° B．70°C．60° D．50°
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
11.如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（）
A．60°B．70°C．80°D．90°
12.已知等边△ABC的边长为a，则它的面积是（ ）
A.
a2B.
a2C.
a2D.
a2
13．在△ABC中，AB＝AC＝10cm，∠A＝60°，则BC＝ ．
14．已知等腰三角形的两边长分别是7和13，那么这个等腰三角形的周长是 ．．
15.若等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为________．
16.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝________.
第16题图第17题图第18题图第19题图第20题图
17．小明站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间如图，则电子钟的实际时间应该是 ．
18．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB上一点，把△ABC沿CE折叠，点A与点B恰好重合，则直线CE与AB的位置关系是 ．
19．在△ABC中，∠BAC＝115°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为 ．
20．如图，AB＝8，AC＝7，PB、PC分别平分∠B、∠C，DE∥BC．则△ADE的周长是 ．
21、在三角形ABC中∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线相交于D点，DN⊥AC，DM⊥AB，求证：
BM=CN．
22.小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：
“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？
请说明你的理由．
23.在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，求∠DBC的度数．
24.已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD=AB，CM⊥AD于M．
求证：
AM=
（AB+AC）．
25.己知：
如图，BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，G是ED的中点，
求证：
FG⊥DE．
26、已知：
如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE．
求证：
AC-AB=2BE．
27..如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，则BD＝
DC，请说明理由．
28.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
29.如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：
∠BAF=∠ACF．
30.如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC与点D，交AC于点E．
（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；
（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；
（3）若AB=12、AC=9，求△ADE的周长；
（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？
31上午8时，一条渔船从海岛A出发，以15海里/时的速度匀速向正北航行10时到达海岛B处．已知在海岛A测得灯塔C在北偏西42°方向上，在海岛B测得灯塔C在北偏西84°方向上．求海岛B到灯塔C的距离．
31.如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．说明：
△ADE是等边三角形．
教师样卷
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考点一，等腰三角形概念
1．概念及分类
有两边相等的三角形叫等腰三角形；有三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形．
2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合，简称“三线合一”；
（3）等腰（非等边）三角形是轴对称图形，它有一条对称轴．
3．等腰三角形的判定
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2）有两角相等的三角形是等腰三角形．
1．性质：
①等边三角形的内角都相等，且等于60°；②等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴．
2．判定：
三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
1．概念：
垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．
2．性质：
线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等．
3．判定：
到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
经典例题
例1
（1）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则第三条边的长是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
（2）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．100°C．40°或100° D．70°或50°
（3）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连结BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° B．70°C．60° D．50°
例1（3）题
例1（4）题
（4）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【解答】
（1）根据“三角形任意两边之和大于第三边”
知腰应为7，该三角形三边为7、7、3.故选B.
（2）当40°为底角时，顶角为100°；40°也可以为顶角．故选C.
（3）∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EBD＝∠A＝20°.∵∠A＝20°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝80°，∴∠CBE＝80°－20°＝60°，故选C.
（4）等腰三角形分别是△ABC、△ABD、△BCD、△BCE、△CDE.故选A.
例2.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC.
上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形？
（用序号写出各种情形）
【解答】满足①③、①④、②③、②④，可判定△ABC是等腰三角形．
【点拨】本题考查的是判定等腰三角形的方法，可依据定义即“两条边相等”和判定定理“等角对等边”来确定，本题中出现的情况有六种①②、①③、①④、②③、②④、③④.只要能使△BOE≌△COD的条件，就能判定△ABC是等腰三角形．
例3.在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB、AC交于点E、F，连结EF，当∠EPF绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）△PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由．
证明：
连结AP，在等腰Rt△ABC中，∠C＝45°.∵P为斜边BC的中点，∴∠BAP＝45°，AP⊥BC且AP＝PC.∵∠EPF＝∠EPA＋∠APF＝90°，∠APF＋∠FPC＝90°，∴∠EPA＝∠FPC.
在△APE和△CPF中，
∴△APE≌△CPF（ASA），∴EP＝FP，∴△PEF是等腰直角三角形．
《当堂过关检测》
1．等腰△ABC的两边长分别为2和5，则第三边的长为5.
2．某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ C ）
A．9cm B．12cmC．15cm D．12cm或15cm
3．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ C ）
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ D ）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
5．下面给出的几种三角形：
（1）有两个角为60°的三角形；
（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有（ B ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是（ A ）
A．100° B．80°
C．70° D．50°
7．如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE.
（1）求△ABC的面积S；
（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．
答案：
（1）S＝4
（2）AC⊥DE
8.一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式：
①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE.
要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：
求证：
△AED是等腰三角形．
证明：
解：
答案不唯一．如：
已知：
①AB＝DC，②∠B＝∠C.
证明：
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（AAS），∴AE＝DE，即△AED是等腰三角形．
《课后强化提优》
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝3cm，则线段PB的长为（ ）
A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm
【答案】D【解答】解：
∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，
∴PB＝PA，∵PA＝3cm，∴PB＝3cm．故选：
D．
第1题图第2题图第3题图第5题图
2．在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C【解答】解：
如图所示，有3个使之成为轴对称图形．
故选C．
3．把两个都有一个锐角为30°的一样大小的直角三角形拼成如图所示的图形，两条直角边在同一直线上．则图中等腰三角形有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C【解答】解：
已知两个直角三角形全等，且有一个角是30°，则可知∠A＝∠D＝30°，∠B＝∠E＝60°，则∠EQP＝∠EPQ＝∠BPR＝∠BRP＝60°，故图中是等腰三角形的有：
△EPQ、△BPR、△PAD．故选：
C．
4．△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则△ABC是（ ）
A．等边三角形B．腰底不等的等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A【解答】解：
等式a2+b2+c2＝ab+bc+ac等号两边均乘以2得：
2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ac，即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，解得：
a＝b＝c，所以，△ABC是等边三角形．故选：
A．
5.．如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，请你再确定格点D，使点A，B，C，D组成一个轴对称图形，那么所有符合条件的点D的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A【解答】解：
如图所示：
共3个点，故选：
A．
6．在三角形的内部，到三边距离相等的点是三角形的三条（ ）
A．中线的交点B．角平分线的交点C．高的交点D．以上都不对
【答案】B【解答】解：
在三角形内部到三边距离相等的点是三个内角平分线的交点，故选：
B．
7.若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（）
A．OP1⊥OP2B．OP1=OP2C．OP1≠OP2D．OP1⊥OP2且OP1=OP2
【答案】D【解答】解：
如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，∴OP1=OP2=OP，
∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，=2（∠AOP+∠BOP），=2∠AOB，∵∠AOB=45°，∴OP1⊥OP2成立．故选D．
第7题图第8题图第9题图第10题图第11题图
8．如图，在一张纸上写了21038平放在桌子上，同时有两面镜子直立于桌面上，这时在两面镜子上都出现“21038”的像，把在正面放置的镜子里出现的像和侧面镜里出现的像分别叫做“正面像”和“侧面像”则（ ）
A．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较大
B．“正面像”和“侧面像”都是五位数，两者相等
C．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较小
D．“正面像”和“侧面像”中，只有一个五位数
【答案】D【解答】解：
根据镜面对称的性质，“2”和“5”关于镜面对称，“1”、“0”、“3”、“8”在镜中的成像还是原数，则数码“21038”在正面镜子中的像是51038，在侧面镜子中的像不是一个5位数，即可得“正面像”和“侧面像”中，只有一个五位数．故选：
D．
9.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．100°C．40°或100° D．70°或50°
【答案】C【解答】解：
当40°为底角时，顶角为100°；40°也可以为顶角．故选C.
17.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连结BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° B．70°C．60° D．50°
【答案】C【解答】解：
∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EBD＝∠A＝20°.∵∠A＝20°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝80°，∴∠CBE＝80°－20°＝60°，故选C.
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】A【解答】解：
等腰三角形分别是△ABC、△ABD、△BCD、△BCE、△CDE.故选A.
11.如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【答案】B【解答】解：
如图，连接OP，∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH=2∠MON，∵∠MON=35°，∴∠GOH=2×35°=70°．故选B．
12.已知等边△ABC的边长为a，则它的面积是（ ）
A.
a2B.
a2C.
a2D.
a2
【答案】D【解析】易求出△ABC的高为
a，∴S△ABC＝
×a×
a＝
a2.
13．在△ABC中，AB＝AC＝10cm，∠A＝60°，则BC＝ ．
【答案】10cm．解：
∵AB＝AC＝10cm，∴∠B＝∠C，又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝10cm．故填10cm．
14．已知等腰三角形的两边长分别是7和13，那么这个等腰三角形的周长是 ．
【答案】27或33解
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