完整word版第十一章 一元线性回归.docx
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完整word版第十一章一元线性回归
第十一章一元线性回归
11.1从某一行业中随机抽取12家企业,所得产量与生产费用的数据如下：
企业编号
产量（台）
生产费用（万元）
企业编号
产量（台）
生产费用（万元）
1
40
130
7
84
165
2
42
150
8
100
170
3
50
155
9
116
167
4
55
140
10
125
180
5
65
150
11
130
175
6
78
154
12
140
185
要求:
（1）绘制产量与生产费用的散点图，判断二者之间的关系形态。
（2）计算产量与生产费用之间的线性相关系数.
（3）对相关系数的显著性进行检验（α=0。
05），并说明二者之间的关系强度。
解：
（1）利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下：
从散点图的形态可知，产量与生产费用之间存在正的线性相关。
（2）利用Excel的数据分析中的相关系数功能，得到产量与生产费用的线性相关系数r=0.920232。
（3）计算t统计量，得到t=7.435453，在α=0.05的显著性水平下，临界值为2。
6337,统计量远大于临界值,拒绝原假设，产量与生产费用之间存在显著的正线性相关关系。
r大于0。
8，高度相关.
11.2学生在期末考试之前用于复习的时间（单位:
h）和考试分数（单位：
分）之间是否有关系?
为研究这一问题,以为研究者抽取了由8名学生构成的一个随机样本,得到的数据如下：
复习时间x
考试分数y
20
64
16
61
34
84
23
70
27
88
32
92
18
72
22
77
要求：
（1）绘制复习时间和考试分数的散点图，判断二者之间的关系形态。
（2）计算相关系数，说明两个变量之间的关系强度.
解：
（1）利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下：
从散点图的形态来看,考试分数与复习时间之间似乎存在正的线性相关关系。
（2）r=0.862109，大于0.8，高度相关。
11.3根据一组数据建立的线性回归方程为
。
要求:
（1）解释截距
的意义。
（2）解释斜率
意义.
（3）计算当x=6时的E（y）。
解：
（1）在回归模型中，一般不能对截距项赋予意义。
（2）斜率
的意义为:
当x增加1时，y减小0。
5。
（3）当x=6时，E（y）=10–0.5＊6=7。
11。
4设SSR=36，SSE=4,n=18。
要求：
（1）计算判定系数R2并解释其意义。
（2）计算估计标准误差se并解释其意义。
解：
SST=SSR+SSE=36+4=40，
R2=SSR/SST=36/40=0.9，意义为自变量可解释因变量变异的90%,自因变量与自变量之间存在很高的线性相关关系。
（2）
=0.5，这是随机项的标准误差的估计值.
11。
5一家物流公司的管理人员想研究货物的运送距离和运送时间的关系,因此，他抽出了公司最近10辆卡车运货记录的随机样本，得到运送距离（单位：
km）和运送时间（单位:
天）的数据如下：
运送距离x
运送时间y
825
3.5
215
1。
0
1070
4。
0
550
2。
0
480
1。
0
920
3。
0
1350
4。
5
325
1。
5
670
3.0
1215
5.0
要求：
（1）绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形态。
（2）计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。
（3）利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。
解:
（1）利用Excel绘制散点图，如下：
从散点图的形态来看,运送时间和运送距离之间存在正的线性相关关系。
（2）计算的相关系数为0。
9489，这是一个很高的相关系数。
（3）用OLS方法估计得到模型参数为
=0.118129，
=0。
003585，
回归方程为：
运送时间=0。
118129+0.003*运送距离，意义为：
运送距离每增加1km，运送时间增加0.003383天，即0。
086小时。
11。
6下面是7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP）和人均消费水平的统计数据：
地区
人均GDP（元）
人均消费水平（元）
北京
22460
7326
辽宁
11226
4490
上海
34547
11546
江西
4851
2396
河南
5444
2208
贵州
2662
1608
陕西
4549
2035
要求:
（1）人均GDP作自变量，人均消费水平左因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。
（2）计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度.
（3）利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。
（4）计算判定系数,并解释其意义.
（5）检验回归方程线性关系的显著性（α=0.05）。
（6）如果某地区的人均GDP为5000元,预测其人均消费水平.
（7）求人均GDP为5000元时，人均消费水平95%的置信区间和预测区间。
解：
（1）利用Excel绘制的散点图如下：
从散点图来看，人均消费水平与人均GDP之间存在很强的正线性相关关系。
（2）r=0.998，高度相关。
（3）用OLS方法估计得到模型参数为
=734.69，
=0。
308，回归方程为：
人均消费水平=734。
69+0。
308＊人均GDP，
意义为：
人均GDP每增加1元，人均消费水平增加0.31元，此值即为经济学中的边际消费倾向。
这里截距可解释为人均GDP为0时，居民的消费支出为734元/年,即经济学中的自发支出。
（4）判定系数R2=0。
996，人均消费水平变异的99%可由人均GDP来解释.
（5）这是一个一元线性回归模型，只需要检验斜率系数的显著性即可。
斜率系数的t统计量
，
显著性水平为0.05，自由度为7-2=5，临界值为3。
16,统计量远大于临界值，是高度显著的.
（6）将人均GDP代入到估计的回归方程,计算得到人均消费水平的期望值为2278元。
（7）查表得
点估计值为2278元，标准误差为247。
3035，
人均消费水平95%的置信区间为
即（1990.73，2565。
27）.
而人均消费水平95%的预测区间为
即区间（1580。
79，2975。
21），对个别值的预测精确度比对总体均值的预测低。
11。
7随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行了调查，所得数据如下：
航空公司编号
航班正点率（%）
投诉次数（次）
1
81.8
21
2
76.6
58
3
76.6
85
4
75.7
68
5
73.8
74
6
72.2
93
7
71。
2
72
8
70。
8
122
9
91。
4
18
10
68。
5
125
要求：
（1）绘制散点图，说明二者之间的关系形态。
（2）用航班正点率左自变量,顾客投诉次数左因变量,求出估计的回归方程，并解释回归系数的意义。
（3）检验回归系数的限制性（α=0。
05）.
（4）如果航班正点率为80％,估计顾客投诉次数.
（5）求航班正点率为80％时，顾客投诉次数95%的置信区间和预测区间。
解：
（1）散点图如下。
从散点图的形态来看，航班正点率与顾客投诉次数之间有负的线性相关关系。
（2）用Excel回归分析，得到估计的回归方程如下：
斜率系数为-4.70062，表示航班正点率提高1个百分点,顾客投诉次数减少4.7次。
符号为负,与理论相符.截距系数一般不赋予意义。
（3）一元回归只要检验斜率系数的显著性即可。
斜率西数的t统计量为
相应的P值为0。
001108,小于0.05，t统计量是显著的。
（4）由估计的回归方程，得到果航班正点率为80%，估计顾客投诉次数为
430.1892—4。
70062＊80=54.1396（次）
（5）查表得
点估计值为54。
1396元，标准误差为18.887，故置信区间为
即区间（37。
6597，70。
61949）.
而预测区间为
即区间（7.57204,100。
7071）
11.8下面是20个城市写字楼由出租率和每平方米月租金的数据。
地区编号
出租率（％）
每平方米月租金（元）
1
70。
6
99
2
69。
8
74
3
73.4
83
4
67.1
70
5
70。
1
84
6
68.7
65
7
63。
4
67
8
73.5
105
9
71。
4
95
10
80。
7
107
11
71。
2
86
12
62。
0
66
13
78.7
106
14
69.5
70
15
68。
7
81
16
69。
5
75
17
67。
7
82
18
68.4
94
19
72.0
92
20
67。
9
76
设月租金为自变量，出租率为因变量,用Excel进行回归，并对结果进行解释和分析.
解：
回归分析结果如下：
SUMMARYOUTPUT
回归统计
MultipleR
0.79508
RSquare
0。
632151
AdjustedRSquare
0.611715
标准误差
2.685819
观测值
20
方差分析
df
SS
MS
F
SignificanceF
回归分析
1
223。
1403
223。
1403
30。
93318
2。
8E-05
残差
18
129.8452
7.213622
总计
19
352.9855
Coefficients
标准误差
tStat
P—value
Lower95％
Upper95%
下限95.0%
上限95.0％
Intercept
49.31768
3。
805016
12.96123
1。
45E—10
41。
32364
57.31172
41。
32364
57.31172
XVariable1
0.249223
0。
04481
5。
561761
2。
8E—05
0。
15508
0。
343365
0.15508
0.343365
结果分析如下：
（1）斜率系数的t统计量在95％的显著性水平下是高度显著的，斜率系数等于0。
2492,表示每平方米月租金提高1元，出租率将提高0.2492个百分点。
（2）判断系数R2等于6321,表示出租率的变异可由月租金解释63.21％。
判断系数不算很高，可能还有其它的变量影响出租率.
11.9某汽车生产商欲了解广告费用（x）对销售量（y）的影响,收集了过去12年的有关数据。
通过计算得到下面的有关结果：
方差分析表
变差来源
df
SS
MS
F
SignificanceF
回归
2.17E—09
残差
40158.07
总计
11
1642866.67
参数估计表
Coefficients
标准误差
tStat.
P-value
Intercept
363.6891
62。
45529
5.823191
0.000168
XVariable1
1.420211
0。
071091
19.97749
2。
17E-09
要求：
（1）完成上面的方差分析表.
（2）汽车销售量的变差中有多少是由广告费用的变动引起的？
（3）销售量与广告费用之间的相关系数是多少？
（4）写出估计的回归方程并解释回归系数的实际意义.
（5）检验线性关系的显著性（α=0.05）。
解：
（1）此为一元线性回归，由自由度可知,样本容量n=（11+1）=12。
由此可计算各自由度和SS.进而计算各均方误，最后计算出F统计量（MSR/MSE）。
结果如下：
方差分析表
变差来源
df
SS
MS
F
SignificanceF
回归
1
1602708。
6
1602708。
6
199。
1
2。
17E—09
残差
10
40158。
07
4015.807
总计
11
1642866。
67
（2）计算判断系数，
表明销售量的变异有97.55%是由广告费用的变东引起的.
（3）一元线性回归模型中，相关系数等于判断系数的平方根，即
0。
9877。
（4）根据估计得到的模型参数，回归方程如下：
表示广告费用增加1单位，销售量将平均增加1。
42单位。
（5）由参数估计表可知，斜率系数的t统计量等于19.97749，这是一个在显著性水平0.05下高度显著的统计量。
11。
10根据下面的数据建立回归方程,计算残差，判断系数R2，估计标准误差se，并分析回归方程的拟合优度.
x
y
15
47
8
36
19
56
12
44
5
21
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