高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第八节解三角形夯基提能作业本文I.docx

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高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第八节解三角形夯基提能作业本文I

2019-2020年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第八节解三角形夯基提能作业本文（I）

1.如图,两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向上,灯塔B在观察站南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的（　　）

A.北偏东10°方向上B.北偏西10°方向上

C.南偏东80°方向上D.南偏西80°方向上

2.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是　（　　）

A.10海里B.10海里

C.20海里D.20海里

3.（xx江西联考）某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面楼房房顶的仰角为60°,楼房底部的俯角为45°,那么这栋楼房的高度为（　　）

A.20mB.20（1+）m

C.10（+）mD.20（+）m

4.某人向正东方向走xkm后,向右转150°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好是km,那么x的值为（　　）

A.B.2C.或2D.3

5.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km,水的流速为2km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min,则客船在静水中的速度为（　　）

A.8km/hB.6km/h

C.2km/hD.10km/h

6.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度（单位:

km）:

AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为　　　　km. 

7.某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶,在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处,测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上,则点B与电视塔的距离是　　　　km. 

8.如图,在山顶上有一座铁塔BC,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得A处的俯角β=45°,已知铁塔BC的高为24m,则山高CD=　　　　m. 

9.隔河看两目标A与B,但不能到达,在岸边选取相距千米的C、D两点,测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内）,求两目标A、B之间的距离.

10.为扑灭某着火点,现场安排了两支水枪,如图,D是着火点,A、B分别是水枪位置,已知AB=15m,在A处看着火点的仰角为60°,∠ABC=30°,∠BAC=105°（其中C为D在地面上的射影）,求A、B两支水枪的喷射距离至少分别是多少.

B组　提升题组

11.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方的点A处测得水柱顶端的仰角为45°,从点A向北偏东30°方向前进100m到达点B,在B点处测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是（　　）

A.50mB.100mC.120mD.150m

12.如图,航空测量组驾驶飞机飞行的航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10000m,速度为50m/s,某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔为　　　　m.（取=1.4,=1.7） 

13.如图,一栋建筑物AB的高为（30-10）m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为　　　　m. 

14.如图,在海岸A处发现北偏东45°方向上,距A处（-1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向上,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜.缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?

并求出所需时间.

15.（xx辽宁沈阳二中月考）在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点A的北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ

且与点A相距10海里的位置C.

（1）求该船的行驶速度（单位:

海里/时）;

（2）若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

答案精解精析

A组　基础题组

1.D　由条件及题图可知,∠A=∠ABC=40°,因为∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向上.

2.A　如图所示,易知在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,

解得BC=10（海里）.

3.B　如图,设AB为阳台的高度,CD为楼房的高度,AE为水平线.由题意知AB=DE=20m,∠DAE=45°,∠CAE=60°,

故AE=20m,CE=20m.

所以CD=20（1+）m.故选B.

4.C　由题意作出示意图,如图所示,由余弦定理得（）2=x2+32-2x·3·cos30°,整理得x2-3x+6=0,解得x=或2.故选C.

5.B　连接AB,设AB与河岸线所成的锐角为θ,客船在静水中的速度为vkm/h,由题意知,sinθ==,

从而cosθ=,结合已知及余弦定理可得=+12-2××2×1×,

解得v=6.选B.

6.答案　7

解析　∵82+52-2×8×5×cos（π-D）=32+52-2×3×5×cosD,∴cosD=-,

∴在△ACD中,由余弦定理可计算得AC==7,则AC的长为7km.

7.答案　3

解析　由题意知AB=24×=6km,在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6km,∠ABS=180°-75°=105°,∴∠ASB=45°,由正弦定理知=,

∴BS==3（km）.

8.答案　36+12

解析　tan∠BAD=,tan∠CAD=,

则tan∠BAC=tan（∠BAD-∠CAD）

==

==,

又tan∠BAC=tan（60°-45°）=2-,

∴=2-,

解得CD=36+12m.

9.解析　在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,

所以AC=CD=千米.

在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°,由正弦定理知BC==千米.

在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=（）2+-2×××

cos75°=3+2+-=5,所以AB=千米,

所以两目标A,B之间的距离为千米.

10.解析　在△ABC中,可知∠ACB=45°,

由正弦定理得=,

解得AC=15m.

∵∠CAD=60°,

∴AD=30m,CD=15m,

在△ABC中,由正弦定理得=,

解得BC=m.

由勾股定理可得BD==15m.

综上可知,A,B两支水枪的喷射距离至少分别为30m,15m.

B组　提升题组

11.A　如图,设水柱高度是hm,水柱底端为C,则在△ABC中,∠BAC=60°,AC=hm,AB=100m,BC=hm,根据余弦定理得（h）2=h2+1002-2·h·100·cos60°,即h2+50h-5000=0,即（h-50）（h+100）=0,解得h=50（舍负）,故水柱的高度是50m.

12.答案　2650

解析　如图,作CD垂直于直线AB于点D,∵∠A=15°,∠DBC=45°,

∴∠ACB=30°,

又在△ABC中,=,AB=50×420=21000（m）,

∴BC=×sin15°

=10500（-）（m）.

∵CD⊥AD,

∴CD=BC·sin∠DBC=10500×（-）×=10500×（-1）=7350（m）.

故山顶的海拔h=10000-7350=2650（m）.

13.答案　60

解析　如图,在Rt△ABM中,AM=====20（m）.

易知∠MAN=∠AMB=15°,

所以∠MAC=30°+15°=45°,

又∠AMC=180°-15°-60°=105°,

所以∠ACM=30°.

在△AMC中,由正弦定理得=,解得MC=40（m）.

在Rt△CMD中,

CD=40×sin60°=60（m）,

故通信塔CD的高为60m.

14.解析　如图,设缉私船应沿CD方向行驶,t小时才能最快截获（在D点）走私船,

则CD=10t海里,BD=10t海里,

在△ABC中,由余弦定理,有

BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC

=（-1）2+22-2（-1）×2×cos120°=6,

解得BC=（海里）.

∵=,

∴sin∠ABC===,可知∠ABC=45°,

∴B点在C点的正东方向上,

∴∠CBD=90°+30°=120°,

在△BCD中,由正弦定理,得=,

∴sin∠BCD===.

可知∠BCD=30°.

∵在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,∴∠D=30°,

∴BD=BC,即10t=.

∴t=小时,易知小时≈15分钟.

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.

15.解析　

（1）如图,AB=40海里,

AC=10海里,∠BAC=θ.

由于0°<θ<90°,sinθ=,

所以cosθ==.

由余弦定理得BC

=

=10（海里）.

所以该船的行驶速度为=15（海里/时）.

（2）该船会进入警戒水域.理由如下:

如图所示,设直线AE与直线BC相交于点Q.

在△ABC中,由余弦定理得,

cos∠ABC=

==.

从而sin∠ABC=

==.

在△ABQ中,由正弦定理得,

AQ==

=40（海里）.

由于AE=55海里>40海里=AQ,

所以点Q位于点A和点E之间,

且QE=AE-AQ=15（海里）.

过点E作EP⊥BC于点P,

在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE,

则PE=QE·sin∠AQC

=QE·sin（45°-∠ABC）

=15×=3（海里）,

又3海里<7海里,

所以该船会进入警戒水域.

2019-2020年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第八节解三角形夯基提能作业本文

1.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的（　　）

A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°

2.已知A、B两地间的距离为10km,B、C两地间的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为（　　）

A.10kmB.10kmC.10kmD.10km

3.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18km,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1min后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为（精确到0.1km,参考数据:

≈1.732）（　　）

A.11.4kmB.6.6kmC.6.5kmD.5.6km

4.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是（　　）

A.10海里B.10海里C.20海里D.20海里

5.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于（　　）

A.30°B.45°C.60°D.75°

6.如图,一艘船上午9:

30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:

00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,且与它相距8nmile.此船的航速是　　　　nmile/h. 

7.（xx湖北武汉调研）如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度（单位:

km）:

AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为　　　　km. 

8.如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为　　　　米. 

9.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.

（1）求渔船甲的速度;

（2）求sinα的值.

B组　提升题组

1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于（　　）

A.240（-1）mB.180（-1）m

C.120（-1）mD.30（+1）m

2.（xx广东惠州第三次调研）如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cosθ=　　　　. 

3.如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cos∠B=.

（1）求△ACD的面积;

（2）若BC=2,求AB的长.

4.为扑灭某着火点,现场安排了两支水枪,如图,D是着火点,A、B分别是水枪位置,已知AB=15m,在A处看着火点的仰角为60°,∠ABC=30°,∠BAC=105°（其中C为D在地面上的射影）,求A、B两点处的水枪的喷射距离至少分别是多少.

答案精解精析

A组　基础题组

1.B　如图所示,∠ACB=90°,又AC=BC,所以∠CBA=45°,

而β=30°,所以α=90°-45°-30°=15°.

所以点A在点B的北偏西15°.

2.D　如图所示,由余弦定理可得:

AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700,

所以AC=10（km）.

3.B　∵AB=1000×=（km）,

∴BC=·sin30°=（km）.

∴航线离山顶h=×sin75°=×sin（45°+30°）≈11.4（km）.

∴山高为18-11.4=6.6（km）.

4.A　如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,

解得BC=10（海里）.

5.B　依题意可得AD=20m,AC=30m,

又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD====,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,

所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

6.答案　32

解析　设此船航速为vnmile/h,

在△ABS中,AB=v,BS=8,∠BSA=45°,

由正弦定理得=,则v=32.

7.答案　7

解析　∵82+52-2×8×5×cos（π-D）=32+52-2×3×5×cosD,∴cosD=-,∴在△ACD中,由余弦定理可计算得AC==7,则AC的长为7km.

8.答案　1000

解析　由题图知∠BAS=45°-30°=15°,∠ABS=45°-15°=30°,所以∠ASB=135°,在△ABS中,由正弦定理可得=,所以AB=1000米,所以BC==1000米.

9.解析　

（1）依题意知,∠BAC=120°,AB=12海里,AC=10×2=20海里,∠BCA=α.

在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784,

解得BC=28海里.

所以渔船甲的速度为=14海里/时.

（2）在△ABC中,因为AB=12海里,∠BAC=120°,BC=28海里,∠BCA=α,

由正弦定理,得=,

即sinα===.

B组　提升题组

1.C　如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60m,在Rt△ACD中,CD===60m,在Rt△ABD中,BD====60（2-）m,

∴BC=CD-BD=60-60（2-）=120（-1）m.

2.答案　-1

解析　由∠DAC=15°,∠DBC=45°可得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC=90°-（15°+θ）-30°=45°-θ,由内角和定理可得∠DCB=180°-（45°-θ）-45°=90°+θ,根据正弦定理可得=,即DB=100sin15°=100×sin（45°-30°）=25×（-1）,又=,即=,

解得cosθ=-1.

3.解析　

（1）因为∠D=2∠B,cos∠B=,

所以cos∠D=cos2∠B=2cos2∠B-1=-.

因为∠D∈（0,π）,

所以sin∠D==.

因为AD=1,CD=3,

所以△ACD的面积

S=AD·CD·sin∠D=×1×3×=.

（2）在△ACD中,

AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠D=12,

所以AC=2.

因为BC=2=AC,=,

所以====,

所以AB=4.

4.解析　在△ABC中,可知∠ACB=45°,

由正弦定理得=,

解得AC=15m.

又∵∠CAD=60°,∴AD=30m,CD=15m,

在△ABC中,由正弦定理得=,解得BC=m.

由勾股定理可得BD==15m.

综上可知,A、B两点处的水枪的喷射距离至少分别为30m,15m.